Reprenons la somme (i) sous sa forme primitive
©(-0) (-1 — -OJ + 9(-l) (-2 — =lj+- • •+?(-«-! j (-/. — -„-l),
et cherchons une limite supérieure de son module.
M étant toujours le maximum du module de la fonction o(c) lorsque z parcoui't la ligne "0",,, désignons par / la longueur de cette courbe et, par Cq, Ci, ..., c„,, les longueurs des cordes des arcs successifs -0-1, -i«2, ■••j-«-i-«- Ces cordes représentant précisément (877) les modules des différences ^1 — ^0, z.^ — Zi, . . . , z,i — -«-1, le module de la somme (1) sera moindre (821, 840) que
M (co + Cl 4- . . . + c,i-i) ou que M /.
Il en résulte, d'après la définition de l'intégrale,
mod I r^(z)dz< f mo(\(^{z)dz<ML 953. En considérant toujours l'intégrale définie (930 j
laf) ALGÈBUE SUPÉRIEURE.
changeons de variable en posant
La variable 0 parcourt la courbe -o-«> quand la nouvelle variable z' parcourt la courbe z'f,:-',^; et nous admettons que la fonction <]>(-') reste alors continue et a une dérivée '\>'{z'), de sorte que dz — '\i' ( z') dz'.
On a dans ces condUions
^.; j'\{z)dz=. j"' o(z)'Y{z')dz',
les intégrales étant prises respectivement suivant les deux lignes Zf^Zii, ^^z^.
En effet, on peut écrire (oio) les égalités successives
-1 — -0 =^ i =1 — -0 ) W < s'o ) -i- Ôo] ,
11 en résulte, comme précédemment (950),
I cf,(;o)(3i— -o)-1-<?(-i)(32—'i) '-...— «5(:;„-i)(3„ — 3„i) '2) 1 =|(3'i — 3'o)cp(:;o)'y(2'o)-^(-2- -•'i)?(-i)4''(2'i ^^■■■-^{^'n—~^i-i)'^{^n-i)^' {z'^
Il est clair que, si l'on désigne encore par M le maximum du module de cp(^) le long de la courbe z^z,,, par [i le plus grand module parmi ceux des quantités à^,, ô,, . . . , '5„i, par /' la longueur de la ligne z'^^z',,, et par c'„, c\, . . ., c'„^, les longueurs des cordes des arcs successifs z'ç^z\, z'^z'.,, . . ., z',^^z'„, le module de la seconde partie de la somme ci-dessus sera moindre (821, 84-0, 877) que
Mfi(c; 4- c'i + . . . + c'„i) < Mixl'.
Cette seconde partie tend donc vers zéro en même temps que/Ji, ou en même temps que le nombre des points intermédiaires sur z'^z',^, et par conséquent sur ;o-/(» croît indéfiniment.
L'égalité (2) entraîne alors à la limite l'égalité (i).
Celte proposition va nous permettre d'étendre aux fonctions imaginaires la règle fondamentale du n» 762, en justifiant ainsi les premières indications du n" 94-8.
954. La fonction u =z^ (^z) étant continue et admettant la dérivée o {z) lorsque la variable z décrit la courbe z^z^, on a, en prenant V intégrale suivant cette ligne,
o(z)dz=:^{Z„)~~^[Zo).
En etfet, quand la variable z décrit la courbe ZqZ,i, la variable u décrit une courbe correspondante Uo^^n (887), et l'on a, d'après ce que l'on vient de voir (953) et en changeant de variable,
/ du= <if'[z)dz= j o{z)dz.
D'autre part, si l'on désigne par «,, «,, .... ;/,;;, des point.'; intermédiaires successifs sur la ligne «o"/i> la première intégrale est la limite de la somme
(«1 — «„) + (;/.2— Mj) -i-. . .-H (««— «„-i),
quand le nombre des points intermédiaires croît indéfiniment; et, comme cette somme se réduit toujours à
on a bien
I Cj>{z) dz = U„ — Uo = <t {z,i) — (^ (Zo).
905. Les théorèmes généraux démontrésprécédemment sur les intégrales définies (I""" Partie, Livre V, Ch. XVI) sont évidemment applicables aux intégrales imaginaires.
En particulier, quand on intervertit l'ordre des limites, on change simplement le signe de l'intégrale définie (763, 2°), la variable parcourant la même courbe en sens inverse.
Si l'on décompose la courbe Zoz,^ en plusieurs parties, telles que ZqZ,,, z,,z,„ on a (763, ^4")
j o{z)dz = j o{z)dz-\-f o{z)dz.
