A la formule y^Ql
sin-:;i -T- cos'-ï/ = 1 répond (973; la formule
sinh^z
c'est-à-dire
( i) cosii-s - sinh^G ^ i.
Si l'on divise les deux membres de cette relation par cosli-c. on a (974)
I — tangh^:; = r-— = séclr-:;.
cosh^s
On en déduit (•2) séch3=v'i — tangh-3,
et ensuite
,., s , I . , tanche
(o) coshj = - , smhr
\/i — tangh^z y/i — tangh^z
En divisant au contraire les deux membres de la relation (i) par sinh-3, on trouve
colh^s — I = ■ '. , = coséch^s,
c'est-à-dire
(j) coséchs — v/coth^s — I,
et ensuite
i coths , V) sinhr. = ^ coshz^
^colti-îz — T vcoth^s — I
978. Les formules fondamentales cos(3i — 3.2), sin(2i — 32», avec toutes leurs conséquences, sont applicables, sauf une modification de signe, aux fonctions hyperboliques.
Prenons, en effet, les formules démontrées au n° 907,
cosi 31 — 22; -^ cos2i coszo— sinsi sins.. sin(zi — Z2') = sinzi cosso — coss, sins2)
et remplaçons dans ces formules z^ et z, par z^i cl z.i. Il viendra
cosi,zi — ^o)^ = cos3iicos22« — sin^iisinso'sin {z^ — Zi)i = sinsiicoszoi — cos3iJ sin^o/.
c'est-à-dire, d'après les relations du n" 97o,
(i) cosb(zi — Z21 ^ cosh3iCOsh32— sinh^isinhs,-
(7,) sinh(zi-h32' = sinh^icoshz, — coshsi sinh^.,.
En divisant membre à membre ces deux dernières relations, puis les deux termes de la fraction du second membre par le produit cosh3i cosh32, on aura
tans h 3] — tanghzo ,3) tangh(3i-f-32)- i^tangh3,'mïï^hi^'
En changeant 32 en - 32 dans les trois formules qu'on vient d'ob tenir et en tenant compte des propriétés des fonctions paires et impaires (976, 903 ', on trouvera enfin
(4) coshtzi -32) — cosh3,cosh32 - sin h3i sinh32.
(5) sinh(3, — 32) =^sinh3i coshz. — cosh3, sinh32.
tanghzi — tangh32
(6) tangh(3, - 32 . = 7:ri^nghï7t^ir32 *
On remarquera que, contrairement à ce qui a lieu pour les fonctions circulaires directes, les signes se correspondent dans les deux membres pour le cosinus hyperbolique d'une somme ou d'une diff'érence, ainsi
'■*" ALGÈBRE SUPÉRIEUKE.
qiraux (Jeux termes do la tiinyentc hyperbolique d'une somme ou d'une différence.
979. En continuant, on établira facilement pour les fonctions hyperboliques des formules analogues à toutes celles usitées en Trigonométrie. ^
Par exemple, en faisant z,^z,= z dans les formules (i i, ( 2 ) ( 3 ) du numéro précédent, on a
''') cosh2z = cosh2s-r-sinli2c,
^■^'^ sinhas = -isinb^coshc,
'3) t.anaho-- 2tangh3
i~ tangh^z Comme on a aussi (977)
cosh2- — sinh^j = i,
la relation 11) ci-dessus donne
coshaz = I — 2sinh2 3, d'où
^■o sinh,. = 1 /l^^!illl::zi.
En éliminant, au contraire, sinh^-z, on obtient
C0Sh23 = 2C0Sh2-i,
d'où
(5) cosh.^i çoslv^^^^-
Par suite,
y coshas — X
En remplaçant 22 par z ou z par ^ dans les dernières formules cidessus (4). (5), (6), on a encore
i\hi.) sinhJ=t/^2^^Zï,
'5/^^n coshi^t /cosh3+j
{^ l'ii) langh-
/cos h 2 — I y coshs-f-i
980. On peut considérer des fonctions hyperboliques inverses gêné-
raies, comme on a considéré des fonctions circulaires inverses générales (917 et suiv. i.
