première partie, on a facilement, pour leurs différentielle
(lArgsinh.i = d l{.r ~t- yjx--^ i)
d Arg cos h.r = ± r/ /(.-c -h /r^ —i)—± f .r ~> 1 1,
,1 , I - -r. dx r . ^ I
d Arg lang li ./; = d-l • = [.r-: < 1 1,
I if" t/ ( — - x^
d Arg coséc 11 X = d l — '- ^-^—
. »i'"+-\/' ■'' dx r ^ ^ I
f/Argsech.r =z:zdl —z^ — fo<.r<iJ,
, i , .r -+- I — dx dx 1,^1
rfArgcolh.r = ^^^ ./T^i " :^?^^^ "" 7=^ ^ ^ '^*
Un ea déduit les intégrales indéfinies correspondaute dx
rfr d.i
X ^ i-\- x'^ dx
— Argsinh.r -^ C,
= Arg cos h.r -t- C [>
= Arg coséc h.r — C.
= Arg séc h j: -!- C [o<.r<;i|.
dr.
= Arg colh.r -x- G [.r^ > i ].
/ — - — - = Are tanghr -i-C [.r- ' 1 1
Toutes les formules ci-dessus sont analogues, sauf des changements de signes, à celles qui concernent les fonctions circulaires inverses (609 et suiv., 7()G et suiv.)-
991. D'après les détails dans lescjuels nous sommes entré au point de vue de la différentiation des fonctions simples imaginaires (933 et suiv.), tous les résultats précédents sont applicables à la recherche des diffc^ rentielles des fonctions hyperboliques générales (981). directes ou inverses (974, 980).
Quant aux intégrales correspondantes, les difficultés qui se présentent lorsqu'il s'agit de fonctions imaginaires ont été exposées dans le dernier Chapitre du VI° Livre (948 et suiv.). et nous n'y reviendrons pas
ALGEBRE SUPERIEURE
Représentation géométrique des fonctions hyperboliques.
992. La liaison constatée anal\ ti(iuenienl (976 j entre les fonctions circulaires directes générales et les fonctions hyperboliques directes générales est susceptible, lorsqu'on passe aux fonctions réelles (98:2 et suiv.), d'une interprétation géométrique remarquable, fondée sur la correspondance qui existe entre le cercle et l'hyperbole équilatère. C'est ce que nous allons montrer succinctement.
Nous rap]iellerons d'abord la définition géométrique des fonctions circulaires.
Considérons ( fig- 'ô) le cercle OA, décrit de l'origine comme centre
l'ig. 45.
avec l'unité pour rayon. Son équation sera {Géom., iio)
Pour un point m de la circonférence, en désignant par 0 l'angle AOw, on a ( Trigoii., 8, 12 )
j = mp = sin6, x = Op = cosO,
d'où la relation fondamentale ( Trlgon.. 34)
cos-6 -t- sin"-0 = 1.
Si l'on prolonge le rayon Om jusqu'à ses rencontres U et T avec les tangentes en B et en A à la circonférence, et si l'on mène à cette circonférence la tangente en m qui coupe les axes coordonnés en s- et en c. on a ( Trign/i., 7)
AT :r= ,m = tange, BU ^ mv ^ col 6, OT ::= 0.v= sécO. 0U-= Ov'= cosécO.
ALGEBllK SUPÉIUEURK
993. Cela posé, considérons à son tour [fi^. 4 > ) ll.vperbolc équila- 1ère, de derm-axe transverse égal à l'unilc. dont la branche de droite est alors tangente en A à la circonférence OA, cl qni a pour équation (Gcom., 438)
Prenons le point M de l'hyperbole dont l'ordonnée MF est égale à AT i-i
Fig. 45.
dont l'abscisse est OP. Il est facile de voir que le point P se confond avec le point .v. En effet, puisque
MP:=j' = AT= tangO.
l'équation de la courbe donne
OP = a: = /r^T^ = v/i-r-tang^'=. séc6 = Oy.
