V -^Qi

ALGEBRE SUPÉRIEURE. IQO

et, comme y. ^ pi est racine par hypothèse, on doit avoir r'esl-à-dire

Si l'on substitue maintenant à la place de x l'imaginaire

y. — ^iy conjuguée de la première, on parviendra, puisque

tous les coefficients de F(^) sont réels, à un résultat qui ne

différera du précédent que par le signe de i, c'est-à-dire an

résultat

Mais P et Q étant nuls, d'après l'existence de la première racine, on aura

V — qi = o,

c'est-à-dire que a — 3 «est aussi racine de l'équation F (a?) = 0.

1032. Il faut bien remarquer que la proposition ne peut plus subsister lorsque le premier membre de l'équation proposée renferme des coefficients imaginaires, c'est-à-dire n'a pas tous ses coefficients réels. Car, ainsi que nous l'avons déjà indiqué précédemment (829), i change bien de signe dans la valeur de x lorsqu'on substitue a — f3j au lieu de y.-^^i; mais il n'en change pas dans les différents coefficients imaginaires qui restent invariables. On ne peut donc j)lus dire que la seconde substitution conduit à un résultat conjugué de celui fourni par la première substitution.

1033. On voit que toute équation algébrique à coefficients réels renferme nécessairement un nombre pair de racines imaginaires (1028), puisque, d'après la proposition pi'écédente, elles se correspondent par couples.

Ajoutons que les deux facteurs premiers qui répondent à deux racines imaginaires conjuguées ot.-\-'pi et a — j3/ sont de la forme

{x — y.) — 'pi et ( .r — a ) -+- |3 /',

c'esl-à-dire qu'ils sont eux-mêmes conjugués et que leur produit, égal au carré de leur module commun (820), constitue le l'acteur réel du second degré

{x-yf-^^-

iq6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

On peut donc, en se reportant au n" 1017, énoncer ce {hO>> rème remarquable :

Le premier membre de toute équation algébrique à coejjicients réels est le produit d'autant de facteurs réels du premier degré qu'elle admet de racines réelles et d'autant de facteurs réels du second degré qu'elle admet de couples de racines imaginaires conjuguées, le tout multiplié par le coefficient de son premier terme.

On comprend par là comment une équation algébrique dont tous les coefficients sont réels peut cependant admettre des racines imaginaiies.

103i. Il est évident que les racines conjuguées cz4-|3/ et Cf. — [3« sont toujours du même ordre de multiplicité.

Admettons, par exemple, que « + [3/ soit une racine double. a-f-(3i étant racine, a — ^i le sera aussi, et l'on pourra diviser F(^), premier membre de l'équation, par le facteur réel du second degré

qui correspond à ces deux racines conjuguées. En égalant à zéro le quotient Fi(j"), on obtient une seconde équation dont les racines sont les autres racines de la première. Par suite, l'équation Yy{x)z=o admet encore la racine a-^^i et, d'après le théorème direct (1031), elle admet aussi la racine conjuguée a — [3<, qui est, par conséquent, comme a + ,3<, une racine double de ^{x) = o. Fi(j^) sera donc de nouveau divisible par (r — ci.Y-\- [S-, de sorte que F^j:-) le sera à son tour par

Le raisonnement est général. Si oc + (3« est une racine multiple d'ordre n, il en est de même de la conjuguée a — '^i, et Y{x) est divisible par

[{x-aY+'^'-]".

On peut conclure de là que toute équation algébrique à coefficients réels, qui n'a que des racines imaginaires, est nécessairement de degré pair, les deux termes extrêmes de son premier membre étant de même signe (1017).

Ce résultat concorde d'ailleurs avec les énoncés des n*** 1010

1035. Il convient de remarquer que cette propriété des racines imaginaires des équations algébriques à coefficients réels, d'être ainsi conjuguées deux à deux, appartient de même, nécessairement (1033), aux racines incommensurables du second degré des équations algébriques à coefficients commensurables.

La démonstration directe est tout à fait analogue à celle du n° 1031.

Supposons que l'équation F(.r) = o ait tous ses coefficients commehsurables et qu'elle admette la racine incommensurable du second degré a -^ \fb.

En substituant cette valeur à la place de .r dans F(x), on obtient un résultat de la forme P ■+ Q /^. En effet, en appliquant successivement la formule du binôme au développement des difiFérents termes de Y{x), l'irrationnelle ^b disparaîtra dans tous les termes où y/^ doit être élevée à une puissance paire et persistera au contraire sous cette forme dans tous les termes où \/b doit être élevée à une puissance impaire. Si « -+- v/^ est racine, on devra avoir

P ^ Q y/Z; = o, ce qui entraîne les conditions

Si l'on substitue a — y/^ à la place de x au lieu de a -\- ^b, le résultat ne différera du précédent que par le changement de signe de \/l>. On trouvera donc

P — Q \rb.

