On a, quel que soit z

et, par suite, en changeant z en --z,

En retranchant et en ajoutant successivement, membre à membre les relations (,) et (2), puis en divisant par le facteur commun 2 les résultats obtenus, on trouve

Lorsque :; est réel, ces deux séries sont convergentes pour toute valeur finie de . (397, 3°). n enrésulte qu'elles lèsent encore, lorsque . représente une quantité imaginaire quelconque, de module fini(8')J , Les senes ou les résultats (3) et (4) sont appelés le sùms et le co.'i^un hyperboliques de z, que z soit une quantité réelle ou imaginaire

On représente ces deux nouvelles fonctions par les notations sinh- Goshc, et 1 on écrit

sinhs = — ~ — "-, coshc = ^~

Les quatre autres fonctions hyperboliques générales sont

sinhz e- — e"tanghz =

coséch3 =

séc h c =

C0th3 = ; — —

lang 11 3 e= — e-^

973. Nous avons trouvé (903, 90i), pour les deux premières fonctions circulaires directes générales, les formules suivantes, analogues aux formules (3) et (4) du numéro précédent :

(5) sinz =:

coshz

gz ^ e-=

smhs

gz .^ e-z

coshc

On en déduit, en remplaçant :; par zi^

•js

cosz./ = coshs,

COShs = C0S3«.

On a donc, en même temps (974.\

sinzi tangzï

sinzi = —

■il

c'est-i

i-dire

sinsî = -

sinh

ou

sinhs =

tang vlz — -.

coséchs = ^—.

sin2i

= jcoséczi

= secs/,

coths — .

= icQlzi.

tangzj

Si, dans les valeurs qu'on vient de trouver pour les six fonctions hyperboliques, on change de nouveau z en s/, il vient, en renversant

I T).'! ALGÈBUE SUPltRIEURE.

lus doux membres,

siiili r/ , . Vàns.hzi

smc =- — 7—f coss coshz/, lan":; — — '-. >

cosécc -- «coséclîc/, séc3 - séchs/, coU =/cothsi.

976. Il est visible que les fonctions hyperboliques et les fonctions circulaires directes générales rentrent au fond les unes dans les autres et ne sont que des cas particuliers des mêmes séries; la tangente, la cosécante, la sécante et la cotangente se déduisant d'ailleurs du sinus et du cosinus, de la môme manière dans les deux groupes de fonctions. Ainsi, quand on remplace z par zi, la série (3) du n" 974 donne la série (5) du n° 975, multipliée par /; et, réciproquement, la série (5), divisée par /, donne la série ('3i. Quant aux séries (4) et (6), elles })errautent l'une avec l'autre.

Pour les fonctions hyperboliques, comme pour les fonctions circulaires directes, le cosinus et la sécante sont des fonctions paires, tandis que le sinus, la cosécante, la tangente et la cotangente sont des fonctions impaires ('903).

Malgré les analogies que nous venons de signaler plus haut, il existe quelques différences entre les formules fondamentales applicables aux deux groupes de fonctions. Nous allons donc établir rapidement celles (|ui se rapportent aux fonctions hyperboliques.