En remplaçant chaque élément d'une intégrale définie par
son module ou par une quanlité plus grande, on oblienl un limite supérieure du module de la valeur de l'inlégrale (8V(i. 9o2).
Les règles de l'intégration par parties (781 et suiv.) subsi — lent complètemenl, etc.
956. Le théorème relatif au développement d'une intégral»' en série convergente (793) sétenrl comme il suit auv inl<'grales imaginaires.
Si la fonction o{z) peut se déi-elopper suivant une série (i) «0+ «i-h «,4-. . .4-i/.,4- ^/„+i — . . .,
dont tous les ternies demeurent des fonctions continues de z quand cette variable décrit la li'j;ne z^Zp, qui soit convergente en tous les points de cette ligne, et telle qu'en chacun d'eux et pour n assez grand le module de la somme
soit moindre quun nombre donné y. aussi petit qu'on voudm . on a. en prenant toutes les intégrales le long de la mêni" ligne Z(, Zp,
(2) f ' 0{z)dz= f ' U,dz-^ f ' U,dz-^ f ' U,dz^....
En effet, S„ étant la somme des n premiers termes de l;i série (2), 'b{z) le reste de la série <i) ou la somme
/ la longueur de la ligne z^Zp ou du /«/ de liutégralion, on pourra écrire (9oo)
f''o{z)dz = S„-r- f''-H^)^^~-
Le module de ■-!>(3) est, par hypothèse, moindre que x. Pai"
suite (932), celui de l'inlégrale / •i;(;) c?- est moindre que a/
et tend vers zéro à mesure que n augmente indéfiniment, de sorte que S;, tend alors vers une limite égale à l'intégrale
I o{^-) dz; ce qui justille l'énoncé.
957. Après les détails qui précèdent, il reste à prouver (94-9) que, si l'on va du point z^ au point z^ {fig- iô) par deux chemins z^az^, Zq^z^,, infiniment rapprochés l'un de
Fig. 36.
P/ jm'
b y ynx
Zu a
Vautre et situés dans la partie du plan des axes où la fonction (ù{z) demeure holomorphe (9'i7), la valeur de Vintégrale
(^{z)dz,
prise suivant l'une ou l'autre courbe, est en général la même.
A chaf|ue point m de la courbe z^az^ correspond un point/? de la courbe z^bz,,, les deux points extrêmes ^o et z,^ se correspondant à eux-mêmes sur les deux courbes.
Si l'on passe, sur la première courbe, du point m au point infiniment voisin m', la fonction 9(-) subit un accroissement dQ{z). Si l'on passe du point m au point correspondant/) sur la seconde courbe, la fonction (^{z) subit un accroissement (litférent que nous représenterons par (5 ©(s), et z lui-même, au lieu de subir l'accroissement dz, subit alors l'accroissement ô:;.
Comme la fonction est holomorpbe, elle prend toujours au point y^ la même valeur, soit que le point-variable ait décrit le contour z^amp, soit qu'il ait suivi directement la seconde ligne Zt^bp. 11 en résulte que la valeur de la fonction au point/? dans la seconde intégrale (ou dans l'intégrale suivant la ligne z^^bz^) diffère de la valeur de la fonction au point m dans la première intégrale (ou dans l'intégrale suivant la ligne ZqUZh) de la quantité o'j){z), comme -3 diffère de m h p de la quantité ô^.
De plus, la fonction étant monogène, c'est-à-dire ayant par
Dk C. — Cours. IV. 9
l3o ALoi-nUF. SUPF.RlEURr.
hypollièse la niènic dériv(''e an point ///, (|iio le poinl décrivani suive rélémenl mm' ou l'élémeMl mp (l)2o el suiv.), on a à l;i fois
ou
(i) clo{z)èz. = oo{z)dz.
Cela posé, la variation de l'intégrale définie, lorsqu'on suit la courbe Zobz,,, au lieu de la courbe z^az^, est représentée, d'après les notations adoptées, par l'expression
[o { z) -î- 0 o { z)] d ( z -i- oz ) — I o ( c ) dz ou, en simplifiant (955), par
o{z) d oz -h 0 o{z) dz -h 0 o( z '. d dz;
ce qui revient, en ne conservant que les termes du deuxième ordre (520) et en tenant compte de l'égalité (i), à
(^{z) d oz ~t- oz d o{z ) .
Ce résultat peut évidemment s'écrire (570)
f "d[:.{z)ôz].
Or, l'intégrale générale ou indéfinie / d[o{z) dz] se réduisant (763, I") à o(::)o;, on a, pour l'intégrale définie correspondante,
O{:-n)0Z„— Ç>{^Z^)dzo.
