CHAPITRE VII
DES INTÉGRALES DÉFINIES DES FONCTIONS IMAGINAIRES. EXTENSION DES FORMULES DE TAVLOR ET DE MACLAURIN AUX FONCTIONS D'UNE VARIABLE IMAGINAIRE.
Intégrales des fonctions imaginaires entre limites réelles ou imaginaires.
9i8. Il est naturel cl'élendre !a (léfinilion générale des inlégrales définies, telles qu'elles ont été considérées dans le cas des quantités réelles (761), à celui des fonctions et des limites imaginaires.
On aura ainsi, pour o( :;) = o(j:- -h i/).
o'( z)r/z ^ çx.r,-:- v,n — 9(.ro-r- )-o/).
Mais une grave dirficullc ai)j)araîl imiiiédiateinent parce que, d'après ce qui précède, le second membre de l'expression |)eiil présenter plusieurs ^aIeurs distinctes, entre lesquelles le choix reste incertain.
Si l'on a, par ex(Miiple, o\z)=: -, il vient ( 7G(i, OVO)
— . /(,r, -1- Vil) — l{.Vo-r »oO.
et chacun des logarithmes du second membre a une infinité de valeurs formant une progression arithmétique dont la raison est 2 7:/ (909 ), de sorte que la valeur obtenue pour l'intégrale elle-même comporte un multiple arbitraire de 2-1.
Pour lever toute diflicullé, il laut donc revenir sur la délinition adoptée en l'expfniuant et en la précisant. Nous le ferons à l'aide des considérations suivantes dues à C^ccnv, et (pii
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sont l'un de ses lilres de gloire. II n'est que juste d'ajouter que Briot etBoLQUET, en parlant des idées de Cauchy, ont l'ait faire de grands progrès à l'étude des fonctions (*).
Î)i9. La difficulté rencontrée est, au fond, toujours la même.
Lorsque la variable z (supposée réelle) passe de la valeur réelle ^o à la valeur réelle cc^ > a^o, les valeurs réelles qu'elle doit prendre dans l'intervalle ^i — ^o sont complètement déterminées, le chemin jti — ^o compté sur l'axe des ce l'étant lui-même. Au contraire, lorsque la variables (supposée imaginaire) passe de la valeur imaginaire ^ï-oH-j'o^ à la valeur imaginaire jCi-^y^i, ou du point (^o) aw point (0,) dans le plan des axes choisis, elle peut le faire en suivant une courbe quelconque, dont la forme arbitraire introduit dans la question une indétermination qui n'existe pas dans le cas des quantités réelles. Il est alors essentiel de prouver que, lorsque la courbe décrite par la variable imaginaire se modifie (sous certaines conditions) en conservant toujours les mêmes points extrêmes, l'intégrale correspondante n'est pas altérée et conserve une valeur fixe. C'est ce que nous montrerons après quelques développements nécessaires.
9o0. Soit o{z) une fonction qui demeure continue quand le point-variable z décrit la courbe ZqZ,i {fig. 35). Désignons
ri;r. 35.
par ^1, z-i, . . ., ;„t des points intermédiaires pris sur cette courbe. La somme
{\) Cp(5o)(-l— ^o) ^.-9(^1) '-2— -,) 4-. - .— 0{Zn-l) iZ,,~ Z,,^^')
(') Voir la première Partie de leur remarquable Ouvrage déjà cité : Théorie des fondions elliptiques, 2» édition. Gauthier-Viilars; 1871.
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tend vers une limite déLer minée, quand le nombre des points intermédiaires croit indéfiniment, c'esl-à-dire quand les arcs successifs ZqZi, z-iZç,, . . ., -n-i^^ tendent vers zéro.
Nous emploierons deux, modes de démonstration pour établir ce résultat fondamental.
Première démonstration. On a, comme à l'ordinaire,
z^=:x ^ ri, 9 ( - ; ~ P -i- Q '',
P et Q étant des fonctions continues de ce et de /.
