CONSÉQUENCES DU PRINCIPE FOND.OIENTAL. - COMPOSITION DES ÉQUATIONS

Facteurs linéaires d'une fonction entière, nombre des racines d'une équation.

1017. I. Toute équation algébrique de degré m, à coejjicients réels ou imaginaires, admet exactement m racines réelles ou imaginaires.

Nous avons vu (13) que, lorsqu'une fonction entière 9(3) s'annule quand on substitue une certaine quantité « à la place de z, celle fonction entière est exactement divisible par le binôme z-a. Cette propriété est vraie, qu'il s'agisse de fonctions entières et de quantités réelles ou imaginaires, comme on peut s'en assurer en reprenant identiquement le raisonnement indiqué au n" 13.

Cela posé, considérons l'équation algébrique quelconque

de degré ;n

le premier membre, ordonné suivant les puissances décroissantes de la variable, ayant pour premier terme AqZ'".

L'équation proposée a une racine réelle ou imaginaire (lOli). Désignons-la par a. On aura o{a) = o et o{z) sera exactement divisible par z — a. Le premier terme du quotient sera k^z."'-K Représentons le quotient par o^iz). Nous

aurons

Si l'on forme l'équation o,{z)—0, elle aura une racine (pielconque b. On aura Oi(6)=o, et c?,(s) sera exactement divisible par z — b. Le premier terme du quotient sera

l84 AL(;ÈBnF. SUPÉlUEUr.E.

Ao3'"~-. Représenlons ce (luoliciil par o,{z). Nous aurons c?,iz) = {z-h)^,{z).

Le degré par rapport à z des quotients successifs allant toujours en diminuant d'une unité, on parviendra, en répétant la même opération un nombre suffisant de fois, à un quotient du premier degré 9,„,(s), dont le premier terme sera Kqz et qui, égalé à zéro, aura une racine et une seule {Alg. élém., 217). Si on la désigne par l, cp,„,(3) sera exactement divisible par c — /, et le quotient se réduira évidemment à Ao.

La série des opérations ainsi effectuées est résumée parles égalités suivantes, où les m quantités a, b, r, . . ., l représentent respectivement une racine de cbacunc des m équ;itions successivement considérées :

Si l'on multiplie ces m égalités membre à membre et si l'on simplifie le résultat, il vient identiquement

Les racines de l'équation o{z)=zo se confondent avec les valeurs de z qui annulent le second membre de l'identité (i). Or, pour qu'un produit de facteurs réels ou imaginaires soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs le soit (822). Les seules valeurs de z qui soient racines de l'équation 9(.;)^o sont donc précisément les m quantités a, b, a, ..., l; car toute autre quantité mise à la place de z, n'annulant aucun des facteurs du second membre de l'identité (r), ne peut annuler le premier membre.

Il est, par suite, démontré que le nombre des racines d'une équation algébrique quelconque est exactement égal à son degré.

Les facteurs binômes z — a, z — b, z — c, . . ., z — / sont ]cs facteurs linéaires, ou les diviseurs du premier degré, ou simplement \e?, fadeurs premiers de 9(^).

La démonstration précédente conduit à plusieurs remarques importantes.

1018. II. Toute fonction entière du m'""" degré, telle que nous l'avons ûéïxnxe, peut être décomposée en un produit de ni facteurs du premier degré, multiplié par le coefficient Aq de son premier terme. Il suffit de calculer les racines de l'équation correspondante (|>(s)=:o.

Réciproquement, on peut former immédiatement le premier membre d'une pareille équation, lorsque ses racines sont données a priori. Le coefficient Aq reste seul arbitraire.

Il en résulte que les premiers membres de deux équations algébriques qui ont les mêmes racines ne pement différer que par un facteur constant, puisque tous leurs facteurs linéaires sont identiques et que le coefficient de leur premier terme demeure seul indéterminé.

1019. Rien n'exige dans ce qui précède (1017) que les racines a, b, c, . . ., l soient différentes, et il peut arriver, en effet, que quelques-unes soient égales entre elles. On dit alors que l'équation (s,{z) — o a des racines multiples ou des racines égales.

Si les racines a et b, par exemple, sont égales, le second membre de l'identité (i) [1017] contient le facteur (s — a)^ et a est une racine double.

Si les racines a, b, c sont égales, a est une racine triple, correspondant au facteur {z — ay.

