La remarque suivante est utile dans les applications
On a (403)
Il en résulte que e^, égal à 2o,o855..., est très peu supérieur à 20. Par suite, pour une faible valeur de x, eu égard à l'échelle parcourue, pour X = i8 par exemple, on a, par excès,
Il i -^ .
e-^ = —~ = = = 0,00000001 DD23,
quantité moindre que 2 cent-millionièmes.
A partir de cette valeur de x, on a donc très sensiblement, en négligeant e-^ dans les expressions du n° 974,
cosh.r — sinhjT = ~ e^ et tan2h.r = i.
984. Si l'on avait à sa disposition une Table des valeurs des fonctions hv-perboliques réelles, on pourrait s'en servir pour calculer les valeurs des fonctions circulaires directes lorsqu'elles sont imaginaires. Nous avons trouvé, en effet (975 ■.
cos3/ = coshc et sins/ = /sinhz.
'"° ALGEBKE SUPÉRIEURE.
Or, pour z -- .r-r-j/, on a (907)
cosz ■ cos(^--jO - cosa;cosj , sinxsmji, sinz -^ sin(xH-;>-ri = sinxcosjr/-.- cosorsinj/,
c'est-à-dire
C0S3 = cosa- CCS lu- ^ f smx sinhy, sins =sinj:coshj — /cos^sinhj.
98o. Le plus simple, pour former ces Tables des fonctions hvperbohques réelles, est d'utiliser comme il suit les Tables des fonctiôL circulaires directes réelles.
Soit 6 un angle compris entre - 90° et - 90» et ayant le même signe "^"Pos'ons" "■ '' '^"'"" 'PP'"' ^^-'-Piàude hjperbolUjue de .
cosh.r cos6 = 1.
Cette équation de condition conduit évidemment (974, 977) aux rela-
cosh.r = — sppft
cos6 -seco.
sinhj; = v/cosh2j;— ^ tangO.
Lang6 séc6
to^-.k tango
^^^^■^^r^^^ -COSO,
ces II X '
COSéchx = ^ — — pntfl
sinha- ^ ^"^^-
En remphiçant . par x dans la formule (6 bcs) du n° 979, on a aussi {Irigo/i., 66)
= tangua
tangh -' ^ i /cosh^ -^ /séc6 - 1 /i-"^^
2 \ cosh.r + i V séc8-+-i -\/' 7— ^sô
Des valeurs (974)
coshx = "l^IIl, si,,,^ ^ ^--£-
précïde^iiîef ''"'"'' ^ ^'''""''"'■' ^^' ^^^' '" ''"'"^ "'""P^" ^'' '"''^''""^
e^-cosbor -sinh^^ — „ ,f!!l!^. liLr^inO . ^^ /tt cose cose cose -iang(^-^
ALGÈBRE SUPÉRIEl IIK. \6t
en résulte
-Kî-!)
oiî. en désignant par M le module relatif qui permet de passer des lo- ;:aritlimes népériens aux logarithmes vulgaires (066), et qui est égal à loge ou à 0,43429448 . . .,
/- 0\ M.r = log taniï [ - -. — • ■ \4 ■>■!
Lorsque x est assez grand, on a. d'après la remarque du n" 9.s;!.
coshr = sin//.r = - c-^ ■>,
mi
log cosh'' = logsinh.r — loge'" — logs = M./-^ o /ïoioSoo. . . .
986. Cela pose, voici comment V.. Hoiiel a composé sa Table des valeurs des fonctions hyperboliques réelles ( ' ).
Six colonnes renferment les valeurs naturelles de sinO, coséc6. fangO, cotO, séc6, cosô et, par suite (OSo), les valeurs naturelles de 1 mghjr, colhj:, sinh.r, coséch.r, cosh.r, séchj:. Deux colonnes adja 'oates contiennent les valeurs correspondantes de x et de 0. Ces dernières sont données de millième en millième du quadrant ou de 5'. 4 .T. 5'.4.