Si l'on admet maintenant que l'ordonnée j- de l'hyperbole représente esmus hyperbolique d'une certaine variable /. la relation fondamentale (97/)
cosh-V — sinh-V — i.
comparée à l'équation de la courbe, conduit nécessairement à OP = ,r=cosh/.
Puisqu'on a à la fois, dans cette hypothèse.
sinh/ = MP = tangO, cosh/ = OP- sécO,
toutes les autres relations établies au n" 98S s'ensuivent forcément Menons la tangente à l'hyperbole au point M. Sa tangente dincli-
liaison sur l'axe des x ou son coefficient angulaire sera (o3o), d'après réquation de la courbe, d'où l'on déduit
ixdx — -ly df ~ o,
dy -^ ^"^ — ^^^^"^ — L
— = langa = y - ^ - Lai,g(i - giae '
Désignons, pour un instant, par p le point d'intersection de la tangente en M avec l'axe des x. La sous-tangente PyV aura pour valeur
sin-O jcota= tangf)smf)= ^^^ •
D'autre part, on a, dans le triangle rectangle OmP,
nip sin- 6 ' Op cos 0
11 en résulte que le point yV se confond avec le point ]>, cest-a-dirc que la tangente en M à l'hyperbole passe par le point p., comme la tangente en m à la circonférence passe par le point P.
On a. sur la figure,
sin h/ langf) .. ,
* cos lu seco
coséch / = — ^ = — f j7, = col fJ - bU = mv. SHui/ tang«
«éch? = — ^ — = —r-T =cosO =0p. "^^ cos h/ séc<}
Pot 11/ = — i — = -7—r = cosécO = OU = Or. ^°^" langh/ smO
On peut remarquer que l'on a. en valeur absolue.
00 = 0/j tan- a = ^ = colO = coséch/ = BU. ' smo
On retrouve aussi, par le triangle rectangle 0/«P, la relation tabulaire (983) ^
Om' =OP.Op,
c'est-à-dire
cos h; cosf) — 1.
De l'équation de condition (974 )
sin h / = MP = tang 6 = — - — >
*^^"^ M.r.KHHE SUM'WillXRi;.
OU fJcduil (l'.iilleurs
' - ' — '2 lang 0.6-' — I = o ou
c'i = langO r= v/iang2 6-:-i.
/, d'après ce qui procède, doil être léel ol de même signe (lue 0. Lc< nombres positifs ayant seuls un logaritlime réel (911), on devra en prenant les logarithmes des dcu.x membres de la valeur précédente.' rr-jeler le signe moins du radical et écrire
t = H tango -- v/t^ig2f)-4 I ).
Il est facile de vérifier que ce résultat revient (983) à
. = /tang(j.^^.
994. On voit que, pour appliquer les relations que nous venons de démontrer et qui permettent de conclure immédiatement des fonctions circulaires les fonctions hyperboliques correspondantes, il n'est pas nécessaire que l'hyperbole équilatère soit tracée.
En effet, le choix du point m sur la circonférence entraine, par la détermination du point T et du point v, la connaissance du point M de l'hyperbole et de la tangente en ce point, puis.ju'elle doit contenir le point p.
Remarque générale.
993. En résumé, l'emploi des fonctions circulaires ou des fonctions hyperboliques générales ou particulières revient au fond absolument aujnême, et l'un ne doit pas présenter plus de difficultés (|ue l'autre.
Seulement, dans certaines questions, dans certains problèmes d'Algèbre, de Géométrie ou de Mécanique, ce sont tantôt les fonctions hyperboliques, tantôt les fonctions circulaires, qui s'introduisent naturellement.
Il y a lieu alors de conserver dans la solution du problème qu'on a à traiter, sans transformations et sans complications inutiles, les fonctions qui apparaissent explicitement dans sa mise en équations.