Si l'équation admet n racines égales à a, le second membre de l'identité (i) renferme le facteur {z — a)", et a est une racine multiple d'ordre n.

Une racine qui ne se reproduit pas est une racine simple ou du premier ordre.

Quand on dit qu'une équation algébrique de degré m a m racines, on entend que chaque racine multiple doit être comptée autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité.

1020. Une objection peut se présenter à l'esprit. La décomposition du premier membre de l'équation o(-) = o en facteurs linéaires dépend-elle de la première racine a mise en évidence? En d'autres termes, si l'on commençait par diviser

I 86 M.GkBIlK SUPKIWEfUF.

9(^) par le l)inoine :; — c au lieu d'cmployei' d'aijord W. (li\iseur z — «, obtiendrait-on une décomposition différente de l;i première? Ou bien, plus généralement, si l'on employait toui autre mode de décomposition, parviendrait-on toujours an même résultat?

II nous semble donc utile de démontrer la proposition suivante, qui assimile complètement aux nombres premiers de l'Aritlimétique les facteurs linéaires d'une fonction entière et qui justifie la dénomination de facleurs premiers donnée à ces facteurs linéaires, d'ailleurs divisibles seulement par euxmêmes et par l'unité.

1021. 111. Une fonction entière ne peut être décomposée que d'une seule manière en facteurs premiers.

Admettons que l'on ait obtenu pour la fonction <p(s) deux systèmes de facteurs premiers et qu'on ait à la fois, quel que soit z,

Si l'on donne à s la valeur particulière a, la première expression de 9(5) s'annule, puisqu'elle contient le facteur z — a.

II faut donc qu'il en soit de même de la seconde expression, égale à la première pour les mêmes valeurs de z; ce qui exige f|ue l'un de ses facteurs, z — a' par exemple, s'annule. Ce facteur sera donc lui même égal à x; — a. Ainsi, les facteurs premiers sont les mêmes dans ies deux expressions. Et, comme on peut supprimer successivement de part et d'autre ceux dont on a reconnu l'égalité et renouveler le même raisonnement sur les produits restants, il en résulte que les facteurs qui se répètent présentent dans les deux expressions le même ordre de multiplicité(1019). Enfin, les deux expressions, ainsi composées des mêmes facteurs premiers affectés des mêmes exposants, devant être égales pour une même valeur quelconque de z, il faut qu'on ait aussi Aq = A'^.

11 résulte de là que, si l'on peut décomposer le premier membre d'une équation cp(::)i=o en deux facteurs entiers Z et Z,, les racines de l'équalion proposée seront l'ensemble des racines des deux é(|uations plus simples Z =r o, Zj r= o.

1022. IV. Lorsqu'une fonction entière quelconque (^{z)^ de

ALGEBRE SUPERIEURE. lon

'egrë m, .•i'an/iulc pour plus de m valeurs de la variable, tous es coefficients sont identiquement nuls (16, 17).

En etTel, l'équation o(s) z= o étant du degré ni n'a que ni raines (1017) et ne peut être satisfaite que par m valeurs de la ariable, sauf le casofi, le coefficient Aq de son premier terme tant nul, elle est nulle quel que soit ;. Ce coefficient, d'après 'hypothèse indiquée, est donc nul. L'équation '^{z)-=io s'alaisse alors au degré m — i, et le même raisonnement prouve |ue le coefficient Ai du second terme de o{~) est aussi nul. ■A ainsi de suite.

1023. V. Lorsque deux fonctions entières quelconques ou leujc polynômes en z de degré m sont égaux pour plus de n valeurs de la variable, ils sont identiques (18).

Cette proposition résulte immédiatement de la prôcédenle. En effet, soient

es doux polji nomes proposés. L'expression de leur égalité conluil, en transposant tous les termes dans un même membre, I l'équation

( Ao- B,,):;'" ^ (A, - B,)z'"-' A-...- (A„, - B,,) = o,

|ui est de degré m et satisfaite, par hypothèse, par plus de m aleurs de z. Tous ses coefficients sont donc identiquement mis (1022), c'est-à-dire qu'on a

A., = Bo, A.=.B,, ..., A,n=--B,„.

1024. VI. Essai d'u.xe racixe. — On a souvent à essayer si m nombre a est racine d'une équation algébrique o{z) =o. il suffit de vérifier que o{z) est exactement divisible par le binôme z — a (1017).

Les détails donnés au n" 13 indiquent la marche à suivre. )n peut les présenter plus rapidement de la manière suivante.