1° xVdoptons la notation
Arg. sinli;.
que nous lirons : Argument dont le sinus lijpevholique est z, et posons
u — Arg. sinhz.
Nous entendons par là que le sinus hyperbolique de u ou la limite de la série correspondante (97-4) est égale à :;. Nous aurons donc
gu e~'^
s'mhu = ■ = 2.
Il en résulte
e-" — 2ce"— i = o ou €"■= z ±: \,/z^'r-i ,
c'est-à-dire
u = Arg. sinhz = l (^s ± ^z^-r- i)).
2° En posant
u = Arg. cosli:;,
on a de même (971) Il en résulte
gU ^ g—U
cos hu = '- = Z .
g2u — 2 3e"-r-i = o, e" = Z zh y/;'^ — i, u = Arg. coshz = l {{z rr y/z^ — jj).
3° En posant
u — Arg. tanghz,
on a (97i)
gU g—'*
lanshu = = z.
[1 en résulte
4° En posant
e-" = — — ^, f< = Ars;. tanghz =
u — Arg. coséchz on a (974)
cosecw = = z.
Il en résulte
id= i/i-i-z2
i/ = Arg. cosec hz = l\ \ j j •
|58 ALGÈBUE SUPÉRIEURE.
5" En posant
// - Are. sécii:
on a (974
r»vjL te — -- £J *
Il en résulte
^•C -sv ^ — W, t' ■ —
Il — Arc* ^f(^ "• — /Il
/( — i\l^* ocO.^ — l X
6° En posant enfin
// = Arg. cet h:;,
on a (^974 i
col li w — — -O *
gU g-U
Il en résulte
e2« = , H — Arg. cot 113 = - /
fz-^i'
On voit (909 et suiv.) que les fonctions hyperboliques inverses générales, comme les fonctions circulaires inverses générales (917 et suiv.), admettent, pour chaque valeur de la variable, une infinité de valeurs distinctes.
981. Nous indiquerons un peu plus loin les résultats relatifs à la différentialion des fonctions hyperboliques générales, directes et inverses.
Des fonctions hyperboliques réelles.
982. Quand on se borne aux fonctions hyperboliques réelles, auxquelles toutes les relations démontrées précédemment sont applicables, il est facile de déterminer le champ de leurs variations.
En considérant alors sinhx, cosha:, langh.r yx étant une quantité réelle), il suffit de faire varier .r depuis zéro jusqu'à l'infini positif, puisque (976 ), lorsqu'on change le signe de .r, cosh.r demeure invariable, tandis que sinho: et tangh.r ne font que changer de signe en gardant la même valeur absolue.
On a d'abord (974)
. , e-^—e-^ I / 1 suih.t' = = - I e^'
Pour X = o, sinh.r — o\ x croissant jusqu'à -t- x, e^ croît et tend vers
,,. „ . — décroît et tend vers zéro; sinhx croît donc, comme la va- 1 nifini, e^
riable, depuis o jusqu'à - y.. Eu réalité, d'après ce qu'on vient de raj)-
ALCxEBRE SUPERIEURE.
peler, les limites de sinh.r sont (comme celles de tang.t'i — x et -r-x. On a ensuite (974)
ces h .V — = - e-ï- .
Pour ^ = o, cosli J7 = I ; .r croissant jusqu'à -h x, il ea est de même de coshx, dont les limites sont — i et — x (comme celles de sécx.
lorsque x croît de o à - ] • On a enfin ('974)
tans h X —
Pour X = o. tangh.r = o; r croissant jusqu'à -r- ^, -^- décroît jusqu'à o. La fonction croît donc de o à - i. En réalité, elle a pour limites — I et -r- 1 (comme sin.r et cosx).
Quant aux fonctions inverses des précédentes, coséchx a les mêmes limites que sinh.r; séch.r varie de i à o (comme cos.r, lorsque .r
varie de o à -;: enfin, coth^ varie de — co à — i et de — 3c à — i (comme sécx).
