OC

O même signe que A,„( — ).

De C. - Cours. IV. "

l'yH ALfiKBr.K si;périp:l'iu;.

Le premier membre de l'équation change donc de signe, aussi bien lorsque x passe de — oo à o, que lorsque x passe de o à -H oc, c'est-à-dire que l'éqnalioii admet au moins une racine négative et au moins une racine positivi'.

L'équation

a au moins deux racines réelles, l'une positive et l'autre négativo.

1012. Il y a doute loiscjue. l'équation étant de degré paii- . son dernier terme est positif.

Dans cette hypothèse, en eflet, on ne peut affirmer aucun changement de signe du premier membre de l'équation, lorsque x parcourt toute l'échelle des grandeurs réelles, de — 00 à + 00 en traversant zéro.

Nous laisserons donc de côté ce cas particulier, auquel il faut joindre le cas général des équations à coefficients imaginaires, et nous passerons immédiatement à la démonstration du principe fondamental que nous avons énoncé (1009) et sur l'importance duquel il est inutile d'insister.

Parmi les démonstrations proposées, nous choisirons celle adoptée par J.-A. Serret ('), d'après Cauchy {Aneiens exercices de Mathématiques), et qu'il a notablement simplifiée. Malgré les remarquables travaux publiés avant ou après Cauchy, sur la même question, cette démonstration, entièrement analytique, nous paraît encore la plus directe et la plus simple.

Nous établirons d'abord le lemme suivanl :

1013. Lemme. — Soit une fonction entière quelconque de degré m, à coefficients réels ou imaginaires.

o{z) = Ao z'" + Al G'"-' + . . . + A„,, ; -,- A„, .

Si le module de <^{z) n'est pas égal à zéro pour une certaine valeur réelle ou imaginaire de la variable, z ^=^ Zq, on peut déterminer une quantité h, réelle ou imaginaire, telle que le module de o{zq~\- h) soit inférieur à celui de o{zq).

(') J.-A. .Skrret, Cours d'Algèbre supérieure , .i" édition: Gaulhicr- Villars i3G6.

Nous avons le droit de développer ©(^^o-r- k) par la série de Taylor (967). Nous aurons ainsi

r^{z, 4- //) = 9(,-o) + ?'(--o)^' + '^"^'-'^rr^ ^ ■ • •

\ . \i . o . . . lit

Par hypothèse, le module de 9(^0) n'est pas nul. Le premier terme du développement existe donc. Les coefficients de quelques puissances de h peuvent s'annuler et les termes coirespondants disparaître; mais le dernier terme du développement subsiste comme le premier. Son coefficient est, en effet, égal, comme on le sait (935, 325), au coefficient Aq du premier terme de 9(3).

Cela posé, représentons, pour plus de rapidité, les différents (oefficienls du développement par

Si nous désignons par Z„ le premier de ces coefficients qui, après Zo = 9(5o), soit différent de zéro, nous aurons

9( =0 H- /«) = Zo ^ ZJi" -r- Z„+, /i"-^' ^ . . . -t- Z,„A"' uu

( , ) 'tlif:^^ ^ X -^ 1^ A« -^ %:! A— -r- . . . + 1^ A"'. 9(-o) Zo Zo Z„

On peut poser alors (823, 836)

A = /• ( cos a 4- <■ sin a ) , 7^ = ?/j ( cos W/, + / sin u^,, ) ,

et l'égalité (i) deviendra (8il, 8W )

( 2) ' -, — T — = 1 -hp„/-"[cos(rta-r- w„) +«sin(/?a4-w„)]

+ p,„ /•'" [cos (in y. H- Gj„, j + <sin (/« y. 4- oj„,)]. Si l'on détermine alors l'argument y. par la condition

ny. -\- (,)„ = 77, la parenthèse qui multiplie p„/" se réduira à — i, et l'éga-

I <^<> \].»;i:Br.i-; si i'ciiikurk.

liié (2) prendra la l'orme

i-h -+- pm f'"' [ cos {01 Cf. -j- ',),!, } -I- <■ sin ( m a -f- oj„, )].

Soient maintenant K et 1{„ les modules respectifs de rû{Z(,-hh) et de cp(5f,). Le module du premier membre de l'égalité (3) est (842)

Le module du second membre est, comme on le sait (840), au plus égal à la somme des modules des parties qui le composent.

