CHAPITRE IV
TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS DANS LES CAS LES PLUS SIMPLES ET LES PLUS USUELS. — THÉORIE DES ÉQUATIONS RÉCIPROQUES.
But qu'on se propose dans la transformation des équations.
1054. Le problème à résoudre est celui-ci : On donne une équation
et il s'agit d'en déduire une nou\'elle équation, transformée de la première, dont les racines aient avec celles de la proposée une relation déterminée.
L'hypothèse la plus simple est de supposer que chaque racine de la transformée doit être exprimée par une fonction rationnelle de la racine correspondante de la proposée. En désignant par u les racines de la transformée, par/(::) ot F(^) deux fonctions entières de z, on aura alors
Si l'équation (i) est de degré m, elle admettra m racines; à chacune de ces racines correspondra une valeur de u, et une seule. La transformée sera, par conséquent, dans l'hypothèse indiquée^ du même degré que la proposée.
Nous nous bornerons, dans ce Chapitre, au cas particulier où les deux polynômes /(s) et F(5) sont du premier degré, et nous examinerons toutes les transformations usuelles qui y sont comprises.
Dk C. — Cours. IV. i.î
2 '>. 0 A i.f ; i-: ij K E s u p i'; Il 1 1 ■; i. ri..
lOo."). Dans ce eus particiilici , on a
a, h, a', b', étant des conslanles données. On en lire, en résolvant par rapport à z,
a — an
et, si l'on substitue cette valeur ilans léqualion |)roposéc cp(;) = G, il vient, pour la transformée cherchée.
^ \a — au/
En cliassant les dénominateurs, on ramènera celle équation à la l'oime ordinaire
(3 fus) '|(«) = o,
et l(^ piohlème sera résolu.
1056. Il est évident que la transformation linéaire exprimée parla formule (i) du numéro précédent répond à la succession de transformations plus simples.
En effet, si a' n'est pas nul, on peut écrire daborti, en di\isanl par a' les deux termes de la valeur de u.
|»ni<, en ('(fecliutnl la division,
ba' — ah'
( I his ] « =z —
Il est clair que, si l'on pose maintenani
ha'-
- ah'
ALGEBUK SUPERIEURE.
il suffira d'éliminer z^, z.y, z^ entre ces quatre équations pour retrouver la relation primitive (i bis) ou (i). Si a' est nul, on a simplement
az ^ b a b
de sorte que la formule résulte alors de l'élimination de r, entre les deux équations
En résumé, la transformation linéaire générale re\ient à la combinaison de transformations plus simples représentées, eii laissant les symboles de côté, par les formules
Nous allons donc nous occuper directement de ces transformations élémentaires, dont l'emploi est très fréquent et qu'il est indispensable de connaître.
Multiplier les racines d'une équation donnée par une quantité constante.
lOoT. Soit l'équation quelconcjue du /?«»^""= degré o{z) =1;. On peut toujours supposer que le coefficient de la plus haute puissance de z dans 9(5) a été rendu égal à l'unité, puisqu'on n'a, pour remplir cette condition, qu'à diviser les deux membres de l'équation par le coefficient de z'". On a donc
( I ) Oiz) = z'" +/>, z'"-' - p,Z"'-' + . . .^p,n-i Z -+- p„ = U.
La transformée en u doit avoir pour racines celles de la proposée, multipliées par la quantité constante k [on doit supposer alors 6 =: o, «'^= o, ^'=: i et rt =: A, dans la formule (1) du 11° IOjo]. Nous aurons donc
u =z hZ cl z :=z - ■,
de sorte que l'équation de hi transformée sera
2i8 ALGÈBRK SUI'ÉRIKLKE.
