XA

zL AA2^"-i- A Al 3 z!z àAo)

c'est-à-dire

Ao = aA,„, Al =; — /A,„i, Aj ^ aA„,.2, . . . ,

A,«2 ^^ ^^ '-Aj, A,„i ::^ z^i '-Al, A,„ ^ — /-Au.

11 en résulte, en rapprochant les égalités extrêmes,

^=>. = ±^ ou '/}^±l.

On a donc les deux solutions

X =z ± I et l = ± i.

La première conduit aux conditions

Ao = ±A„j, Ai=:;zpA,„i, A2 = ;^A,„2» •••»

la seconde, aux conditions

Ao = i:/A,„, A, = if: iA;„i, A2=±fA,„2, ....

Mais on peut ramener aussi les équations considérées à un

type unique ( 1072), en remarquant que les seules racines qui puissent se correspondre à elles-mêmes sont données par la relation

=■ ^=— z ou ;- z= — I , c'est-à-dire z =:± i.

Admettons donc que l'équation o{z) = o ne possède aucune racine égale à h- / ou à — i, et reprenons l'identité

En y faisant z = — i, on a, puisque — - =:

en y faisant z=i — i, on a également, puisque

./) et o{ — i) sont différents de zéro par hypothèse. Il vient donc, en multipliant memhre à membre les relations (2) et (3) el en simplifiant,

I = }} (— i'^Y" = À- ou /. = ±: I .

Si l'on remplace maintenant ). par cette valeur, dans la relation (2) par exemple, on a

o{i) = ±{i)"' (p{c) ou /"' = d=i;

ce qui exige (826) que ni soit pair.

Par suite, lorsque l'équation réciproque de seconde espèce ne renferme aucune racine -+- i ou — i, la solution A^± i n'existe pas: l'équation est de degré pair et les coefficients des ternies à égale distance des extrêmes sont alternativement égaux et de même signe ou égaux et de signes contraires.

Supposons maintenant que l'équation 9(5) =0 admette des racines -1- « et — i, et mettons-les en évidence en écrivant

o{z) = {z-iY^z + iYf{z).

L'équation /(:;)— o n'aura, par hypothèse, aucune racine égale à H- i ou à — /, et elle renfermera les autres racines, conjuguées deux à deux, de l'équation 9(5) ^ o, supposée ré-

■>\C) Ar,r.i,BUF. sup^rifarf..

ciproque de seconde espèce. L'é(iuulioii f{z)=zo sera donc elle-même réciproque de seconde espèce, et elle remplira alors les conditions que nous venons d'énoncer.

Or il est toujours facile de débarrasser préalablement l'équation considérée des racines ± i qu'elle peut avoir. En substituant + / ou — i dans le premier membre de ré{[uation, on voit facilement (826) si le résultat est nui; el, dans l'affirmative, on n'a qu'à diviser ce premier membre par z — i ow z -\- i pour supprimer la racine correspondante (1017).

yiu point de vue de leur résolulioii, il est donc permis de ne conserver, parmi les équations réciproques de seconde espèce, que celles qui sont de degré pair et dont les coejjicients également éloignés des extrêmes sont alternativement égaux et de même signe ou ésaux et de signes contraires.

Le type de ces équalions est

^ Ajc-'^i- A,::- — A,5 -(- Ao =

Si l'on pose

chaque couple de racines conjuguées (a el — -) conduit ;"i

une seule valeur (a 1 de //. En éliminant c entre les équations (4) et (5), on obtientlra une équation en u de degré moitié ou de degré n.

llapprocbons dans le premier membre de l'équation (4) les termes également éloignés des extrêmes, après avoir divisé par :;" les deux membres de l'équation. Tl viendra

Il ne reste donc plus qu'à calculer en fonction de // les binômes

ALGÈBRE SCPÉRtEURE. 2/|~

(lù les signes -i- et — alternent. Pour cela, nous aurons re- ( uurs à la relation générale

OÙ l'on doit prendre ensemble les signes supérieurs et les ïiiines inférieurs. Il en résulte donc

Kn prenant alternativement les signes supérieurs et les signes inférieurs, cette formule donne l'expression d'un binùmé (juelconque en fonction de (/, à l'aide des valeurs des deux

liiuùmes précédents. En partant des deux binômes z — = "

el ;"-,- ~ =: -2, et en faisant successivement /= i, 2, 3, 4, .... nous aurons

«•^ + 0 II'

[11 est évident que ces binômes sont bien ceux qu'on a à calculer; car, le premier terme de l'équation donnée étant supposé toujours positif, et les racines conjuguées deux à deux ayant un produit égal à — i, le dernier terme est alternativement négatif et positif dans les équations successives du deuxième, du quatrième, du sixième, du huitième, du dixième degré, ..., qu'on a à considérer (103(3).]

On voit que l'équation en 11 sera de degré n. Quand on l'aura résolue, les racines de l'équation en ; seront fournies par la

relation générale z z= //, c'esi-à-dire par l'équation du