o ku/ku n K s V !• i^: w r e c u i

degré de l'équation; Ao, A,, Aj, .-., A,„, coejjicienls dr l'équation, représentent des quantités réelles ou des quantités imaginaires de la forme a -\- bi, supposées connues.

Quand ces coefficients sont des nombres donnés, et non des symboles, l'équation devient numérique.

Il y a lieu de distinguer, au point de vue de leur résolution, entre les équations algébriques proprement dites et les équations numériques.

997. La résolution d'une équation générale de degré m consiste à trouver les expressions qui, composées algébriquement avec les coefficients de cette équation, et substituées à l'inconnue, rendent identiques les deux membres de ladite équation : ces expressions sont les valeurs générales des racines de l'équation de degré m. On les connaît pour les deux premiers degrés. Il nous restera à les trouver pour le troisième et pour le quatrième degré.

Au delà du quatrième degré, la résolution algébrique des équations générales est impossible.

La première démonstration rigoureuse de ce fait important est due à Abel ('); ultérieurement, Waxtzel (-) en a donné une démonstration plus simple.

Quant aux équations numériques, leur résolution consiste à trouver directement , par des procédés appropriés , les nombres-racines, c'est-à-dire les nombres qui, substitués à l'inconnue, annulent le premier membre de l'équation proposée, lorsque son second membre est égal à zéro. Quel que soit le degré de cette équation, la marche à suivre, d'après la méthode adoptée, reste toujours la même, sauf la longueur plus grande des calculs à mesure que le degré devient plus élevé.

998. Après ces définitions, nous allons insister sur les propriétés des fonctions entières , type des fonctions bolomorphes (947), pour les appliquer ensuite à l'étude des équations algébriques. Les propriétés de ces équations, à leur tour, nous en feront connaître de nouvelles pour les fonctions entières.

(') Abel, Œuvres complètes, nouvelle édition ; Gaulhier-Yillars, 1881. (") Wantzel, Journal de l'École Polytechnique, t. XV, Cahier '25.

ALGEBRE SUPERlEUIli:. l'y!

Propriétés générales des fonctions entières.

999. I. Soit 9(^) une Jonction entière de z. Si elle s annule pour z =:- o {c'est-à-dire si elle n'a pas de ternie constant), il existe une (juantité positive\, telle que, pour toutes les valeurs de la variable z dont le module est compris entre o et \, le module de cp(-) soit inférieur à un nombre donné quelconque N.

On a, par hypothèse,

9 ( c) = Ao z"' + A, .v«-' + A, s"'-2 4- . . . + A„,,;.

Soient p le module de la valeur attribuée à c et a le plus grand module parmi ceux des coefficients Ao, Aj, Aj, ..., A,„i. Le module d'une somme ne pouvant surpasser la somme des modules des parties (8i0) elle module d'un produit étant le produit des modules des facteurs (821), nous aurons alors

mod cp ( r ) < « ( p>" --(- p'"-' -I- p"'--2 --H . . . -f- p ) ou (IV)

mod o{z) <.a a,

c'est-; -:lire

mod o{z) <, a^

ni+X

On ne modifie pas celte inégalité en changeant les signes des deux termes de la fraction du second membre; et l'on voit que, si p est moindre que l'unité, on peut poser a fortiori

mod o(-) < — ^• i - p

Le module de 9(:;) sera donc alors inférieur au nombre donné N, si l'on a

N ou p < ^ J

et l'énoncé sera justifié en prenant

\~^^ al<;i;brk sipr.iuErnK.

Les propositions suivantes sont des conséquences iniincdinlcs (lo ce premier Ihéorènne.

1000. II. - Soit

a>{z) = A,„„G" -h A,„^„,-"^' -h. . . + V, :.'"-' ^- Ao:;'"

une J'oncLioii entière de z, ordonnée .suivant les puissances croissantes de la variable. Si l'on pose

cp(^)=rA,„„c"(n-K),

// existe une quantité positive A, telle cjue, pour toutes les valeurs de z dont le module est compris entre o et À, le module de K soit inférieur à un nombre donné fjuelconque N.

En efiet, la fonction K a pour valeur, en renversant l'orthv^ des termes,

iv— V -h- -.. '••■+~I -'

^^m — n -^in—n ^^ ni — ii

el on peut lui appliquer immédiaiemont le théorème précédent (999).

11 esl clair que la proposition subsiste lorsqu'on a n m o.

