J^^ Z — Z^ 2TlI J^. [z

H r — / — '■ dz -i- . . .

IT.l J^{z.—Zç,Y

Il est clair (9G6) que le dernier terme du second membre de cette relation tend vers zéro à mesure que n croît indéliniment, puisque l'on a mod (^ — ^o) < 'HOc' (- ^^ ^oj-

} \/^ ALGÈBRE SUPÉniKURE.

l*ar conséquent, cp(0 se trouve développée suivant une série convergente à l'intérieur du contour C.

Mais nous avons obtenu (963), dans les conditions où nous nous trouvons, la formule générale

o'"Ut)— . — / — ■ ,dz,

d'où l'on tire

on, en supposant t. = z^,

<2)- ^dîT^'"'

Faisons varier n depuis ; jusqu'à /i dans l'expression (3) et remarquons que, pour t = z„, on a directement (96*2)

ziz)

-dz.

En substituant les valeurs correspondantes dans {■>.), il vient

en posant

[11 faut bien remarquer que, dans la valeur du reste II, nulle pour /i = oc, z est un point quelconque du contour C, tandis que t demeure un point intérieur à ce contour.]

Puisque t est quelconque, on peut, pour jilus de généralité, mettre z à la place de / dans l'équation (.i), et écrire

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l45

Si l'on veut retrouver la forme habituelle du développement, on peut poser

Z — Z-or= h, d'où Z^=ZQ->r-h.

On aura ainsi le développement de 9(^0 - ^0 en fonction de Zq et de l'accroissement h. Si l'on remplace encore, pour plus de généralité, ^o par -j il vient, comme au n° 675,

( 6 bis )

>{z^h) = cp{z) + -(^'(z]

fi=-)

C'est la série de Taylor, étendue aux quantités imaginaires.

968. Série de Maclauri>'. On passe de la série de Taylor à celle de Maclaurin, en supposant le point :;o ou le centre de la circonférence /• {/ig. 43) à l'origine 0.

11 faut alors, dans les équations (3), (4), (5), (6) du numéro précédent, faire Zo=z o. L'équation (6) devient alors

(7) ?(-; — ?(o; ^ Y 9'(o) -h ~ cp"(o)

9"'{oj

C'est la formule de Maclaurin (684), étendue des quantités réelles aux fonctions imaginaires.

La fonction 9(^) est alors holomorphe dans le cercle ayant

Hg. /,4.

son centre à l'origine et, pour rayon /•, le module du point z pris à l'intérieur du contour C dans les limites convenables

De C. — Cours. IV.

l46 A.LGÈBBE SUPERIEURE.

On a, dans le cas considéré (9G0), d'après l'équation (3) du n" 967 et l'équation (5 bis) du n'^ 964-, en faisant ;« ou t égal à zéro,

o(«)(o)^ !__ foi:-)

dB.

En résumé, une fonclion 9(3), holomorphe à l'inlérieur d'un contour simple i\, est développable en série convergente par la formule de Maclaurin, sous la condition que le module de la valeur donnée à la variable reste inférieur à la plus petite des quantités pour lesquelles la fonction cesse d'être holomorphe. Si cette plus petite quantité est , par exemple {fig- 44), ON = ô, il faut qu'on ait /• < ô.

On voit qu'on n'a pas ici à se préoccuper de la valeur du reste R (967), qui est toujours nulle pour nz=zoo, tandis que, dans le cas des fonctions réelles, l'expression de ce reste exige une discussion délicate (684, 691, 696, 704), le plus souvent impossible, et qui restreint par suite beaucoup l'emploi de la formule de Maclaurin.

Applications.

969. On pourra juger dans le Calcul intégral de toute l'importance des principes qu'on vient de développer, au point de vue de la transformation et du calcul des intégrales définies dont nous avons exposé les premières propriétés dans le Volume précédent (761 et suiv.), et dont nous avons étendu dans ce Chapitre la définition aux quantités imaginaires. Nous donnerons un seul exemple, et nous nous bornerons ensuite à indiquer quelques applications de la formule de Maclaurin généralisée.

Exemple d'intégration. — Chercher l'expression de l'intégrale / z"'dz, le long de la droite x — y =-o.

On a ici

z^= X -\- y < =1 ( 1 -t- /■) ci-, dz 1= dx + idy =: ( n- « ) dx.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l ^-J

Par suite,

5'« of; = ( 1+ 0'""^' ^"' dœ.

D'.iilleurs, :; rr o répond à ^ = o, et l'on peut écrire (773 )

/ z"'dz —If— «■)'"'' / .^^'"'^/^ - I I -I- 0'"^'

Par exemple, pour m : 2 et x- i, on trouve ( 9oi, 957, 958)