('omme les points extrêmes ^o et z,, sont fixes, on a dzf,=io, dz„-:o,
et, par suite, la variation de l'intégrale définie considérée, lorsqu'on la prend suivant la courbe z^bz,, au lieu de la prendre suivant la courbe ZqGz,,, est elle-même égale à zéro. Ainsi, et sauf un infiniment petit du second ordre, les intégrales prises suivant les deux courbes sont égales. Elles le sont donc rigoureusement.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l3l
958. On déduit de cette proposition fondamentale les conséquences les plus importantes.
Au lieu de deux lignes infiniment rapprochées, considérons {Jig. 3;) deux lignes quelconques z^^kz^, z^^^z,,, allant du point ^0 au point :;„, dans la portion du plan oiv la fonction 9(^) demeure holomorphe.
Fig. 37.
11 est clair que les intégrations effectuées suivant ces deux lignes resteront encore identiques, puisque l'on peut passer de l'une à l'autre par une série de transformations successives et infiniment rapprochées qui, comme on vient de le voir, laisseront constante la valeur de l'intégrale.
Il en résulte immédiatement que, dans la portion de plan où la fonction o{z) reste holomorphe, la valeur de l'intégrale I o{z.)dz prise tout le long d'ux contour fermé, tel que
;;oA:;„B^o> ^■^^ nulle.
En effet, l'intégrale prise le long de -oAj„ étant égale (957* à l'intégrale prise le long de ;oB^„, et cette dernière changeant de signe (935) lorsque la ligne -oBc„ est parcourue en sens inverse, c'est-à-dire lorsqu'elle devient ::„B;o» l'intégrale prise suivant le contour total et fermé parcouru dans le sens de la fièche {fig- Sjj est nécessairement nulle.
11 est utile de remarquer que le sens indiqué ici par la flèche est ce qu'on appelle le sens direct ou positif. Le contour qui limite l'aire considérée se trouve alors décrit vers la gauche de l'observateur.
959. Lorsque l'aire considérée est limitée par une seule ligne fermée, on dit qu'elle est à contour simple; lorsqu'elle est limitée par plusieurs lignes fermées distinctes, on dil qu'elle est ci contour complexe.
l3'2 ALGÉURE SUPÉRIEt UE.
Ainsi, Tiiiio liniilée i)ar une circonférence est à conlomsimple. Taire dune couronne ciicnlaire est à contour complexe.
On peut toujours, à l'aide de coupures ou de simples tranversales, transformer un contour complexe en contour simple
Par exemple, dans le cas de \d,fig- 38, on réunira les deu\ circonférences par la transversale AA', et l'aire de la couronne sera limitée par le contour simple ACAA'C'A'A. Les (lèches indiquent le sens du mouvement.
Fig. 38. I-ifr. Sg.
De même, dans le cas de la fii^. 09, où l'aire considérée est celle d'un cercle C dont on a enlevé les portions limitées par deux petites circonférences intérieures C el C, on emploiera les deux transversales a'j3' et 3c"j3", et l'aire proposée sera alors limitée par le contour simple
a',3'(:',5'a'5c",S"C";3"a"Ca'.
Les ilèclies indiquent le sens du mouvemeul.
t)60. Lois(iiiun conloiw fermé C. comprend d'autres contours intérieiiis également fermés, tels que C, C", ..., la fonction o{z) restant toujours holomorplie dans l'aire ainsi limitée, l'intégrale prise tout le long du contour extérieur dans un certain sens est égale à la somme des intégrales prises dans le même sens tout le long des contours intérieurs.
{\\ faut bien faire attention que, par hypothèse, la fonction '^{z) cesse d'être holomorphe à l'intérieur des contours C, C", . . .).
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l33
Reprenons la fig. 09, el ailmetlons que les deux circonférences C et C" soient d'abord décrites dans le sens des llèelies /■' et/", c'est-à-dire dans le sens négatif ou en sens contraire de celui adopté pour la circonférence C.
L'intégrale / o{z)dz prise suivant le contour simple fermé obtenu à l'aide des transversales a'|3' et a"5", c'est-à-dire suivant le contour a't37'C',3'a'a";3'7"C"i3"a"Ca' , sera nulle (958).
Or, cette intégrale se compose (933) : des intégrales suivant a'a' et a"Ca' qui, réunies, constituent l'intégrale suivant (] prise dans le sens direct; des intégrales suivant a'|3', jS'a', «"5", ^"a", qui se détruisent deux à deux; enfin, des intégrales prises suivant C et C" dans le sens négatif. On aura
donc, en désignant d'une manière générale par / l'intégrale
prise suivant le contour C,
(I ou
