CHAPITRE V

FACTEURS PREMIERS COMMUNS A DEUX FONCTIONS ENTIÈRES. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ALGÉBRIQUE. - RACINES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS. — RECHERCHE DES DIVISEURS DES FONCTIONS ENTIÈRES DUNE VARIABLE.

Facteurs premiers communs à deux fonctions entières. Plus grand commun diviseur algébrique.

1075. Soient deux fonctions entières quelconques de z, l'une de degré m, l'autre de degré ti, et telles que

Z =r AoC"'+ A, ::'•■'-' + \,C"'--^H- . . .^ A,„,C + \

Z, ^ Bo~^" + B, .^"-' + B,-«-2 -t- . . . ^ B„, .. -f- B„.

Nous avons vu (1018) qu'on peut décomposer chacune de ces fonctions en facteurs premiers de la form3 z — a, en nombre égal à son degré, et que cette décomposition ne peut avoir lieu que d'une seule manière (1021).

Il peut arriver, dans certains cas particuliers, que les deux fonctions entières considérées admettent un ou plusieurs facteurs premiers communs, et il est indispensable, dans un grand nombre de questions, de pouvoir s'assurer qu'il en est ainsi.

Le produit de tous les facteurs premiers, égaux ou inégaux. communs aux deux fonctions Z et Z,, c'est-à-dire pris avec leur exposant le moins élevé dans les deux fonctions, s'appelle par analogie {Arithm.. Mo) leur plus grand commun diviseur.

On voit que les facteurs indépendants de g n'interviennent pas dans cette définition. On devra donc, le cas échéant, spécifier s'il en existe ou non de communs aux deux fonctions Z etZ,.

a 00 Aï Ai i:\u\K sin'F.iuraiiiK.

1070. Los facloiirs piemiers des |)ol}iiùmos entiers Jouaiil absolument le même rôle que les facteurs premiers des nombres (1020), la théorie du plus grand commun diviseur algébrique est toute pareille à celle du plus grand commun diviseur arithmétique et ne présente aucune difliculté.

Soient les deux fonctions entières ZétZi, ordonnées suivant les puissances décroissantes de z (1075). Supposons Z do degré supérieur à Z,, c'est-à-diro /n > n. Divisons alors Z par Zi. Il est clair que, si la division est exacte, Z, est le plus graufl commun diviseur cherclié, puisque tousses facteurs premiers sans exception appartiennent à Z. Écartons celle hypothèse. Appelons Q le quotient de la division de Z par Zi, et représentons le reste correspondant par Z,. Nous aurons

Nous allons montrer que le pins grand commun diviseur entre Z et Zi est le même qu'entre Zi et Zo.

Supposons, en effet, que les polynômes Z et Z, admeltenl tous deux le facteur premier z — a et que /> soit son plus faible exposant dans les deux polynômes.

On aura alors

V et B étant d'antres polynômes entiers. On déduira alors de Tidentilé (i)

Zo — (.^-^)/^( \ — BO).

Par conséquent, si Z et Z, admettent p fois le facteur premier z — a, le reste Za l'admet le même nombre de fois. En d'antres termes, tous les facteurs premiers communs à Z et à Z, le sont en même temps à Z, et à Z.,.

Supposons, l'éciproquement , que Zi et Z^ admettent tous deux le facteur z — a, et que p soit son plus faible exposani dans les deux polynômes.

On aura

Z,— (.- — r/)/'.r>, Zo=(r — a)i'A:,

C. étant un polynôme entier comme lî. On déduira alors dr l'identité (i)