(Considérons d'abord le premier terme i — p,t/'"- Si ce premier terme est un nombre positif, il se confondra avec son module (820). Il suffit pour cela qu'on donne à /• une valeur

inférieure à ,77=^- Celte condition étant supposée remplie, on

VP«

aura donc

c'esl-à-dire

j P«-HI ^. P"+> P" P"

Lorsqu'on fait tendre h ou /■ vers zéro, la parenthèse du second membre de cette relation tend vers j, et elle reste positive (1000) pour toutes les valeurs de /■ comprises enlreo et une certaine limite positive X facile à déterminer (999). Par conséquent, pour toutes les valeurs de r comprises

entre o et la plus petite des deux quantités >. et ^rF=^ on a

VPn

nécessairement

ï^ < I ou H<Ro;

ce qui justifie l'énoncé.

1014. Principe fondamental : y'oule équation algébrique

ALGÈBUH SUPÉIUEURK. l8l

o{z) = o,à coefficients réels ou imaginaires et de degré quelronqite m, admet une racine réelle ou imaginaire.

En effet, faisons prendre à la variable z toutes les valeurs possibles, 'réelles ou imaginaires. Le module de 9(-), nombre positif, ne pourra pas diminuer constamment et atteindra un certain minimum. Ce minimum ne peut pas répondre à une valeur infinie de z ou de son module, puisque le module de '^{z) devient en même temps infini ( lOOi); il répond donc à une valeur finie du module de c

Il en résulte que le minimum atteint par le module de 9(2), lorsque s prend toutes les valeurs possibles, est nécessairement zéro; car, si l'on supposait que ce minimum eût une valeur finie Ro, non nulle, et répondant à ; = So, on pourrait, d'après le lemme qu'on vient d'établir (1013), déterminer une quantité additionnelle h pour laquelle on aurait

mod -^i ;., — l>^ < R ■•

quelque petit que fût Ko-

Il est, par suite, prouvé qu'il existe toujours une valeur finie de z, telle que l'on ait, pour cette valeur, mod o{z) ou 9(3) =0, c'est-à-dire il est prouvé que toute équation algébrique a une racine.

1015. Il faut bien comprendre de ([uelle manière une racine imaginaire de la forme a -~- hi peut satisfaire à l'équation o(; ) = 0.

' Comme on Ta vu (828), la substitution Aq a - bi a la place de 3 dans le premier membre de l'équation conduit à un résultat de même forme P + Q^'. Si a -i- bi est racine, on a

c'est-à-dire (820) que les valeurs de a et de h =atistoiit nn\ deux conditions P = o et Q =^ o.

Points racines.

iOlC. Ce que nous venons de remarquer (1015) conduii naturellement au procédé géométrique qu'on peut suivre pour trouver <rrapliiquement les racines de l'équation o{z) o.

Ramenons la variable z à la forme imaginaire et rem-

I<S2 M.C. i;BRK StPÉRlEtnE.

plaçons-la par le Ijiiiùnie a? -f- y/, où -p el y soiil des quanlilés i-relles. Nous aurons alors

'j{z) -'^{.F-^ ri) =•].(,/,•,}■) -h </.(.r, y).

L(? module de 9(3), égal à

s'annule toutes les fois que z- atteint une racine de l'équalion 9(s)^o, ou toutes les fois qu'on a simultanément

(1) •^(^,j) = o, y{jr,y) = o.

11 en résulte que, si c = « -f- /^< est racine, et seulement dans ce cas, a el b représentent, pour le système des deux équations (i), une solution comniune.

On peut alors, en prenant des axes coordonnés rectangulaires, construire par rapport à ces axes, comme nous l'avons déjà indiqué souvent (535), les deux courbes réelles, lieux des équations (i); el leurs points d'intersection réels auront précisément pour coordonnées les groupes de solutions communes {a, b) répondant à toutes les racines de l'équation 2,(5) ^ G. Ces points d'intersection sont les points racines.

Pour les racines imaginaires complexes, les deux courbes auxiliaires se couperont en dehors des axes; pour les racines imaginaires simples (803), elles se couperont sur l'axe des y (869); pour les racines réelles, elles se couperont sur l'axe des :r.

ALGÈBRE SVPÉIlIEUr.E.