Fonction rationnelle. — Soit la fonction rationnelle

Une pareille fonction demeure holomorphe dans toute partie du plan des axes qui ne contient aucun de ses pôles (9i7). Ces pôles répondent aux racines ou aux zéros de son dénominateur.

On marquera dans le plan des axes les points a, 0, c, . . ., qui correspondent à ces zéros, c'est-à-dire les points critiques (920) pour lesquels la fonction devient infinie.

Si a est celui de ces points qui est le plus rapproché de l'origine, la fonction rationnelle sera développable par la série de Maclaurin (968) dans le cercle décrit de l'origine comme centre, avec Oa pour rayon. Sur le cercle ou au delà, la série devient divergente, parce que la fonction est infinie au point a (965, 966).

De même, si, d'un point ^0 pris dans le plan des axes, on décrit un cercle ayant pour rayon la distance du point :;o à celui des pôles de la fonction qui en est le plus rapproché, la fonction rationnelle sera développable dans ce cercle suivant la série de Taylor (967), c'est-à-dire suivant les puissances croissantes de ; — ^o.

971. Fonction (i -;- z)'", lorsque l'exposant m n'est pas entier. — Dans le cas des quantités réelles, nous avons vu (691) que l'expression (i -^ ^)'" n'est alors développable par la for-

l48 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

mule de Maclaurin (684), en série convergente de la forme

m m (in — i ")

m (ni — \)(rn — ?,)...( «i — n ~ i) i .'1.6. . .a

que lorsque la variable x est moindre que l'unité en valeur absolue. Il en résulte que le développement analogue (968)

m (m — I ) [jn — i) . . . (m — /? -i- i ) I .2.3. . .«

n'est applicable aux quantités imaginaires que lorsque le module de la variable z est inférieur à l'unité (891). La fonction (i -^ z)"^ n'est donc holomorphe que dans un cercle décrit de l'origine comme centre avec un rayon égal à l'unité. Il faut remarquer que, d'après la formule de Moivre (8i6), la fonction (1 + 5)'", quand m n'est pas entier, admet, pour chaque valeur de z, plusieurs valeurs distinctes, tandis que la série convergente du second membre de la relation (i) n'en a qu'une seule. Ce second membre tendant vers l'unité quand z se rapproche de zéro d'une manière continue, la série correspondante représente spécialement celle des valeurs de (i-i-^)'" qui jouit de la même propriété, c'est-à-dire qui répond (846, 847) à A =0.