Soit

V(.-) =r Ao-'"-^ Ai;'"-' + A2-"'-' + . • • + A,„i^ + A,„.

A Lf; I ; B it ( . s L p i: R I E i n k .

En elTecluaiil la division de o( z) par z — o, on ohlionl, d'in manière générale, un quotient de la forme

el un reste R indépendant de z.

o{z) étant égal au produit du diviseur |)ar le quotient, i)|i le reste, on doit avoir identiquement, quel que soit z.

— Ao«

c'est-à-dire, en égalant les coefficients des mêmes puissani de z dans les deux memhros.

A, = B, — Aor/. A,^B,— B,f/, A.^B,— B,^/.

[I en résulte

B,:=A,-^Aoa, B, = \.^Bia, B:, = A3^B,«. B,„i — A,„, -f- B/ii-iO, W ^ A„, -+- B,„- 1 -■/.

Ces égalités expriment la loi de formation des termes du qui, lient et du reste.

Le coejficient dun ternie quelconque du quotient est égai produit du cojficientdu ternie précédent parla valeur a du\ cond ternie du binôme diviseur (abstraction faite du signej dont elle est affectée), augmenté du coefficient du terme dividende qui est de même rang que celui qu'on veut écr au quotient.

Le reste s'obtient, de la même manière, en ajoutant au pn^ duit du dernier terme du quotient par a le terme constant d. dividende.

Le reste R est donc, comme il est facile de s'en assurer v appliquant la loi de proche en proche (13), le résultat de i substitution de a à la place de c dans o(-), c'est-à-dire o{a Si l'opération conduit à R i= o, et seulement dans ce cas, / quantité a est racine de l'équation o{z) ■=zo.

Lorsque le premier membre de l'équation n'est pas coui plet, il faut, pour appliquer convenablement la règle, sup poser les termes manquants rétablis avec le coefficient o.

L'algorithme que nous venons de rappeler est importai

lomiïie nous le verrons, la reclierclie des racines commensuables est fondée sur son emploi.

Nous terminerons par quelques exemples.

l()!2o. Exemples. — i" Chercher si l'équation

cp ( :; ) = 4 3-5 — 1 o 3^ -f- 6 r.'* — 7 32 H- 9 3 — 11=0

dmet la racine 1.

Nous essayerons la division du premier membre par z — i. Le prelier terme du quotient est 42^- Les différents coefficients du quotient l le reste sont ensuite fournis par les égalités ci-dessous (1024) :

.(' quotient est donc

t le reste est — >, de sorte que 2 n'est pas racine de l'équation el |u'on a cc( 2) = — 5.

2° Chercher si l'équation

CÇ(3) = 3'— 2(1 -- i);^— (I — 2.')3 + 2(1 -t- 2 T) = O

•dmet la racine i -f 2/.

Nous essayerons la division du premier membre par z — {\ -\- ii). Le tromior terme du quotient est 3^. On obtient ensuite par l'algorithme ndiqué (1024) les différents coefficients du quotient et le reste. On a

x(i -f- 2/) — od + /) = — 1, (— i)x (i -+- 2/) — (i — 2/) = — 2,

.e reste étant nul, 1-4-2/ est racine de l'équation. Le quotient est d'aileurs

3° Chercher si l'équation

ulinet la racine — 2.

Nous essayerons la division du premier membre par 3 — (— 2), en lyant soin de supposer le terme manquant, qui est celui du second legré, écrit avec le coefficient o.

igO \LGKBIIF, SUPKRIEUUK.

Le premier lerme du quotienl est iz^. On a eiisuilc

■iX(—7.) — 5— — 9, (— 9) X (— 2) -H o = is

Le reste n'étant [)as nul. —2 n'est pas racine. Le quotienl est

iz^ — 9 3- -H 1 8 3 — 29

et, le reste étant 33, on a 's,( — ■>) = 53.

Équations à coefficients réels.

1026. Lorsque l'équalion algébrique proposée a tous s( coefficients réels, on peut généraliser le ihéorètîie relatif au substitutions (1008) et montrer que, dans ce cas, les racine imaginaires marchent nécessairement par couples de racine imaginaires conjuguées (809).

