Fonction l{i^z). — x étant une quantité réelle, la

série

n'est convergente que si la variable x est, en valeur absolue, moindre que l'unité ou égale à l'unité (696). Le développement analogue (968)

n'est donc applicable aux quantités imaginaires que lorsque le module de la variable z est inférieur ou égal à l'unité (891). La fonction /(n--) n'est, par suite, holomorphe que

ALGÈBRE SUPÉRIErRE. 1^9

dans et sur le cercle décrit de l'origine comme centre avec un rayon égal à l'unité.

La difficulté que nous venons de rencontrer (971) se présente encore ici. Nous avons reconnu, en effet (909), qu'une quantité imaginaire a une infinité de logarithmes népériens imaginaires formant une progression arithmétique de raison 2T.i, tandis que la série convergente indiquée n'a qu'une seule limite.

Nous remarquerons, à ce sujet, que le second memhre de la relation (i) tendant vers zéro quand z se rapproche de zéro d'une manière continue, la série correspondante doit représenter spécialement celle des valeurs de l{i — z) qui jouit de la même propriété.

Or, en désignant par p le module de i — c et par y. la plus petite valeur de son argument, on a (909)

/((i -^ z\^ = lo -^ (y. -■- 2/<-)i,

et l'on voit que la condition indiquée ne peut être remplie que par la valeur principale du logarithme, qui est (910)

Ip -i- y.i:

car, z tendant vers zéro, i -i- z tend vers i, dont le logarithme a pour valeur principale zéro. Ainsi, la série ohtenue représente la valeur principale du logarithme cherché.

973. I. Fonction arclang^. — u- étant une quantité réelle, aictang.r est développable en une série convergente de la forme (70i)

à la condition que la variable x soit, en valeur absolue, moindre que l'unité ou égale à l'unité.

A une valeur donnée de x répondent d'ailleurs une infinité de valeurs de la fonction arctangj? (T/v'^o/i., 43). Mais, parmi ces valeurs et dans l'intervalle où la convergence de la série existe, une seule se réduisant à zéro quand x approche de zéro d'une manière continue, c'est celle-là qu'il faut choisir comme limite de la série ou que la série fait connaître, c'est-

à-dire la valeur de arctanga: comprise entre — - et -f- -•

'^*^' ALGÈBItE SUPÉRIEURE.

Dans le cas dos quantilés imaginaires, on voit dabord que Je développement analogue (968)

(') arc tang^ =r - — 1- ( r :i j

n'est applicable que lorsque le module de la variable :; est inférieur ou égal à l'unité (891). La fonction arctang^ n'est donc holomorphe que dam et sur le cercle décrit de l'ori-ine comme centre avec un rayon égal à l'unité.

Mais la difficulté qui se présente déjà dans le cas des quantités réelles a lieu a fortiori dans le cas des quantités imaginaires. Comme nous l'avons vu (918, 111), arctang. est susceptible d'une infinité de valeurs renfermées dans la formule

arctang.==^/(('i±ii^j,

et la série convergente qui constitue le second membre de la relation (i) n'a qu'une seule limite.

Or, z tendant vers zéro d'une manière continue, il en est de même de la série. Il faut, par suite, qu'il en soit aussi de même de arctangc; ce qui exige (972) que l'on choisisse pour valeur de cette quantité celle qui correspond à la valeur principale de

car .- tendant vers zéro, ce logarithme tend vers celui de i

Si l'on désigne par p le^module et par a la plus petite valeur de l'argument de ^^, la série (i) représentera la valeur de arctangG qui est égale à

lo -^ cti

II. Fonction arcsinr. - x étant une quantité réelle, arcsin^- est développable en une série convergente de la forme (798, 3M

arc ^xnx^x-^l ^ -■ h^. f! ^ llA ^ ^

à la condition que la variable .r ne surpasse pas l'unité en valeur absolue.

A une valeur donnée de œ répondent d'ailleurs une infinité de valeurs de la fonction ?ivc?>ma- {Trigon., 43). Mais, parmi ces valeurs et dans l'intervalle où la convergence de la série existe, une seule se réduisant à zéro quand x approche de zéro d'une manière continue, c'est cette valeur que la série fait connaître, c'est-à-dire celle de arcsin^c qui est comprise

entre et — - •

Si l'on remplace maintenant x parla quantité imaginaires,

la nouvelle série

I 3» ,.3 ^5 1.3.5 ^ (2) arcsin^rr^s-i-- -3-4--^-5 -t-^;^ ^ -T----

demeure convergente, tant que le module de la variable z ne surpasse pas l'unité (891). La fonction arc sins n'est donc holomorphe que dans et sur le cercle décrit de l'origine comme centre avec un rayon égal à l'unité.

Nous avons vu d'ailleurs (918, II) que cette fonction est susceptible d'une infinité de valeurs renfermées dans la formule

arc sins = -.l{{iz±\i — ^0) •

Comme la limite de la série (2) tend vers zéro lorsque la variable z tend elle-même vers zéro d'une manière continue, la série, parmi toutes les valeurs données par la formule ci-dessus, représente spécialement celle qui jouit de la même propriété.

La limite de la quantité iz-=zsj i — z'', pour z — o, étant mi, on verra facilement, en raisonnant comme dans le cas précédent et en se reportant au n° 911, que la limite de la série correspond encore à la valeur principale de