Mais l'existence de la première racine donnant P = o et Q = o, on a

c'est-à-dire que a — \/J) est aussi racine de F(.r) = o.

Les facteurs premiers qui correspondent aux deux racines étant

{x — a) — </b et {x — <v)-f-//^,

leur produit est le facteur du second degré à coefFicients commensurables

{x — af — b\

iy8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

ce qui explique commcnl une équalioa algébrique à coefficients conimensurablcs peut pourtant admettre des racines incommensurables d. second dcirrô.

Relations entre les coefficients et les racines d'une équation algébrique.

1036. Soit i'équalion algébrique quelconque de degré ///

Désignons par a, h. c, .... /., /, les racines de celte équation. Nous aurons identiquement (1017)

Cela posé, en se reportant à l'établissement de la formule du binôme, on a (2oi)

S, représente la somme des m seconds termes des binômes multipliés; S^, la somme des produits 2 à 2 des mêmes termes; S3, la somme de leurs produits 3 à 3; . . . ; S„, est le produit de ces seconds termes.

Si, maintenant, tous les seconds termes des binômes considérés changent de signe, il suffit évidemment, pour avoir le produit correspondant, de changer les signes des termes du développement précédent qui renferment des sommes de produits oi^i les quantités a, b, c. . . ., /:, l, sont assemblées en nombre impair.

\\ en résulte

Le dernier terme S,„ a le signe -+- ou le signe — suivant que le degré /n de l'équation proposée esl pair ou impair.

Finalement, nous aurons, d'après l'identité (i). cette nouvelle identité

j Ao^;'" 4-A, :'"-• + A,::'"-^ - . . . ^ A„,, z ~ A,„ (2) • =Ao3"'-AoS,-"'-'^-AoS,.^'

■ lit- -2 .

Les coefficients des termes de même degré devant alors (1023) être égaux, dans les deux membres, nous aurons

:^ - Ao S 1 OU — ' = — ( r/ H- ^> -!- C + . . . -V- A- H- /) r= — > rt,

At,So ou ~ =: — (ai^ H- «C -4- r/c/ -^ . . . -- /A ) — H- 7 <:'/>.

Ao AoSa ou -7-^ - — {abc 4- «6<-/ 4- ... 4- /A7/ ) = — 7 abc.

An •^"

„ = 3i AoS„i ou ^-^ =zn aZ;c . . . AL

Ao

On peut énoncer comme il suit ces importants résultats.

Lorsqu'on a réduit le coefficient du premier terme de l'équation o{z)=zo à l'unité, en divisant les deux membres de l'équation par sa valeur primitive Ao, on a les relations ci-après entre les nouveaux coefficients de l'équation et ses racines :

Le coefficient du deuxième terme, multiplié par — i, représente la somme des racines :

Le coefficient du troisième terme, multiplié par ( — i)', représente la somme des produits 1 à 1 des racines:

Le coefficient du quatrième terme, multiplié par ( — 1)^, représente la somme des produits 3 « 3 des racines : ... ;

Le coefficient du (n + !)"-'"« terme, multiplié par ( — i)", représente la somme des produits n à n des racines: . . .;

Enfin, le coeffiicientdu {m -i- i )"^'"'« terme ou le terme constant de l'équation, multiplié par (^i)'", représente le produit des racines.

1037. Comme l'équation complète du m'^"^" degré contient /« -+- 1 termes, la mise en œuvre du théorème précédent fournit en tout m relations entre les m racines. Il peut donc sembler, au premier abord, que ces m relations suffisent pour déterminer les m racines; mais il est facile de montrer que ces relations, qui peuvent grandement faciliter la résolution de l'équation lorsque ses racines sont soumises a priori à d'autres conditions particulières, ne peuvent pas, en général, conduire à cette résolution, lorsqu'on les considère seules et toutes ensemble.

•.>00 ALoi-BRE SUPÉRIEURE.

Kii eUel, si l'on veut trouver la racine a en ulilisant seulement les m relations du n" 1036, il faut éliminer entre ces m équations les /« — i autres racines b, c,d, . . . , k, l. Comme toutes les racines entrent d'une manière parfaitement symétrique dans les relations employées, l'équation finale en a à laquelle on parviendra sera absolument la même (sauf la lettre représentant l'inconnue) que celle qu'on aurait obtenue en cherchant l'une quelconque des autres racines h, c, d, . . ., k, l. II en résulte que l'équation en a aura nécessairement pour racines, non seulement a, mais les m — i autres racines de l'équation proposée. Elle ne sera donc autre chose que cette équation elle-même, où l'on substituerait le symbole a au symbole z.

