r — p \rj /• — ? \/V

e'esi-à-dire qu'il tend vers zéro quand /* croît indéfiniment. Il s'ensuit, d'après la formule (2), que la fonction o{t) est la limite de la série convergente

■ ■'■-ij^. z 'i-ij^, z- ■i-ij^. z'

[Cette série est bien convergente, puisque la somme de ses /i-V-i premiers termes, pour n aussi grand qu'on voudra, a '^{l) pour limite.]

La fonction —^ demeurant continue sur la circonférence /•,

les intégrales du développement (4) ont des valeurs finies et

déterminées; ces valeurs sont d'ailleurs indépendantes dti rayon /•, puisqu'elles resteraient les mêmes sur toute circoolerence i-onccnlrique de rayon moindre (9G0), décrite dans le môme sens.

Si l'on pose

la série ( ''i) prend la forme

OU, en remplaçant i par ^ et en restant poiu- les valeurs de r en deçà du module Ia,

ii.tZ- h- 1/ .,:■■' -f- . . . .

En tenant compte des relations z^re^'- et dz^:=iizdO, ou peut mettre la valeur de iin sous la forme

(5 bis)

j r-"-o{rc"

"'"•'•'■' rf6.

967. Séiue de Taylor. — Nous allons pouvoir maintenanl étendre la formule de Taylor (075) aux fonctions imaginaires.

Considérons une fonction o{z), holomorphe dans l'aire limitée par le contour quelconque C. Décrivons à j'iutérieui'

Fig. 4:i.

de cette aire {fig. 43) une circonférence de centre z^ et de rayon r. Pour un point quelconque t de cette circonférence.

ALGÈBRE SUl'ÉRIEUlU: . I 43

nous aurons, (ra[)i"ès le ihéorènie fundamenlal de Caucliy

(0 0(0 = -^. f^^dz.

L'identité que nous venons de démontrer (96G) donne d'ailleurs

I / /2 f^ 'zî'-i

ou, en divisant par c les deux membres,

- l ~-~^Ti ' Ta ' ' • • --r- 7^,77:1 + Z f '

Le premier membre de celte identité ne cbangeanl pas quand on remplace z ei t par c — ;„ et ^ — Zq, il en est de même du second membre, et l'on a

z^t^'z~-Zo'^{z^z,}' -'{z — z,)'

it-z,)" , {z — z,Y^'

En opérant comme on vient de le voir (966), c'est-à-dire en multipliant les deux membres de l'égalité précédente par o{z)dz el en intégrant ensuite le long du contour C, on a. d"après (i) et / — ^y étant une constante,

Z{t) = . / -^ dz^ r~ / — -