La somme (i), prise pour les points indiqués, revient à
c'est-à-dire
Si la ligne z^z^ est donnée, jet -ç- sont déterminés en chaque
point par l'abscisse correspondante et à l'aide de l'équation de cette ligne. D'ailleurs, lorsqu'on passe à la limite en augmentant indéfiniment le nombre des points intermédiaires, -r-^
Ax
devient -~ et A- devient <i-. Les sommes se confondant alors dx
avec les intégrales, on a
dv quantité parfaitement déterminée, puisque ^, Qy -f étant
des fonctions de x, on est ramené aux intégrales réelles. x^^qX x„ sont les abscisses des points (^o) et {z„).
Deuxième démonstration. — Le point z ^= x + j'« décrivant la courbe z^z,,, on peut regarder x et r comme des fonctions continues et admettant des dérivées, d'une variable réelle t croissant de t^ à t„ lorsque z varie suivant la ligne donnée de z„ à z„, et poser, en regardant toujours i comme une constante,
En raison de l'existence supposée des dérivées, onaura(oio), par rapport aux points {zi) et (-0))
4^2(^1) -J>2(^o) = Ùi— ^0) ['y,(^o) + 0;],
ô'^ et ô'ô tendant vers zéro en même temps que ij vers t,,. On pourra alors écrire
= (^1 — to) [•1>\{K) -i- i^'.{to) + Oo-Î- ^'oq] ^.{t,-t,)lh'{t,)-%-\,
en désignant par 0^ la quantité imaginaire Ôq -+- i%, qui tend vers zéro en même temps que ô'^ et io^ ou que ti — ^o-
On aura de même et dans des conditions analogues, c'està-dire ôi, Ô2, . . ., tendant vers zéro en même temps que ^o — ^i- ^3— t^, . . . , la série d'égalités
-^3 — -2 = (^3 — ^2) ['yl^aj — 02],
En substituant les binômes ::] — ^o; -^2 — ^i' • • • ? ^« — -«-iainsi exprimés dans la somme ( 1 ) et en la séparant immédiatement en deux parties, celte somme deviendra
Sa seconde partie a évidemment zéro pour limite ; car, M étant le maximum du module de la fonction o{z) lorsque r parcourt la ligne z^^z,,, et /jl, le plus grand module parmi ceux des
'•^4 ALf;ÈBUE SUPÉRIEURE.
qiiaïuiiés Oo, o,, o^, . . . , ô,i,, le module de celte seconde parlie est lui-même inférieur (821, SVO) à
c'est-à-dire tend vers zéro en même temps que ^j., ou en môme temps que le nombre des points intermédiaires sur la ligne -o-« croît indéfiniment.
Considérons maintenant la première partie de lasomme (i). D'une manière générale, on peut mettre le produit o{z)^'{t) sous la forme
f{t) et F(0 représentant deux fonctions réelles de t; cette première partie revient donc à
[(^i-^«)/(^o)-:-rf2-/,\/-ùi) --...-;-(;„-;„, )/(/„,)]
Les deux parenthèses ci-dessus ayant pour limites respectives (758) les deux intégrales définies réelles
/ J{i-)di, / Y(t)dt,
la somme (i) tend finalement vers la limite
J fU)dl-r-i j l\t)dt, ■
et c'est cette limite qui définit l'intégrale
f\{z)dz.
prise tout le long de la courbe z,z^, depuis .^ = .^o jusqu'à On voit qu'on peut écrire à la fois
l / o[z)dz=. f [J\l) + iF{l)-]dt
La deuxième démonstration, comme la première, prouve l'existence d'une limite et ramène son calcul numérique à
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celui d'intégrales de fonctions d'une varialile réelle. Les deux résultats coïncident quand on prend t:^x.
951. La fonction ^{z) étant toujours imaginaire, admettons que la variable imaginaire ;;= ^' -H j>« se réduise à la partie réelle x.
Si nous nous reportons à la première démonstration du numéro précédent, on voit que P et Q deviennent alors des fonctions continues de x, telles que P =r/(x) et Q :=F(.rj, de sorte qu'on a
9(^) = 9(.r)^/(.r) + rF(^-).
La courbe suivie par z se confondant d'ailleurs avec l'ave
dy des X, on a ,^^=o, et l'égalité (2) [930] prend, dans ce cas
particulier d'une fonction imaginaire d'une variable réelle, la forme
/ cp(j')6?.r= / f {x)dx -h i f Vix)flx.
^■Vo ^.''o •^Jo