1027. VIT. Soit l'équation algébrique à coefficients réel ?{jc) r=. o. Si les deux nombres réels 1 et ix> 1, substitués à U place de x dans le premier membre de l'équation, donnen des résultats, F(?0 et F(/jt), de signes contraires, il exist entre ces deux nombres un nombre impair de racines réelle de l'équation. Si les deux résultats ¥{l)etF{fjL) sont de menu signe, les deux nombres 1 et ^ comprennent un nombre pail de racines réelles de l'équation {ce qui n'exclut pas zéro).

[Il est entendu qu'une racine multiple réelle d'ordre compte pour n racines.]

Désignons par a, b, .-, ..., g toutes les racines réelles comprises entre l et y., et soit/(j^) le quotient de F(.r) par le produit

{x ~ a) {X - b) {x - c) . . .{.r — g). On aura

f{x) représente le produit du coefficient du premier terme de l'équation considérée parles facteurs premiers qui corres pondent aux racines réelles, non comprises entre }. et ix, el 1 aux racines imaginaires que l'équation F(^) = o peut admettre. Il en résulte que l'équation /(j;) z^ o n'a aucune racine réelle entre les nombres l et /jl, et que, par suite, les

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. IQt

deux résultats /(/) et /(;jl) sont nécessairement de même signe (1008).

Cela posé, substituons successivement à la place de oc-, dans l'identité (i), les nombres À et [j.. On pourra écrire

(3) j^ = (fx - «) (y. - h) iij. - c ) . . .(^ - ^-).

Supposons, en premier lieu, que F(?i) et F(f)L) soient de signes contraires. Il en sera de même des seconds membres des identités (2) et (3), puisque /(^) el /(ix) sont de même signe. Or, dans l'identité (2), tous les facteurs du second membre sont négatifs, tandis qu'ils sont tous positifs dans l'identité (3). Il faut donc qu'ils soient en nombre impair. pour que les seconds membres des deux identités soient euxmêmes de signes contraires, de sorte qu'il y a bien un nombre impair de racines réelles de F(x) t= o entre X et |ut..

En second lieu, si F(}0 et F(|J!.) sont de même signe, comme f{\) et /(/jl), les seconds membres des identités (2) et (3) doivent être aussi de même signe; ce qui exige que les facteurs qui les composent soient en nombre pair. Et il y a alors un nombre pair de racines réelles de F(a^) =: o entre \ et \j., nombre qui peut être zéro.

D'après la loi des réciproques {Géom., 3i), la réciproque de cette double proposition est vraie. Nous l'énoncerons de la manière suivante :

F(;i7) =: o étant une équation algébrique à coefficients réels et 1 et p. deux nombres réels, si ces nombres comprennent un nombre impair de racines réelles de l'équation, les deux résultats F(X) et F(/jt.) sont de signes contraires. Si les mêmes nombres comprennent un nombre pair de racines réelles de l'équation ou n'en comprennent aucune, les deux résultais F(),) et F(/Jt.) sont de même signe.

1028. Il résulte de ce qui précède que le nombre des racines réelles d'une équation algébrique à coefficients réels. F(^') = o, est toujours de même parité que le degré m de l'équation, c' est-à-dire pair si m est pair, impair si m est impair.

1Q2 ALGEBRE SIPKIUKURE.

En elTel, pour une équation de degré pair, les deux siibslilulions — oo el H- 00 à la place de x donnent des résultats de même signe, tandis que, pour une équation de degré impair, les deux mêmes substitutions donnent des résultats de signes contraires (1010. 1011).

On peut en conclure que, dans une équation algébru/ue a coejficienls réels, le nombre des racines imaginaires est toujours pair, puisque ce nombre est nécessairement l'excès du degré de l'équation (1017) sur le nombre de racines réelles qu'elle admet.

Nous reviendrons un peu plus loin sur celte importante propriété, et nous en donnerons une démonstration plus explicite.

1029. II n'est pas inutile de remarquer que la réciproque de la proposition du n" 1008 n'est pas toujours vraie, précisément en raison de la proposition du n" 1027 qui en est la généralisation.

F(^) = o étant une équation algébrique à coefiicients réelet les résultats F(a) et ¥{b), fournis parles substitutions réelles a et b, étant de signes contraires, on est certain (1008) que ¥{x) s'annulera au moins une fois quand x parcourra d'une manière continue l'intervalle («, b). Mais on ne peui pas affirmer, réciproquement, que, si a; atteint une racine réelle de Y{x) = o, F(.r) changera de signe, avant et après cette valeur de x. Cela dépend de l'ordre de multiplicité de l" racine réelle atteinte par x.