Il n'est pas difficile de vérifier cette remarque par le calcul.

Séparons la racine a des autres racines b, c, d. . . ., k, l, et désignons par 5,, 5,, fj, ..., .«„,i les sommes des produits I à I, 2 à 3, 3 à 3, . . ., m — i à /« — 1 de ces autres racines. On pourra poser alors (1036) les égalités suivantes :

— = — « — .V,, -T- = as^ -r s., —=— as^— s-i, . . .,

Multiplions les deux membres de la première égalité par a"*-*, les deux membres de la deuxième par a'"-^, les deux membres de la troisième para'"-*, . . ., les deux membres de l'avant-dernière par a, et ajoutons ensuite membre à membre tous les résultats obtenus. \ous aurons alors, en simplifiant,

Ao Ao Aq Aq Aq

c'est-à-dire

Ao«"' -h Al «'"-' 4- A.a'"-^ + A.a'''-^* 4- ... 4- A„,, « + A,„ = o.

Applications.

1038. Nous nous proposons de constater par quelques exemples très simples l'utilité des relations précédentes, lorsque les racines de l'équation à résoudre sont soumises à quelques conditions spéciales.

1° Rc'foudre V équation générale du troisième degré, dant le cas où l'une des racines de l'équation doit être égale à la somme des deux autres.

Soit l'équation

Au^^-h Al 3^-1- A, 3 -1- A3= G.

Désignons les trois racines clierchées par «, b, c. Nous aurons entre ces racines les quatre relations suivantes, la première imposée par l'énoncé, les trois autres fournies par le théorème du n° 1036 :

Ao

--- = ab ^ ac -f

Ao

-^=-abc.

Aq

Puisqu'on a quatre équations et trois inconnues, il existera (ce qu'on pouvait prévoir) une équation de condition entre les coefficients de l'équation générale.

En combinant (1) et (2), on obtient

Al , Aj

-;- = — la ou a = b -\- c =:

Aq 1 Ao

L'équation {?>) donne ensuite, d'après (i),

~ = a ( b -h c) -+- bc — a- ~ bc ^= -— ^ -^ bc, Ao 4A5

c'est-à-dire

bc^^--^ = 4AoA2--A|^ Ao 4A5 4A|

On connaît ainsi la somme /-< + c et le produit bc^ de sorte que b &[ c sont racines de l'équation du second degré

d'où

Ag

Les trois racines <?, b, c sont donc déterminées.

Quant à l'équation de condition, elle sera donnée par l'équation (4) dont nous n'avons pas fait usage, et dans laquelle nous substituerons

202 ALGklJI-.K SUPr^.niEL'RE.

les valeurs trouvées pour ii el pour le produit bc. Il viendra

Aj Aj 4 A0A2— A;- I A0A1A2— k\ Ao 2A0 4A5 8Ag

ou

Aî-4AoA,A,--8A2A3=o.

Telle est la relation qui doit exister entre les coefficients d'une équation générale du troisième degré, pour que l'une de ses racines soit égale à la somme des deux autres.

Supposon.s, par exemple, Au= 1, Ai — i. A^ = 3. L'équation de condition donne alors A3= 2. L'équation à résoudre devient

et l'on 0

— a ± v^îto — 48

c'est-à-dire

, — 2-^-2/1/7 — ">■ — 2^/7 h = —^ el c = — *~ .

On a donc bien a = b -+- c.

2° Résoudre l'équation incomplète du troisième degré

sachant qu'elle a une racine double.

Le terme en z^ manquant a pour coefficient o. ce qui montre que la somme des racines est nulle.

Désignons par z, la racine simple et par so 1» racine double, c'està-dire deux fois répétée.

Les relations du n° 1036 fournissent ici les trois équations suivantes :

(2) p ^ iz^z,^ z\,

(3) rf^--z,z\.

Puisque nous avons trois équations el deux inconnues, les coefficients p et q seront liés par une équation de condition. L'équation (1) donne

Les équations (2; et (3) deviennent alors, par substitution, /? — — 335 et q — 2 3.?.

ALGEBRE SUPERIEURE. 20.)

Ku divisant ces deux résultats l'un par l'aulre. on a immédiatement

-!- = r- ou :., = '-

p i ip

et. par l'équation ( i ),

L'équation de condition s'obtient en remplaçant z^ par sa valeur dans p = — 33|. On a ainsi

p = 3 4"^ "Il /i/?-^-^ 27 0-= o.

En résumé, l'équation quelconque

a une racine double, si la condition \p^^2-q-=o est remplie. Sa

3 f/ . , , 1 3 7 racine simple a pour expression — - , et sa racine double, •

Supposons, par exemple, /j = 3/. L'équation de condition donne