Fonction Iz. Si l'on a

z — e", on a aussi, par définition (909),

u Iz.

D'ailleurs, :; étant une fonction de u (937), // est à son lour

une fonction de z- car, le rapport j^— e" étant déterminé,

^ du

le rapport inverse -.- l'est à son tour (925). On a alors, pour

t/tang^

ou

('/tang; =

dz

dz ^

cos'^

" cos^^

<ic0t^ dz ~

sin^^

ou

d cot c -

dz

sin-c

ALGEBRE SI PERIEURE. 1 I I

la dérivée de Iz,

du i 1 ,, dz

-7— =: — = — OU dlz =: — ,

dz e"- z. z

comme dans le cas où lu variable ^ est réelle (586).

^il. Fonctions arc cosz, arc sine, arc lange, — Si l'on pose

u =: arccose, il vienl

z = cos u

et, par suite (938),

dz^ d cos u =z — sin u du.

Il en résulte (907) du d arc cos z i — i — i

dz dz si

nu y/i — cos^M v^

comme dans le cas où e représente une variable réelle (611 j. On trouverait de même (609, 613)

, . dz , dz

rt arc sme zz: — =^=, aarctan^e=: .- ••••

En opérant directement sur les formules précédemment obtenues, on parviendrait aux mêmes résultats. On déduit, par exemple (918), de

u — arc tange = — .[^(i — zi) — /(i — zi)],

la dérivée

^arc tansre

2i\^i-^zi ' I — zi] i-\-z-

Propriété géométrique de la dérivée d'une fonction imaginaire

9i2. Étant donnée une fonction imaginaire u=^o{z), on sait (887) que les valeurs de e et de m se correspondent de manière que, le point {z) décrivant une certaine courbe dans le plan des axes choisis, le point (u), à son tour, en décrit une autre dans le même plan. On peut se demander s'il existe