f- 'î" 7- = o ou f

c'est-à-dire

Reportons-nous ( 848 1 à la formule fondamentale

\/ — 1 = cos — — =z i sin -,

en nous rappelant qu'il suffit de donner à /.• les valeurs o. i , 2, 3, . . . , jusqu'à ce que l'on ait trouvé, en tenant compte du double signe du second membre, les m valeurs distinctes de V— •■ Nous aurons, dans le cas actuel, en faisant m = \,

4/ (2/.-— I)- . {lk^l)T.

\/ — 1 = cos -, ± i sin , j

et il suffira de donner à /c les valeurs o et i. On a ainsi, pour {/ — 1 . les deux couples de valeurs

- - 3- 3Tr

cos ~ ± i sin — cl cos -7- rfc « sin -— ; 1 4 4 4

ce (lui revient, d'après les propriétés des arcs supplémentaires, à

- . . TT - , v/â ^ .

= cos - ± « sin y =± cos -(i±/) = = — (i±0- 4 4 4 2

On a donc enfin

q = zt)/2(i±:i).

ALGÈBRE SUPÉniEUUK.

Mais, d'après léqualion de condition, on doit avoir q''-—^i. Commt (i±/)2 se réduit à dz 2/, on voit qu'il faut rejeter le signe — dan> celte parenthèse et prendre seulement

7 =^ rt y/9, h -T- /).

L'équation à résoudre est alors

s'-T- 3/3 rh v^2 (i -4- / ) = o.

Sa racine simple a pour valeur

il ' i

tandis que celle de sa racine double est égale à

nz/2

Les signes supérieurs et inférieurs doivent être pris ensemble. Il est facile de représenter géométriquement ces racines imaginaire - Considérons la racine simple qui correspond à la seconde valeur de

ou à la seconde solution. Elle a pour expression

Multiplions ses deux termes par — /, ce qui est permis (824); <.i expression deviendra

Pour la construire (867, 868), il suffit alors de prendre {/g. >.

Fig. jo.

0A'= /a sur la partie négative de l'axe .r.r' et OB = /à sur la parii positive de l'axe jj'. Le point M', dont les coordonnées sont OA' et OU. ou le rayon vecteur OM' (874), représente la racine dont il s'agit.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 2o5

La racine simple qui fait partie de l'autre solution ne différant de celle qu'on vient de construire que par un changement de si^ne, on na, pour la représenter à son tour (871), qu'à prolonger le vecteur OM' de l'autre côté de l'origine d'une longueur OM = OM'.

Quant aux racines doubles des deux solutions, elles sont les moitiés lies racines simples correspondantes, changées de signes. On prendra dune les milieux N et N' des vecteurs OM' et OM, et l'on associera la racine double ON' avec la racine simple OM' et la racine double ON avec la racine simple OM.

2o6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.