RA

"(ir) ^»R""-

La série à termes positifs dont le terme général est

RjX"-'

est évidemment convergente; car le rapport de ce terme au

ALCEBRE SVPÉRIEUIIE. I OC)

pi'écétlenl étant

a pour limite, quand n croît indéfiniment, la quantité ~

moindre que l'unité (373).

/RA""' Le terme ou le facteur 'M -jf ) ^ donc à son tour zéro

pour limite (362), tandis que le facteur complémentaii-e A„R"~^ ne peut pas croître indéfiniment; sans quoi, il en serait de même du facteur A^R','"' qui peut en approcher autant qu'on veut et, par suite, contre ce qui précède, du facteur A^R^'.

La série des modules de ses termes étant ainsi convergente (3G6), la série (2) est donc elle-même toujours convergente (891) à l'intérieur du cercle de convergence R, et le théorème énoncé est démontré.

937. Fonction e'. — Lorsque :; est imaginaire, nous avons, par définition (900j,

I 1.2 ' l .1.6 ' ' I . 2 . 3 ... Ai ' ' ' '

et cette série est convergente dans toute l'étendue du plan des axes. En lui appliquant le théorème précédent (936), on a, pour la dérivée de la fonction e'-,

c'est-à-dire cette fonction elle-même (591). Ainsi, l'on a toujours

— - izr e= ou de'=i e= dz, dz

que z reroive des valeurs réelles ou imaginaires.

938. Fonctions ?>\nz et co?>z. — Considérons de même les fonctions sin:; et cosx; pour lesquelles nous avons, par définition (903),

sin;3 = " ~

C0S5 — I ^^ h ■ —TT-^ — • •

IIO ALOÈBRF. SUPÉKIEIUK.

séries convergentes dans toute l'étendue du plati des axes. Les dérivées de ces fonctions sont alors

I ' 1.2.3 j.2.3.4.5 Il en résulte immédiatement d s'inz

, cosc ou d sin z = cosz dz

dz

et

^cos;

= — sin:: ou dcosz=^ — ^u\zdz.

dz comme dans le cas où la variable -: est réelle.

939. Fonctions tang^ et. coiz. — On a, par définition, sin:; C0S3

tang^ r=: , COlZ -- -:

^ cos:; sm :;

Puisque la règle de différentiation d'un quotient reste la même, que^ soit une quantité réelle ou imaginaire (933), on en déduit (601, 60^)

et