1001. Si la fonction entière <o{z) et la variable z deviennent réelles, la proposition précédente demeure applicable; et l'on voit que le module de K, c'est-à-dire la valeur absolue de celte quantité (820), pouvant être rendu moindre que i par toutes les valeurs de la variable dont le module ou la valeur absolue est inférieure à une certaine limite facile à déterminer (999), c'est le premier terme A,„„^" de la fonction <p(s) ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable qui, à partir de cette limite, donne constamment son signe à la fonction.

1002. m. Soit

9(r) = A„,^'«-+- A, ;'"-' + Aor"'-^-h . . .4- \,„, r + A„,

une fonction entière de z, ordonnée suivant les puissances décroissantes de la variable. Si l'on pose

tl existe une quantité positive 1 telle que. pour toutes les va-

ALGEBRE SUPERIEURE. 1 70

leurs de z dont le module est supérieur à À, le module de K soit inférieur à un nombre donné quelconque N.

En effet, la fonction K a pour valeur, en renversant l'ordre des termes,

A,„ I A,„, I A. I , Al I

A ^in A -/« — 1 ■ ■ ■ A ^i A -

On peut prendre pour variable ( 7 ) et appliquer la proposition ci-dessus (1000), de sorte que le module de K sera inférieur à \ pour toutes les valeurs de ( - ) dont le module

sera inférieur à un certain nombre positif ( ^ j facile à déterminer (999). Par suite, le module de K sera inférieur à N |)our toutes les valeurs de z dont le module sera supérieur à À.

1003. Si la fonction entière 9 {z) et la variable z deviennent réelles, la proposition précédente demeure applicable; et l'on voit que le module de K ou la valeur absolue de cette quantité pouvant être rendue moindre que i par toutes les valeurs de la variable dont le module ou la valeur absolue est supérieure à une certaine limite, c'est le premier terme Ao^'" de la fonction 9(3) ordonnée suivant les puissances flfec/oma/î/e.v de la variable, qui, à partir de cette limite, donne constamment son signe à la fonction.

lOOi. IV. Soit o{z) une fonction entière de z. Lorsque le module de la variable devient infini , il en est de même de celui de la fonction.

Si l'on a

o{z) = Ao ;'" + A, ;'"-' ^ . . . -I- A„,i ; + A„„ on peut poser, comme ci-dessus (lOOS),

D'après ce qui précède (990, 1002), pour une valeur assez

grande du module de ::, le module de K pcul devenir aussi petit qu'on voudra.

Désignons par M, p, a^^ et k les modules de 9(-), ^, Ao el K. Le module du premier membre de l'égalité précédente ser;i

«Vp'"'

Quant an module du second membre, il sera compris (S'j-O) entre i -h â' et i — /.. "Mais, p tendant vers l'infini, k tendra vers zéro, de sorte que l'on aura

ce qui justifie l'énoncé.

1005. Si la fonction entière et la variable deviennent /eV/Zé?^, le tbéorème subsiste; et l'on voit que les valeurs absolues de la variable el de la fonction tendent en même temps vers l'infini, le premier terme Ao :;'" de la fonction lui imposant toujours son signe, à partir d'une certaine valeur de la variable (1003).

Il en résulte qu'une fonction réelle (/e^^e^j^/éf /?«//•, ordonnée suivant les puissances décroissantes de la variable, a le même signe que le coefficient de son premier terme pour des valeurs absolues suffisamment grandes de la variable réelle, puisque toute puissance yjr/f/e d'un nombre réel est positive.

Une fonction réelle de degré impair, ordonnée de la même manière, a le même signe que le coefficient de son premier terme ou un signe contraire, suivant qu'on substitue à la variable réelle une valeur positive ou négative suffisamment grande en valeur absolue, puisque toute puissance impaire d'un nombre réel a le même signe que ce nombre.

1006. \. Toute fonction entière o{z) de la variable z est une fonction continue.

Nous avons déjà énoncé cette propriété évidente (46'2, 828), en nous fondant simplement sur la nouvelle forme donnée à la définition de la continuité (921, 922). Nous croyons devoir la préciser ici comme il suit, à cause de son importance au point de vue de la théorie des équations, en nous appuyant sur les propositions précédentes.

On sait qu'une fonction ©(;;) est continue dans un espace

ALGEBRE SUPERIEURE. l'jO

déterminé, lorsque le module de la varialiou ou de la différence

(i) (?{z.+Az.) — cf>{z)

devienl, dans le même espace, infiniinenl petit en même temps que le module de A (5).