011, en coiiseiKaitt le me nie symbole pour les nouvelles racine
Comme la mulliplicalion du piemier membre d'une équation algébrique par un facteur constant ne modifie pas ses racines ( 1017), il sera plus simple de prendre pour équation de la transformée
On évitera ainsi évidemment les dénominateurs qui proviennent de la transformation elle-même, et l'on aura alors, comme équation pratique de la transformée, d'après l'équation (i),
( A'" (D (j) = z"'-+- /:pi :'"-' + /c-p,z"'-^ -1- . . .
( -hA"'-'p,„-iZ-h/c"'p,n-o.
Lorsqu'on veut multiplier les racines d'une équation
par k, ou lorsqu'on veut obtenir sa transformée en Az, il suffit donc de multiplier respectivement les différents termes de la proposée par les puissances successives X", A"', k-, . . ., k"^-\ A'", de manière que, dans chaque terme, la somme des exposants de k et de z soit toujours égale au degré m de l'équation.
Quand on a trouvé les racines de la transformée, il faut les diviser par k pour avoir celles de la proposée.
1058. Le cas de la division est compris dans celui de la multiplication.
En effet, diviser les racines d'une équation par la quantité
constante k, c'est les multiplier par j- On a alors, pour la
transformée (1057),
P'"-\ , pm
OU, en multipliant par k'",
o{kz.) = k"'z"' + /.'"-' /;>i3"'-i
Lorsqu'on veut diviser les racines d'une équation <^{z) =:o par A, il faut donc multiplier respectivement les différents \ termes de la proposée par les puissances successives k'", k'"~\ ' k"'-\ ..., A', X".
Transformée en — ^.
lOoO. On a souvent besoin de former une équation dont les I racines soient celles de l'équation donnée z>{z) = o, changées de signes, c'est-à-dire multipliées par — i.
11 suffit, pour obtenir cette transformée cp(— :;) = o, qu'on appelle la transformée en — z, de supposer dans ce qui précède (1057) A- = — I.
On a, dans cette hypothèse,
(— 1)'" o{— z) = z"' — piz"'-^
^poz'"'- - p..z"'-'-^. . .qi /),„,; ±p,„=o.
Si m est pair, ( — i)" :=i, et le premier terme de la transformée est z'". Si m est impair, (— 1)'"=: — i, el il faut (ce qui est permis) changer les signes de tous les termes du premier membre de la transformée, pour que son premier terme reste toujours z'".
La règle pratique est donc celle-ci :
Pour obtenir le premier membre de la transformée
il suffit de changer dans cf>{z) les signes des termes de degré impair lorsque m est pair, et les signes des termes de degré pair lorsque m est impair (o est un nombre pair). De cette manière, le premier terme est toujours :;'" dans la proposée et dans la transformée.
La transformée en — z est
•>.3o ALGÈBUK .SL'I'KIUEURP:.
Soil rri|uiili()ii
35 — 7 =^ — ■'- -' -H 8 :ir o.
I,;i liiuisfoniicc en - ; osl
:■'' — ~z^-\-:iz- — 8 ru o.
Ramener les coefficients d'une équation à la forme entière, en conservant l'unité comme coefficient du premier terme.
lOoO. (Tesl encore un cas parlicnlicr de la premiùio Iransloniialion (1057). Il suffit de l'effeclner d'après la rèp:le indi- (|uée, en laissant le mulliplicaleur /. indéterminé. Il ne reste ensuite qu'à fixer sa valeur, aussi simplement que possible. pour que tous les dénominateurs qui entrent dans les différents coefficùenls de l'équation donnée disparaissent.
Soit, par exemple, l'équnlion
La IransCormée /.
La i)lus |)etile valeur à donner à /. est alors évidemment i4, on raison des deux premiers dénominateurs qui sont premiers entre eux. /.H^onliendra, par suite, le facteur 2% et le dernier (lénominatenr disparaîtra a fortiori.
La transformée sera finalement
z'^ — IQ .;'- -1- 84 r — 3 '|3o :rz o,
et il faiidia diviseï' ses racines par 1 \ poui' avoir celles de la liroposée.
