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tous les contours étant décrits dans le môme sens. S'il n'y a qu'un contour intérieur C, on a, quel qu'il soit.
961. Nous terminerons ces notions en démontrant les deux propositions suivantes :
1° L'intégrale j o{z) dz prise autour d'un cercle infiniment petit c dont le centre est en un point a {fig. 4o) tend vers zéro en même temps que le rayon r de ce cercle, lorsque l'on a. pour z 1^ a,
lim (:; — a) o{z) --=0.
En efTel , M étant le maximum du module du produit [z — a) o{z) le long du cercle c, il en résulte pour ce contour, la différence {z ~ a) ayant pour module /• (877),
mod ( :: —a) mod o{z) z M ou mod 9 ( - ) < — •
ALGÈBRE SUPÉniEURE.
On en drfliiit (Oooi, en représentant par /^l'intégrale prise • lont le long de r.
iiifxl I oiz)ch,. I - mod dz.
Mais le module de ch n'est autre (877) que l'élément ds du cercle c. La dernière intégrale se réduit donc à
- / ds^ —1-r^ M. 2-.
quantité qui tend vers zéro, par hypothèse, en même temps
Tig. 4o.
que /• ou que z ~ a, II en est donc de même du module de l'intégrale / '3{z)dz.
2° L'intégrale j'o{z)dz prise autour dun cercle C de rayon R, dont le centre est à l' origine, tend vers zéro à mesure rjue^ croit indéfiniment, lorsqu'on a, pour z = :c,
lim :; 'j{ z) =^o.
En etret, M étant le maximum du module du produit z o{z) le long du cercle C, il en résulte pour ce contour, r ayant pour module R,
mod; mod -^(r) = M ou
mod
On en déduit (9o5)
mod
o(z)dz j — mod dz = M . 2 ;:,
quantité qui tend vers zéro, par hypothèse, en même temps que r ou R croît indéfiniment.
11 est évident que les deux propositions précédentes subsistent lorsque rinlégration n'a lieu que suivant une portion des cercles considérés.
Extension des formules de Taylor et de Maclaurin aux fonctions d'une variable imaginaire.
!)(ri. Nous commencerons par démontrer le théorème suivant, découvert par Calcuv, et qui est fondamental.
Lorsqu'une fonction o{z) est holonwrphe dans une portion du plan limitée par un contour simple C, si l'on désigne par t un point quelconque pris à l'intérieur de ce contour, on a
En effet, décrivons du point t comme centre, avec un rayon infiniment petite, le cerclée à l'intérieur du contour C(/^. ^0-
Fig. 4i.
La fonction -?-^ est, à son tour, évidemment holomorphe
dans l'aire comprise entre C et c. Il en résulte que les intégrales de cette fonction, prises dans le sens positif, suivant C ou suivant c, demeurent égales (960). Nous n'avons donc qu'à évaluer l'intégrale
dz.
Pour cela, en remarquant (877) que le module de la diilé-
'36 ALGÈBRE SUPÉniEUKE.
rencc z — t. est o et en désignant par 0 son argument, nous poserons (905)
z — t—oe^'.
Il en résultera, t ne variant pas,
dzr^i^é^uVj et Jiî-^idO.
Nous aurons, par suite,
Mais la fonction o ( 3) étant continue et p infiniment petit, l'expression ©(^ + pe9') se réduit à la limite à la quantité constante o{t), et l'on a
ce qui est précisément la formule (r).
963. La foncUon o{z) étant holomorphe dans une certaine partie du plan, elle admet une infinité de dérii-éea successives, toutes holoniorphes dans cette même partie du plan.
Prenons, comme précédemment, un point t dans la partie considérée, supposée limitée par un contour simple C. La formule qu'on vient d'établir (962) étant applicable, nous aurons
(0 <^{t) = -l- foiz){z~t)'^dz.
Pour un autre point t + At, voisin du premier et situé aussi à l'intérieur de C, il viendra
9(^ + A/)=r-'-, fo{z){z^-f-lt)-^dz.
Il en résulte (953)
o{t-i-At)-o{t) = -^ f o{z)[{z - l ^~ It )'^ ~ (z~ t)-ndz
'À IL l J ' J
OU
A 9(0=-'-^ fo{z)Mz-i)-^dz.
On a donc
Mais la dérivée de la fonction {z - t r' de la variable t ayant évidemment (o6i, 575) pour valeur (. - O'S on peut ecnre (o*o)
A/ a tendant vers zéro en même temps que A^ Par suite,
Ouand A^ tend vers zéro, a tend vers zéro. A la limite, la sec'onde intégrale du second membre a donc un module nul(V. et disparaît, de sorte qu'il reste
valeur finie et déterminée.
D'après la formule {2), ou a, pour un point / - A^ voisin du point t et toujours situé à l'intérieur de C,
d'où, en soustrayant membre à membre la formule (2) de ce dernier résultat,
(3) Ar^'in=^. fo{z}\{z — l^--dz.
Comme la fonction {z-t)-'- est continue, on peut prendre A^ assez petit pour que le module de \{z-t)''- soit moindre qu'une quantité donnée aussi petite qu'on voudra, pendant que z parcourt C. La valeur do l'intégrale définie du second
C) En désignant par M le maximum du module de .?(--) le Ions; de C el par L la longueur de ce contour, on a, en elTet, pour une valeur donnée de A^
mod 1 ■^(:)idz^ ML mod a :
et, 5i \i tend vers zéro, il en est de même de a el de son module.
ALGKBItK SUPÉRIEURE.
".embrc sor.-, .nlors clle-,„ôme infiniment pcUle (-w la „„,c ...
Kniiii, oM ;,, d'après l'équalion (3),
■ dz.
La fonction {z-ty- ayant évidemment pour dérivée o (.-,, : on po(u-ra poser encore ^ ^ '
«^tendant vers zéro en même temps que A.. Con.ne on .-n
^A7- = ;^ I 9i.^){=^~t)-^dz+-' lo(z)y.dz,
il viendra à la limite
valeur finie et déterminée, de sorte que la fonction o'.v , es. outre, monogène. Elle est donc bien holon.orphe «O^t; dans la portion de plan considérée
-^0 1 e.t deja, o"(0 a son four sera Imlomorphe à l'in.érieur c même contour, et ainsi de suite indéfiniment. La p "- ^'iion énoncée est donc établie. ^
La dérivée du ,^i^- ordre a évidemment pour expression eu revenant aux exposants positifs, ' '
On voit, propriété bien remarquable, qu'il suffit de coumu e les valeurs de la fonction o(.) tout le long du conlou, C, pour déterminer les valeurs de la fonction et de ses clcrivees successives à l'intérieur de ce contour (•).
(■) On démontre dans le Calcul u.tégral que, pour dinércntier sous ie -.ne y par rapport à un paramètre ou par rapport à une certaine lettre
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. I Sq
9GY. Si le contour C est un cercle décrit du point L comme centre, avecr pour rayon, on pose, comme précédemment (962),
z — t — re^', d'où dz --=.ire^' d9.
A la place des formules (i) et (5) [963], il vient alors
pin