Or, si o{z) est une fonction entière, on peut, quel que soit z-, développer 9(3 h- A^) suivant les puissances croissantes de l'accroissement A^, absolument de la même manière que lorsqu'il s'agit d'un polynôme réel (32i, 967). Il est clair alors que la différence (i) s'annule pour A^:=o. De plus, si

l'on représente son premier terme par A,„„ Az ( n pouvant être égal à zéro), on peut écrire, comme au n" 1000,

le module de K devenant aussi petit qu'on veut pour une valeur assez pelite du module de A:;. Par conséquent, le module du premier membre de l'égalité posée tend vers zéro en même temps que celui de A^ (840), et cela dans toute l'étendue du plan des axes.

Cette continuité des fonctions entières entraîne immédiatement des conséquences remarquables.

1007. VI. Soient une fonction entière o{z) et une variable z, toutes deux imaginaires. On sait (828, 836) qu'on peut leur donner les formes correspondantes

^ rz: /• (cosa 4- < sina) et 0(3) ^ P H- O/.

Cela posé, lorsque le module et l'argument de z varient, ensemble ou isolément, d'une manière continue et suivant une loi déterminée, aucune des quantités P e^ Q ne peut changer de signe sans s'annuler.

Admettons, en effet, que l'argument a varie d'une manière continue de aj à «2 et que, dans cet intervalle, le module r demeure constant ou varie d'une manière continue avec a. Si P ou Q prend, sans s'annuler, des valeurs de signes contraires pour a=rcci et pour a = a2, P ou Q est une fonction discontinue dans l'intervalle considéré, puisque ses valeurs négatives et ses valeurs positives, ne s'y rejoignant pas par leur limite commune zéro, s'y trouvent séparées. Il en serait donc de même de la fonction entière 9(3) ; ce qui est impossible (1006).

I '^6 AI.Gi;i!lîK SUI'KRIKUIIK.

Celle proposilion, clans le cas d'une l'onclion entière et (l'une variable réelles, revêt la forme suivante.

1008. V^il. La fonction entière ©(s) et la variable z étant réelles, si les valeurs z-i et Z2 > z, de la variable conduisent à des résultats z>{zi) eto^z.^) r/ui soient de signes contraires, la fonction o{z) s'annule nécessairement pour une ou plusieurs

valeurs de z, comprises entre z^ et z^.

La dénionstralion est identique.

Si la variable g varie d'une manière continue depuis la valeur z-=.Zi jusqu'à la valeur :; = :;,, <p(c) devra varier aussi d'une manière continue (1006) depuis la valeur cp(2i) jusqu'à la valeur (if{z^). Comme ces deux résultats son!, par bypothèse, de signes contraires, 9(3) passera nécessairement dans l'intervalle au moins une fois par la valeur zéro, limite commune des quantités négatives croissantes et des quantités positives décroissantes.

Principe fondamental de la théorie des équations.

1009. Toute équation algébrique (990) a une racine réelle ou imaginaire : tel est le principe fondamental de la tliéorie des équations.

On lui donne souvent le nom de théorème de d'Alembert, parce que c'est à ce profond géomètre que la première démonstration en est due (^).

Lorsqu'on se borne aux fonctions entières réelles et aux valeurs réelles de la variable, on peut facilement en prouve!' Texactitude, sauf dans un seul cas.

Les résultats qu'on obtient ainsi sont d'ailleurs indispensables à retenir au point de vue des applications. Nous commencerons donc par les indiquer.

1010. Toute équation algébrique à coefficients réels et cA degré impair a au moins une racine réelle de signe contrai ri' à son dernier terme.

Soit l'équation

F ( .r ) -= Ao X'" + A 1 .r '"- ' -4- ... H- A„, ,./•-+- A,„ = 0,

(') Reclierclies sur le Calcul intégral [Mémoires de l 'Académie de Berlin, \']'\V>).

dont les coefficients sont des nombres réels et où l'on peut toujours supposer Ao positif. Admettons qu'on fasse varier xde —oc à -HCC.

m étant impair, une très grande valeur positive substituée à X rend le premier membre de l'équation positif, tandis (ju'une valeur négative, très grande en valeur absolue, substituée à X, rend ce premier membre négatif ( 1005). D'ailleurs, pour.r = o, le premier membre se réduit à son dernier

terme A,,,,.

Si A,„ esl positif, le premier membre de l'équation cbange donc de signe pour une certaine valeur de x comprise entre — ce et o, et l'équation a au moins une racine négative (1008).. Si A,„ est négatif, le premier membre de l'équation change de signe pour une certaine valeur de x comprise entre o et 4- c^, et l'équation a au moins une racine /?05mVe.

Le Tableau ci-dessous résume ce qu'on vient de dire :