Diminuer d'une quantité constante les racines d'une équation donnée
lOOL Soil l'éfpialion quelcontjue du ni'""^" degré cp(c)r^o, ([ue nous prendrons celte fois sous la forme plus générale
(I) cp(r): Aoc'"- A, :;'"-■-!- A,c'"-2+...-vA,„,5-l-A„.^o.
"'9(7)- 0 est
La iransroiiiu'e en '/ doil avoir pour racines celles de la |ii oposée diminuées d'une quantité constante h [on doit alors -iipposer <7 = I, «'i= G, b'r= i et 6 = — h, dans la formule (i) ilii n" 1055]. On aura donc
u =z z — h et :■ =: (f -\- //, (le soile que réipialion de la transformée sera
(III, en conservant le même symbole jjour les nouvelles lacines,
Eli (léveloppanl par la série de Taylor (9G7) et en ordonnant par rapport aux puissances de ^ (684), la transformée aura pour expression
Jl reste seulement à déterminer les coefficients o{/i), (p'ih), o"(h), .. .. Pour cela, on peut diviser par le binôme 3 — A, d'après la règle connue (1024), les polynômes 9(3), (o'{:-), '■i>"{z), .... Le reste auquel on parvient dans chaque division est le résultat de la substitution de h à la place de ; dans le polynôme dividende.
Soit, par exemple, l'équation
ri>{z.) = -^.Z''—- Z-^— S Z-+ OZ — 1 = 0,
dtjni on veut diminuer de 3 toutes les racines. On aura, comme transformée,
La série des opéralions esl la suivante
On a donc
Par suite, la transformée cherchée est, en renversant l'ordre des termes et en tenant compte des dénominateurs,
D'une manière générale, quand on a les racines de la transformée, il faut les augmenter de h pour avoir celles de la proposée.
1062. Si l'on veut augmenter de h les racines de la proposée, au lieu de les diminuer de la même quantité, il suffit évidemment de remplacer h par — h dans tout ce que l'on vient de dire. L'équation de la transformée est immédiatement
Faire disparaître un terme quelconque d'une équation.
1063. Cette question n'est qu'un cas particulier de la précédente.
Supposons qu'on diminue les racines de l'équation (i) [1061 1 d'une quantité fi, que nous laisserons d'abord indéterminér.
La transformée sera l'équation (2) du même numéro, c'est- ;i-tlire
l*our faire disparailre un terme quelconque de cette transformée [sauf, bien entendu, celui qui contient :; à la plus haute puissance et dont le coefficient est constant (325)], on n'a qu'à égaler à zéro le coefficient de ce terme, qui est une fonction de h, et à trouver, à l'aide de l'équation ainsi obtenue, la valeur à donner à cette indéterminée.
Si l'on veut faire disparaître le terme en 0'"-' ou le deuxième terme de l'équation quand elle est ordonnée suivant les puissances décroissantes de z, on n'a qu'à poser
oquation du premier degré en h, qui ne donnera qu'une seule valeur pour cette indéterminée. Ainsi, il n'y a qu'une seule manière de faire disparaître le deuxième terme d'une p'juation .
Pour faire disparaître le troisième terme, il faut poser
(Test une équation du second degré en h, de sorte que, par deux transformations différentes, on peut remplacer une équation donnée par une autre qui n'ait plus de troisième terme. Et ainsi de suite.
On voit que le nombre des substitutions répondant à la question augmente, à mesure que l'on considère dans la proposée des termes plus éloignés.
Enfin, si l'on veut faire disparaître le dernier terme ou le terme constant de la transformée, il faut poser
équation toute pareille à la proposée et qui n'en diffère que par la substitution du symbole h à la place de z.
