AI.<;KI5UK SUPERIEURE

une con'élation enlre ces deux courbes, si elles sont liées par quelque propriété géométrique. C'est ce que nous allons montrer d'après Calchy (').

Soit la fonction u=z(^{z). Donnons à la variable :; deux valeurs 5, et ^j, pour lesquelles la fonction prenne les valeurs «1 et «2- Nous pourrons écrire (o'*5, 925)

en désignant par ô une quantité imaginaire qui tend vers zéro lorsque le point (^2) se rapproche indéfiniment du point (s,). En mettant sous forme trigonométrique les quantités imaginaires ©'(-i) et ^2— ^-i, on a

cp'l^i) = ai^cosa

::2— -^i — / (cosô

et l'on peut poser

<p'(5,)+a = (>^-ô')[cos(a-

en désignant par ô' et ô" deux quantités, l'une positive, l'autre réelle, qui tendent vers zéro en même temps que à. On a donc (8il), d'après l'équation (i),

(2) «2 — «1^ p(«-i-ô' ) [cos(a -r- 9 — a") — i sin(a-h 6-T- à")].

Le point (;;i) est déterminé, mais non le point ( z.y) qui peut venir coïncider avec (^1), soit en suivant la courbe nii-i, soit en snivanl la courbe /n.,:i {Jig. Sa). Les tangentes

- i sina),

- i&\nB),

<5")^/sin(a^a")],

l-ig. 32.

à ces courbes au point (:;,) sont z^ti et z^t.;,. Quand le point

(') Voir aussi Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, 2' édition. Paris, Gautliiei-Villars; 187.5.

ALOÈBTIE SLPÉRIEURK. Il3

(:-.,) se rapproche du poiiil {-zi) en suivant la courbe »?i-i, l'argument Q de la différence ^2— -1 tend vers une limite {), (|ui, d'après la construction géométrique de la différence con- >i(lérée (877), n'est autre chose que l'angle de la tangente z-iii à la courbe z-i/ny au point (^i), avec l'axe 0.r. De même, quand le point {z.y) se rapproche du point (^,) en suivant l'autre courbe /«2^i, l'argument 9 tend vers une limite 9,, angle de la tangente Zit., à la courbe :;,m,, au point (:;,) avec l'axe Oj7.

Dans le premier cas, l'argument de la différence u,, — ;/, tend, d'après l'équation (2), vers la limite a — 9^, et le point {11-2) décrit une certaine courbe «l'/i, dont la tangente iiiTi au point (ui) fait l'angle a + 9i avec l'axe Oa^. Dans le second cas, l'argument de la différence it.2 — «1 tend vers la limite a-+- 9n, et le point (a^) décrit une autre courbe /i^Hi dont la tangente //[T^au point (ii^) fait l'angle a ^- 9-2 avec le même axe.

11 en résulte que l'angle T, «iTo, égal à 9, — 9.,, reproduit l'angle t^z^t^, c'est-à-dire que les courbes décrites par le poini ( a ) se coupent sous les mêmes amj^les que celles (jui sont décrites par le point {z ).

Il est entendu que, pour le point ( c, ), la dérivée de la fonction u n'est pas nulle; car, dans cette hypothèse, a serait indéterminé et la démonstration en défaut.

9i3. On voit que toute fonction imaginaire peut donner lieu à un mode de comparaison ou de transformation des figures planes, dans lequel les angles sont conservés.

Les /iffures im^erses iouisseni de la même propriété, et la figure inverse d'une figure donnée prend aussi, comme on le sait, le nom de transformation par rayons vecteurs réciproques ('). Il est facile de retrouver ce mode particulier de transformation à l'aide des fonctions imaginaires, en appliquant les considérations précédentes à un exemple simple.

Soit " = ; (nous aurons uzzzz\. et la puissance p sera

éffale à l'unité).

(') Fo/rTRAiTK DE GÉOMÉTRIE par Eugène Rouché et Ch. de Comljeroussc, n"' 38'2 et suivants, j* édition. Gauthier-Viilars, iS83.

Dr C. — Cours. IV. 8

Si l'on a alors

il vient (8U)