r(cos6 ~ fsin
::= {CosO — f sin9).
/•(cosf -T- < sin&) /
^ un point (z) [Jig. 33] correspond alors un point («), tel que O^' soit la bissectrice de l'angle :;0« (872) et que le pro-
Fig. 33.
duit 0;.0«=i.Si le point {z) décrit la droite Ç)zni en s'éloignant de l'origine, le point («) décrit la droite 0«en s'en rapprochant. Si le point (:;) décrit la courbe za, le point {u) décrit la courbe uk et, d'après ce qui précède (942), l'angle tzm de la tangente en ^ à la courbe za avec la droite zm (qui est à elle-même sa propre tangente) doit être égal à l'angle T«0 de la tangente en u à la courbe uk avec la droite u 0. Si l'on fait alors tourner la seconde courbe autour de l'axe Ox, elle vient prendre la position «i Ai, et elle représente la transformée de la courbe za par rayons vecteurs réciproques, par rapport à l'origine 0.
9i4. Si le point (3) décrit deux séries de lignes orthogonales, le point (m) décrit à son tour deux séries correspondantes de lignes orthogonales (94-2). Ainsi toute fonction imaginaire, c'est-à-dire admettant une dérivée (925), transforme un système de lignes orthogonales décrites par le point {z) en un autre système de lignes orthogonales décrites par le point ( u).
ALGEBRE SUPÉRIEURE. [ 1 1)
Oio. Revenons à \difig. 32. On a ù la limite, et quels que <oient les chemins suivis pour aller du point {z-^) au point (j, ) et du point («ol au point («j),
-j— zz: o'(5i j = a(cosa -h «sina).
Le rapport des accroissements infiniment petits correspondants de la fonction et de la variable ne dépend donc que de la position particulière du point de départ (^,) et reste constant pour tous les chemins ou pour toutes les directions arbitraires rayonnant autour de ce point. Les deux triangles inOniment petits r.i]jL,jji.2 et u^v^v-t,, qui ont déjà même angle au sommet (94-2), sont, par suite, semblables.
Le point {z^) passant à une autre position quelconque (^a), la même propriété subsistera; mais le rapport de similitude, égal à o' {z^), ne sera plus le même. On est ainsi conduit à dire que les figures décrites simultanément par les points {z) et {a) sont des figures semblables dont le rapport de similitude varie d'un lieu à un autre.
Dérivées et différentielles des différents ordres.
9i6. Les conditions nécessaires et suffisantes pour que la dérivée de la fonction imaginaire
soit déterminée sont les suivantes (026) :
dP clO ^P rlQ
^ dx dy ^ dy dx '
ou
du \ du
11 est facile de voir que la dérivée o' {z) est, à son tour, une fonction de -, c'est-à-dire qu'elle a, en général, une dérivée 9" (s) bien déterminée. En efïet, on a
du ~ dx
dV
~ dx
dO dx
I iG ALGÈBRE SUPERIEURE.
en posant
dx ' d.r
Mais, d'après les relations (i), on a en même temps
dS
dx ~
dx dy '
^ dx dy
dT dx
d-'P dx dr
dj
~ dx dy
d> dx
dT -dy^
dT .
dx'
Par suite,
et ce sont précisément les conditions nécessaires et suffisantes l»ourque <p'(-^) ^lit une dérivée, que nous désignerons comme à l'ordinaire par
On aura également (926)
,., ^ do'iz) I do'.z)
ou, d'après l'équation (-î),
,, d- il I d- (I
"^ ^''^^~dJf-^l dy-'
On passera de même de (?"{:■) à 9"'(-), et ainsi de suite.
On voit que la dérivée d'un certain ordre de la fonction (^{z) est égale à la dérivée partielle de même ordre de la fonction par rapport à x, ou au quotient par i de la dérivée partielle de même ordre de la fonction par rapport à y. La dérivée du «'«'"«= ordre de la fonction aura donc pour expressions équivalentes
(„ , d" a d" a i cl^
^ '' ^^ ^ ~ ~dz^^ ~ Tïx" ~" i 'dy' '
On aura, en même temps, pour la différentielle du w'^""' ordre.
d"u --■-(^^" {z)dz".
Remarques.