La raison de ce fait est évidente. Lorsque le terme constant manque dans une équation algébrique, elle admet une ! acine nulle. La quantité dont on diminue les racines de la proposée doit donc être égale à l'une quelconque d'entre elles et, par suite, l'équation de condition 9 (A) := o ayant les
•>,3/j ALGÈUnE SUl'ÉKIEURE.
mêmes racines que la proposée doit se coiifoiulre avec elle (f018).
lOCV. Supposons, en |)arliculiei', qu'un \euilJe faire disparaître le deuxième terme de Téquation
cp(:;) — Ao;"' + A,c'"-'-4- Ur"'-^-i-... - \,„.,:.^ \,„^o.
(]omme nous venons de le dire ( 1063).. il faut poser
Or on a (32i), en simplifiant,
9'"-' ( /*) = 'ii Au A -1- \ , = o,
el il en résulte
Par conséquent, pour faire disparaiLrc le deuxième terme
d'une équation quelconque, il suffit de diminuer les racines
de la proposée du quotient, changé de signe, du coefficient
du deuxième terme par le coefficient du premier multiplié
par le degré de l'équation.
Quand on aura trouvé les racines de la transformée, on
\ devra les augmenter de t- pour obtenir celles de la pro-
m Ao
posée.
La règle qu'on vient d'indiquer et qu'on a souvent à appli- (jucr concorde avec les relations connues (1036) qui existent entre les coefficients d'une équation et ses racines. Car, si
l'on diminue chacune des m racines de —■, on diminue
leur somme de — ^j c'est-à-dire de sa |)ropre valeur; cette
Ao somme est donc annulée et, puisqu'elle représente en valeur
absolue, dans toute équation, le quotient du coefficient du
deuxième terme par le coefficient du premier, le deuxième
terme disparaît alors forcément dans la transformée.
Si l'on veut, par exemple, se débarrasser du deuxième
lerme relativement à l'équation générale du troisième degré
mise sous la forme
z^ + p^z.-'^ p.z -^ p-,- o, il faut diminuer ses racines de la quantilé —-•
ALGÈBRE SUPÉRIEUnE. 9,35
106'). IMusieurs termes peuvent disparaître eiisemljle, si lis valeurs des coefficients de l'équation s'y prêtent.
Le deuxième et le troisième terme, par exemple, disparaîiiont à la fois, si la valeur de h satisfait en même temps aux icux équations
ihjiit l'une est du premier degré en // et ruulre du second ■ief^ré.
De la première équation, on déduira, comme précédemment ( lOGi), la valeur
niAo
qu'on n'aura plus (|u'à substituer dans la seconde, pour obtenir, entre les coefficients de la proposée, l'équation de condition nécessaire, ("elte seconde équation o"'--{h) ^ d est (324-)
m [m — Il ( /// — ■'>.)...?> Aq h-
-f- ( /« — 0 ( /« — •?.)... i k^h + i m — ■i) {m — J ) . . . .i . I Ai =^ o
ou, en simplifiant,
La substituti(jn indiquée conduit alors à ré(iuation de condition
(/« — i)Af
ni\,,
entre les trois premiers coefficients de la proposée, équation de condition qui doit être satisfaite pour que la disparition du deuxième terme entraîne celle du troisième.
1066. 11 faut remarquer avec soin que l'on ne peut pas, en essayant de faire disparaître successivement tous les termes intermédiaires du premier membre dune équation, la ramener à la forme binôme {Alg. élém.. 218).
En effet, chaque opération de ce genre, tout en faisant disparaître le terme qu'on veut éliminer en l'effectuant, fait nécessairement reparaître le terme que l'opération précédente avait supprimé.
(."iÔ ALGÈBRF SUPÉRIEURK.
Prenons, par exemple, une éfiualion telle que
dont on ait déjà fait disparaître le deuxième terme. Poiii faire disparaître maintenant le terme en z'"'^, il faut formai la nouvelle transformée en r -t- /« ( 1061), et donner à // In valeur convenable (1063). Or on a directement pour ceit transformée
c'est-à-dire, en développant et en ordonnant,
La valeur de // qui fait alors disparaître le terme en :'"-étant, comme on le voit, différente de zéro, le terme en c'"-' reparaît nécessairement si celui en :;'"-- disparaît.