De la valeur attribuée à f), on déduit la valeur conjuguée de ./• [)iir la ;nrmule (985)
logtaag(|^^) ^= -^ '
puis, à l'aide des Tables trigonométriques naturelles {voir t. H), les nom.bres à écrire dans les six autres colonnes. Les logarithmes de ces nombres sont, en outre, inscrits dans des pages placées en face de celles dont nous venons d'expliquer la composition. La Table est, comme à l'ordinaire, a double entrée. Puisque
sin(9o"— f) » = cosO.
la valeur de tangh./- qui répond à 90"— f) équivaut à la valeur deséch.r, qui répond à 6; etc.
(') Recueil de formules et de Tables numériques, uouveiie ùdition, Gauthier-Villars, i885.
De C. — Cours. IV. 11
162 ALGÈBRE SUPÉIIIKLIIE.
987. Lorsque la variable imaginaire z se trouve remplacée par la variable réelle jt, les fonctions hyperboliques inverses (980) ont évidemment les mômes expressions et admettent aussi une infinité de valeurs pour chaque valeur de la variable.
Si l'on ne veut conserver que les valeurs réelles de chacune d'elles, on devra (980, 911) adopter les formules suivantes, en astreignant dans chaque cas la variable .r aux limites indiquées :
Arg sinh.2- — /(.r -\- y/x"^-- 1 ).
Arg cosh.r = zt l\x -t- ■'J x'^ — i ) \x > 1]'
Arg tangh.f = \^Y^ [•^'< ' ],
, , . ± sj\ -h- .r2 Arg cosech.r — I '
Argséch.r = .-ir n ^j [o<.r<i].
Arg coth,r = - / I .r2 > i].
988. Au jioint de vue de la différenlialion des fonctions hyperboliques réelles, on a immédiatement (06S, .^71 , 57-i, o7o)
(I sin h X = d - (e^— e-^ ) — - (e^^ e-^ ) dx = cos h x dx,
d cosh.r —(■/-( 6''-^ e~^) = - (e^' — c--^" ) dx = sin h a' dx.
, , s i n h j: cos h 2 .r (T?.r — sin h^ x dx dx
r/ tangh,r — d ; — = t-, = r-— •
^ coshj; cosn-.r cosh''.*'
On a de même, pour les autres fonctions.
I COSU<^r/.î^
d co^èç,\\x = d -^—, — = r—r^' — '- = — coth.rcoséch.r r/.r,
smh.r sinn-'a-
, , , ,1 —s'mhxdx u ' 1 7
d sec h X — d ■ ; — = T— = — lang h x sec h x dx,
cosh.r cosh-x
dx
I cosh-.r dx
(^/colh.z- = .'/
tangh.r lang h -X sinh2ar
Ces formules, sauf les signes des diifércnlielles du cosinus et de la sécante hyperbolique&, sont identiques à celles ([ui concernent les fonctions circulaires directes (598 et suiv.).
On a encore (o87). dans des conditions analogues,
, , . , coshjcfZj: , ,
a l sin il X = ■ — -. — j ■ = cot 11 a:- ax,
smiix
7 7 i sinh^f/j:
cosnx- ^
dx
, , , costi-.r dx
rt / tanglix =
tangiia- sinh.rcoslix EnOn, on peut remarquer que l'équation tabulaire (985)
coshj:cos6 = I
donne (370)
sinlij:(/x cos6 — sin 6 d^ cosliu: = o.
Il en résulte (983)
-rr = tangO cotli.r = — -r = cosh.r et -r- = cos6. r/f) " cosO dx
989. Les formules établies au n° 988 entraînent immédiatement (THBj la connaissance des intégrales indéfinies correspondantes. On a ainsi, successivement,
/ QO?,\\x dx =sinhx-^C, / sinli.i- dx = cosli.r -r- C,
dx cosh^.
= tangho: -+- G,
I ■ , ., = — COtlij: — C,
J sinn-.r
sinh.r -un
rni— dx = — secn.r--C,
cosn2.r '
f coshx , , . ^
/ ■ . „ dx = — cosec 11 X — G.
/ coth.rf7j" =/ sin h a: — G,
/ tang!lixf/.r = /cosli.r -- G,
.1 sml
iii.r cosll.r
/ tangli.r -r- G.
9110. En considérant maintenant les fondions hyperboliques inverses réelles (987) et en se reportant aux nombreux exemples donnés dans la
l64 ALGÈBRE SUPÉKIEUnK.