94-7. En lerminanl ce Chapitre, nous indiquerons quelques dénominations souvent usilées et qu'il n'est pas inutile de connaître. La plupart de ces dénominations ont été proposées |iar Cauchy.
Il appelait ajfixe d'un point pris dans le plan des axes choisis l'expression imaginaire correspondante (867), et il donnait le nom de fonctions monogènes aux fonctions d'une variahle imaginaire, qui jouissent de la propriété d'avoir, pour chaque valeur de la variable, une dérivée parfaitement déterminée, ("omme ce sont les seules que nous ayons considérées comme de véritables fonctions (925), nous n'avons pas cru devoir répéter cette qualification.
Étant donnée la fonction u^=i(s^{z), admettons que le point variable z soit astreint à rester dans une portion déterminée du plan des axes {fig. 34). Si tous les chemins qu'on peut
Fig. 34.
suivre pour aller de la position initiale r^ à une position quelconque z située dans l'aire indiquée conduisent finalement à la même valeur de la fonction u, on dit que cetle fonction est mo«o<r//ome (^) (Cauchy) ou monotrope {''■■) (IJriot et Bouquet) dans la partie limitée du plan des axes. C'est ce que nous avons entendu exprimer précédemment par la dénomination de fonctions uniformes (920).
Lorsque la fonction «=:cp(^) est monotrope, la fonction
réciproque v ■= — — est aussi monotrope.
(') Une seule course ou un seul point de passage (de ôpôixoç, course). (^) Un seul tour (de TpÔTio;, tour).
Il est clair que, la fonction étant monolrope, si le pointvaiiable :; décrit une courbe fermée située dans l'aire indiquée, la fonction u revient à sa valeur primitive, c'est-à-dire que ](ipoini-fonction u (887) décrit aussi une courbe fermée.
Réciproquement, si la fonction u revient à sa valeur primitive, lorsque la variable z décrit une courbe fermée, la fonction est monotrope. Supposons, en effet, que, parlant en z^ de la valeur Uq, on arrive en z à la valeur k en suivant (/é'-.S/i) le chemin Zoaz. En revenant en z^ par le chemin quelconque zbz„, on retrouvera, par hypothèse, la valeur initiale 11^. En rétrogradant maintenant suivant Zç,bz, on repassera par les mêmes points et par les mêmes valeurs de la fonction, de sorte que, au point z, cette valeur redeviendra //.
Une fonction entière est monotrope dans toute l'étendue du plan des axes.
Lorsqu'une fonction est susceptible, au contraire, de prendre en chaque point d'une portion déterminée du plan des axes plusieurs valeurs distinctes, elle est dite polytrope. C'est ce que nous avons entendu exprimer précédemment pai- la dénomination de fonctions multiformes (920).
Lorsqu'une fonction est continue, monotrope et monogène, quand le point-variable se meut dans une portion déterminée du plan des axes, elle e^isynectique (Cauchy) ou holomorphe (i) (Briot et Bouquet) dans cette portion, indiquant par cette dernière dénomination qu'elle est analogue aux fonctions entières, qui possèdent ces propriétés dans toute l'étendue du plan des axes.
Les valeurs de la variable pour lesquelles une fonction holomorphe devient nulle sont les racines ou les zéros de Ja fonction.
Si une fonction w = 9(3) est holomorphe dans une certaine portion du plan des axes, excepté en un point (=,) où elle devient infinie, il peut se faire que la fonction réciproque -
u demeure holomorphe dans le voisinage du même point. C'est cô qui arrivera toutes les fois que 9(3) conservera une valeur infiniment grande autour et près du point {z,), parce que 9(^ conservera alors une valeur infiniment petite autour et
(') De ciXoç, entier, et i^opyr], forme.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ' 1 fC)
près du même point, en étant nulle en ce point. On dit, dans ce cas, que le point (zi) est un pôle ou un infini de la fonction u.
Les pôles d'une fraction rationnelle (88G) répondent aux racines de son dénominateur, et celte fraction rationnelle demeure holomorphe dans toute partie du plan des axes, qui ne contient aucun de ses pôles.
Les fonctions analogues aux fractions rationnelles, c'està-dire holomorphes dans une région du plan des axes sauf en certains pôles, sont dites méromorphes (* i.
(') De Liépoç, partie, fraction, et [xop^r,, forme.
I 20 ALOÈBRK SUPÉRIEURE.