Former une équation dont les racines soient les inverses de celles d'une équation donnée.
1067. Soit l'équation quelconque
La transformée en u doit avoir pour racines les inverses des racines de la proposée [on doit supposer alors a = o, hr=i, ^'=1, b'-=o, dans la formule (i) du n" 1055]. Nous aurons donc
et
de sorte que l'équation de la transformée sera
ou, en conservant le même symbole pour les nouvelles racines,
('elle transformée est donc, en remplaçant ; par - dans l'éijuation (i),
i\ A„ Al A, ^ A„,^2 A,„__,
Eli supposant z différent de zéro, multiplions les deux membres par :■'" et renversons l'ordre des termes. Nous aurons finalement
\ ^'iim I 1 — - i -w u A -/«— 1
i -^A,„,;'«-2+...^A2--+A,::+Ao:=o.
0/« obtient donc /a transformée en - en échangeant dans
1(1 proposée les coefficients des termes également éloignés des f t Irêmes.
1068. On peut étendre ici la portée d'une remarque faite déjà en Algèbre élémentaire {Alg. élém., 243), relativement aux équations du second degré.
il peut arriver que, dans l'équation (i) [1067], les modules les n premiers coefficients Aq, Ai, A2, .... A,^.,, deviennent nuls. Cette équation s'abaisse alors au degré m — n et devient
. A t'ii — n . i -;«— 7t— 1
• le sorte qu'elle semble pei'dre n racines.
Quant à l'équation (2) [1067], elle reste du degré m; mais, >es derniers termes disparaissant, on peut mettre j" en facteur dans le second membre, et l'on a
La transformée en - admet donc alors n racines nulles et, si iiii les supprime, on a, en concordance avec l'équation (i bis),
{ > bis)
— V ~in—n i i ^in — ii—\
y38 AhnkuuE siii'iiiuEURK.
Mais, aux n racines nulles (ou de modules nuls) suppiimécs dans la transformée, correspondent nécessairemeul n racines infinies (ou de modules infinis) de la proposée.
On voit donc que le nombre des termes du degré le plus élevé qui disparaissent dans une équation algébrique quelconque marque le nombre des racines infinies (fui s'introduisent en même temps parmi celles de la proposée.
1069. Cherchons encore la transformée en — - de Téqua-
lion o{z) =0 [on doit alors supposer a ^r: o, b ^^— \ , a' — \, b'^q, dans la formule (i) du n° 1055]. On aura
de sorte que la transformée sera
ou, en conservanl le même symbole pour les nouvelles racines,
Il suffit donc de changer, comme on pouvait le prévoir, 3 en — z dans l'équation c?) du n" 1067, et de se rappeler ce que nous avons dit (1059) sur la transformée en — r d'une équation o {z) = o.
On a, pour équation de la nouvelle Iransformée,
^,)\^~^r9(-'i)^^,nK-^)'
A,(— ^ ) + Vo— <-'•
Suivant que m sevSi pair ou impair, on devra changer dans le second membre les signes des termes de degré impair on pair, de sorte que le premier terme du second membre aur;i toujours le signe h-, et que le fadeur (— 3)'" du premier membre sera toujours remplacé par z'" . On aura donc finalement, pour la transformée cherchée,
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 23q
Théorie des équations réciproques.
1070. La transformation qu'on vient d'établir conduit natulellement à l'élude des équations réciproques.
11 peut arriver que, pour une équation donnée 9 (s) = o, les deux équations
cp(^)=:o et ;'"9(M=o [1067]
aient les mêmes racines.