En reprenant les notations et le raisonnement du n" 1027, on peut supposer, en elTet, les deux nombres réels /. et -^ assez rapprochés pour qu'il n'existe entre eux qu'une racine <i d'ordre n. Les identités (2) et (3) du n'' 1027 deviennent

et l'on voit que, si n est impair, F(/.) et F(.a) sont de signes contraires, tandis que, si n est pair, F()0 et F(^) conservent le môme signe.

Ainsi, le premier membre de l'équation F(x-) = o change ou non de signe, suivant que la valeur de x passe par une racine dont le degré de multiplicité est impair ou pair.

ALGEBRE SLPEIIIELUK.

1030. Les considérations géométriques, que nous allons développer 1res succinctement, viennent à l'appui de ce qui précède et peignent pour ainsi dire aux yeux les résultats obtenus analyliquement.

Prenons {fig. 46) deux axes rectangulaires Ox, Oj. Les coefficients de F(.r) étant toujours supposés réels et x variant de — ac à -hoc, portons les valeurs de x en abscisses et les valeurs correspondantes de V{x) en ordonnées. Les points où la courbe ainsi déterminée rencontre l'axe Ox répondent aux valeurs de x qui annulent F(.r) ou aux racines de F(.r) = o.

Fig. 46.

Si deux valeurs x = Oa,x = Ob répondent à des valeurs Art, B6 de F(.r) qui soient de signes contraires, il est évident que la courbe re.présentalive, en passant de A à B, rencontrera l'axe des x une fois au point c, ou un nombre impair de fois (1027) aux points d, c, e par exemple.

Si les points d, c, e se rapprochent et viennent se confondre en c {fig. 47), l'équation F(x) = o admet alors une racine triple Oc, et il est clair (Géom., Ml) que la courbe AcB a au point c, avec l'axe Ox, un contact d'ordre supérieur. Lorsque x traverse cette racine triple, F{x) change de signe (1029).

Si les deux valeurs x = Oa, x = Ob correspondent à des valeurs Aa, B^, de F(j:), qui soient de même signe {fig. 48), il est évident que la courbe représentative, en passant de A à B, peut ne pas rencontrer l'axe Oj^; mais que, si elle le rencontre, ce sera un nombre pair de fois (1027), soit aux points c et d, soit aux points e, f. g, h, etc.

Si ces points d'intersection se rapprochent et viennent se confondre en un seul point l{fig. 49), l'équation F(.r) = o admet alors une racine double ou quadruple, etc., et il est clair que la courbe AZB a au point /, avec l'axe Ox^ un contact simple ou un contact d'ordre supérieur. Lorsque x traverse cette racine double ou quadruple, F(.r) ne change pas de signe (1029).

De c. — Cours. IV. i3

ALGÈBRE SUl'ÉUIEUKE.

D'une maiiièro générale, F(.r; élanl une foncLion cnlicrc à coefficients réels, si l'on pose

j = F(.r) = AoX''

A,.r'«-'-.- Ao.t"'-^ — . . .-r- A,„,x-f- A„,,

el si l'on construit la courbe correspondante par rapport aux axes rectangulaires 0.r, 0)', on obtient ce qu'on appelle la courbe parabolique

l-'ig. ',8.

al \\e

du /?i'^'"« degré, par analogie avec la parabole du second degré dont l'équation est de la forme f = a.r^ lorsque son axe est pris pour axe desrfGe'om., A3i).

D'après les propriétés des fonctions entières à coefBcienls réels, la courbe est nécessairement formée d'un trait continu, s'étendant à l'infini à droite et à gauche, sans revenir sur lui-même: car, à chaque valeur de X répond une seule valeur de j. En étudiant les ondulations de cette courbe relativement à l'axe Oj:, on se rendra compte des variations successives éprouvées par les valeurs de la fonction, c'est-à-dire de leurs allernatives de croissance et de décroissance; et, en marquant es points d'intersection de la courbe avec le même axe. points pour lesquels on a r — o, on déterminera les racines réelles de l'équation algébrique F(.r ) = o.

Racines imaginaires conjuguées.

1031. VIII. Toute érj nation algébil(]iie à coefficients réélu , F(.r)=^o, qui admet la racine imaginaire a + [3/, admet aussi la racine imaginaire conjuguée a. — ^i.

En effet, en remplaçant x par aH-,S< clans la fonction entière à coefficients réels F(.r), on ohiienl (828) un résultai

(le la forme