Lorsqu'il en est ainsi, l'équation proposée admet aussi pour racines les inverses de ses racines (1067), c'est-à-dire que ses racines sont tellement distribuées que, à chacune d'elles, ré- [lond son inverse [si, à z , répond d'une manière générale
I II I j ,
- ' pour c r= <7, on a - = - : et, pour ^ = - ? on a - = ^7 ,
Une pareille équation est dite réciproqui;.
1071. Cherchons la condition pour qu une équation algébrique quelconque de degré ni soit réciproque.
L'équation donnée 9(x;):=o et l'équation aux inverses
z'" 9 ( - I =: 0 étant supposées avoir les mômes racines, leurs
premiers membres ne peuvent différer que par un facteur constant (1018). On doit donc avoir identiquement, en désignant par }. une constante appropriée,
ou
= ). A,„ z'>' + >.A„,, .V"-' + AA,„2^'" -- -t- . . - ^- ÂA,.. Il en résulte
Ao=:>.A„,, Ai=:>.A„,i, A.^XA,
A„;2 = >■• A2, A„,i = >.Ai, A;,j=: X Au,
c'esl-à-dire, en rapprochant les égalités extrêmes,
"" =/::=-, d'où /.-=i et }. = ±:i
240 ALGEBRE SUI-ÉRIEU RE.
On a, par suite,
Ao:=^3;A„,, Al ^^ HZ A„,|, \.,^ — A„,2, ....
Ainsi, d'une manière générale, dans toute équation réciprorjue, les coefficients des termes à égale distance des extrêmes doivent être égaux et de même signe oi: égaux et de signes contraires.
Dans le cas de m impair, le premier membre de l'cqualion renferme un nombre pair de termes dont les coefficients peuvent se correspondre deux à deux. Mais, dans le cas de m pair, le premier membre de l'équation renferme un nombre impair de termes, de sorte que le coefficient du terme du milieu n'a pas de correspondant. Si l'on pose m ■=: 2/1, ce coefficient est A,j, et l'on doit alors avoir
L'hypothèse 1=^ — j exige donc qu'on ait A„ = o.
Nous devons, par suite, ajouter à l'énonc*' ci-dessus que si, dans une équation réciproque de degré pair, les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux et de signes contraires, le terme du milieu manque.
1072. On peut ramener toutes les équations réciproques à un type unique.
Remarquons que les racines égales à -i- i ou à — i sont à elles-mêmes leurs propres inverses, et n'ont pas de racines correspondantes ou conjuguées. Et c'est en raison de ce fait qu'il peut exister des équations réciproques de degré impair. Au contraire, les racines + i et — i se correspondent.
Cela posé, admettons que l'équation o{z)z=:o n'admette aucune racine égale à -+- 1 ou à — i, et reprenons l'identité du numéro précédent
Faisons d'abord z = i dans cette identité. Il viendra
c'est-à-dire, 9(1) étant différent de zéro d'après Thypclhèse adoptée,
Si l'on fait maintenant :■ =~ i et À = i dans la même idenlil»', on a
c'est-à-dire, 9(— i) étant aussi ditférent de zéro,
ce qui exige que ni soit pair.
Donc, lorsqu'une équation réciproque n'admet aucune racine é^ale « ± I, elle est de degré pair et l'on ne peut conscn-er que la valeur }. =z -i- i, de sorte que les coejficients des termes à égale distance des extrêmes sont deux à deux égaux et de même signe.
Supposons maintenant que l'équation o{z) -=. o possède des liicines égales à ± i et qu'on mette ces racines en évidence. On pourra écrire
L'équation y\; ) — o n'aura, par liypothèse, aucune racine égale à H- i ou à — i, et elle renfermera les autres racines, conjuguées deux à deux, de l'équation 9(^)=:o, supposée réciproque. L'équation /(-;j = o sera donc elle-même réciproque, et elle remplira alors les conditions fjue nous venons lie trouver.
Or il est toujours facile, lorsqu'on a à résoudre une équation réciproque, de la débarrasser préalablement des racines égales à l'unité qu'elle peut admettre. On voit, en effet, immédiatement, si, en substituant + I ou — i dans le premier membre de l'équation, on obtient un résultat nul; et, dans l'affirmative, on n'a qu'à diviser ce premier membi-e par c — i ou ; -h I pour supprimer la racine correspondante (1017j.
// est donc permis de ne considérer, au point de vue de leur /■^solution, que les équations réciproques de degré pair et dont les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux cl de même signe.
<7esl ce que nous allons faire.
1073. Les équations réciproques, dont on vient de déterminer le type, sont toujours susceptibles a"a6ameme/i^, c'està-dire que leur résolution peut se ramener à celle d'une équation de degré moindre. C'est là, au point de vue algébrique, une propriété très importante, et sur laquelle nous reviendrons.
Dt C. — Cours. IV. i6
Q./]-". ALGÈBRE SrrÈRIF.URE,
Soil, acluellemont, l'ccfiialioii réciproque de degré pair, dont les coefficienls à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe,
Les racines de cette équation se partageront par couples,
tels que a et -> i et 7^ ? y et - ; • • • •
On peut alors lainener sa résolution à celle d une é'iuation
de degré n ou de degré moitié, en posant
car, à deux valeurs réciproques de ; ( telles que y. et - |>
correspondra toujours une seule valeur ( « + - ) de u.
11 s'agit de former Féquation en u, c'est-à-dire d'éliminer ^ entre les équations (i) et (2). C'est à quoi l'on peut arriver très simplement comme il suit.
ïiapprochons, dans l'équation (i), les termes de mêmes coefficients, après avoir divisé les deux membres par z" (,(|uantité supposée ditïérenle de zéro). Nous aurons
el il ne reste plus qu'à exprimer en fonction de u chacun des Ijinùmes
TTi' -^
Or on a, d'une manière générale,
On en déduit, en reniplacanl par // le facteur z ^ — du
ALGÈBRE SL'PÉRIEUUE. 243
[premier membre.
Celte formule résout la question, puisqu'elle donne la valeur d'un binôme quelconque, lorsqu'on connaît, en fonction de u, les valeurs des deux binômes précédents. >Jous aurons, en partant des deux binômes
z -\- -=ii et ^o-f- — =2,
oi en faisant A- = i , 2, 3, 4, . • • , dans la formule (4),
Il — ; -i =^ ir — ou
— 1 u — I ::;' -i 1 =; «' — ou^^ ou,
En substituant ces valeurs dans l'équation (2), on voit que l'cqualion (i) est bien ramenée à une équation en //, de degré n. Une fois celte équation en // résolue, les valeurs
(le c sont données par la relation générale z -f- - =^ u, c'est-
,i-(lire par l'équation du second degré
dont le produit des racines est, pour chaque valeur de u el comme cela doit être, égal à l'unité. On a
Les II valeurs de u conduisent ainsi aux in valeurs de -. Si les n valeurs de // sont u^, a^, u., . . ., «„i, on peut mettre (1017) le premier membre de l'équation (i) sous la forme
k,,{z- — H^,z ^i){z- ^ u yz ^ i){z- — u^z + \)...{z- — U „^i z -^ 1).
On rencontre en Analyse de nombreux exemples d'équalions réciproques {yilg. élém., 268, 4°)-
1074. Les racines d'une équation <p(s)=:o, au lieu d'être simplement réciproques, peuvent être réciproques et de signes contraires. A une racine z ^: a répond alors une autre racine
r= j et le produit des racines conjuguées, au lieu
d'être égal à i, est égal à — i.
Nous allons présenter succinctement la théorie de ces équations réciproques de seconde espèce, tout à fait analogue à celle des équations réciproques ordinaires.
L'équation donnée admettant les mêmes racines que la
transformée en — -i on devra avoir identiquement (1009)
ou
k^z"' + kiz.'"-
