Z = (3-«)/'(BO + C
Par conséquent, si Z, et Z, admeltenl p fois le fadeur premier ; — a, le dividende Z l'admet le même nombre de fois.
ALGEBRE SUPERIEURE. 2.3 1
l-^ii (Jaulies termes, tous les facteurs premiers communs à Z, et à Z, le sont en même temps à Z et à Z,.
F. es facteurs premiers communs, affectés des mêmes e\po- -anls, étant identiques pour les deux groupes de polynômes / etZi, Z, et Z2, le produit de ces facteurs premiers communs, t '.'st-à-dire le plus grand commun diviseur, est aussi le même lie part et d'autre.
La question étant ainsi ramenée à déterminer le plus grand I Miiimun diviseur de Zj et de Z,, nous diviserons Zi par Z2. Si la division est exacte, Zj est le plus grand commun diviseur eliorché. Si l'on trouve un reste Z3, ce plus grand commun diviseur est, d'après ce qu'on vient de voir, celui de Z, et
On poursuivra la même série d'opérations jusqu'à ce qu'on parvienne à un dernier reste qui divise exactement le reste précédent. Ce diviseur exact sera alors leur plus grand commun diviseur et, par suite, celui de Z et de Z,.
On est donc conduit absolument à la même règle ([u'en Arithmétique [Âiiilmi., 117).
1077. Les opérations poursuivies auront toujours une tin; car le degré des polynômes employés va constamment en diminuant, puisque le degré de chaque reste est inférieur à celui du diviseur correspondant, et que chaque reste devient diviseur à son tour.
il en résulte que, si l'on ne parvient pas à un reste qui divise exactement le reste précédent, on parviendra nécessairement à un reste de degré 0 par rapport à z, c'est-à-dire indépendant de z ou constant.
Quand cette condition se réalise, les deux polynômes donnés Z cl Zi n'ont aucun facteur premier commun, et sont dits premiers entre eii.r {Arit/uu., 118\
1078. Au point de vue pratique, il est utile d'elfectuer les calculs de manière à éviter les coefficients fractionnaires.
C'est à quoi l'on peut toujours arriver en multipliant tous les termes d'un dividende quelconque par une quantité indépendante de ;, par exemple par le coefficient du premier terme du diviseur correspondant. De même, il faut avoir soin de simplifier l'expression d'un reste, lorsque tous ses termes admettent un facteur coinmun indépendant de z.
•-iSa ALCicuKE SUl'ÉniEURE.
Ces modifications, extérieures pour ainsi dire, ne cliangeni en rien le plus grand commun diviseur qu'on veut obtenir.
En effet, supposons qu'on ait été conduit à multiplier le dividende Z par un facteur a et qu'on ait dû diviser le reste Za par un facteur (3, tel que Z.2=:^\].
L'identité (i) [1076] sera, en désignant le nouveau quotient par r/, remplacée par celle-ci :
(i bis) aZ = Z,^-h,6U;
et, comme a et (3 sont des constantes, on prouvera absolument de la même manière (1076) que les polynômes Z et Z, d'une part, Zj et U d'autre part, ont les mêmes facteurs premiers communs affectés des mêmes exposants, c'est-à-dire que le plus grand commun diviseur de Z et de Z, est celui de Zi et de U,
Racines communes à deux équations.
1079. Il résulte immédiatement de ce qu'on vient d'exposer (1076) que, si deux équations Z = o e^ Z,:=: o ont n racines communes, égales ou inégales, les deux polynômes Z et Zi ont n facteurs premiers, égaux ou inégaux, de la forme z — a, c est-à-dire un plus grand commun diviseur algébrique D du /i'«'»« degré.
On peut trouver ce plus grand commun diviseur par dedivisions successives, et l'égaler à zéro. Vécjuation
a pour racines les n racines communes des deux équations Z = o e^ Z] =: o.
Si les polynômes Z et Z, sont premiers entre eux (1077), les deux équations correspondantes n'ont aucune racine commune.
On voit de plus, dans le cas où les racines communes existent, que, en divisant Z, par exemple, par D, et en égalant le quotient Q à zéro, l'équation
a pour racines (1021) toutes les autres racines de Z = o, c'està-dire toutes celles qui ne lui sont pas comumnes avec Z, =: o.
1080. Avant d'indiquer quelques applications, on peut ratlaclier à ce qui précède la proposition suivante :
A et Al étant deux fonctions entières de z premières entre elles et sans aucun facteur commun constant (1075), on peut tiouver deux autres fonctions entières de z, que nous désignerons par Tj et 7^X1 ^t telles qwon ait
Effectuons, en effet, la série des opérations nécessaires pour trouver le plus grand commun diviseur de A et de A,. Elles seront représentées par les identités
/ A =:A,Qi-i-R,, I A, = R,Q, + R„ R,=rR,Q,-+-R„
Rp-2=^ R/v-iQ/^+ R/^,
ei l'on parviendra à un dernier reste R^ qui sera une constante (1077).
La première des identités (i) donne
Ri = A-AiQi.
En substituant celte valeur de Ri dans la deuxième identité, on a
— R. r= Ri Q, — Al = AQ2 — Al ( i + Q, Q. ).
En substituant de même cette valeur de — Ro, ainsi que celle de Ri, dans la troisième identité, on trouve
R,= R,— R,Q,= A(i -h QaQ;,) — A,(Qi 4- Q,+ Q,QoO,);
et ainsi de suite.
On voit qu'on obtient de celte manière une série d'identités dont le premier membre est alternativement 4- Ri, — R,,, -t- R3, — R4, . . ., et dont le second membre est la différence de deux polynômes entiers contenant respectivement comme facteurs A et Ai. On arrivera donc finalement à une identité
de la forme
=hR,,= AM-AiN.
Son second membre doit être divisible exactement par ±: R^,,
puisque son premier l'est. Comme A et Ai sont des fonctions premières entre elles et sans l'acteur commun constant, — R^ devra diviser exactement les polynômes entiers M et N. En désignant les quotients pai" Z et Z, et en renversant les deux membres, on aura donc
AZ-A,Z, = i.
Applications.
1081. Rcsoudre l'âiuatioii du <iuatricine dogrc, dans le cas où elle a deux racines égales et de signes contraires .
Si la proposée cp(s) = o a deux racines égales et de signes contraires telles que a et — a, il en est de môme de la transformée cp( — s) = o [10o9], qui admet alors les deux racines — a et a. Les deux polynômes o(z) et ç){ — z) admettront donc un plus grand commun diviseur du second degré (1079). En l'égalant à zéro, on déterminera les racines « et —a, et la résolution complète de l'équation du quatrième degré s'ensuivra (1079).
Soit donc l'équation
o(z.) = Ao3^-i- Air.3-t- \..z--^ X^z — Ai = o.
La transformée en — r. sera (10o9)
'.pi- :: ) = Ao z^ - A, z^ -4- X.z^- - A3 3 + X, = o.
Au lieu de chercher le plus grand commun diviseur des deux premiers membres cp(c) et o( — 3), on simpHfie les calculs en remplaçant le système considéré par le système équivalent ( .^/^. cïém., 1:23)
?U-)-^'f (—-■)= », cp(,.)-cp(-r.)==o,
c'est-à-dire par les deux équations
2Ao2*+ 2A232 -I- 2Ai=0, 2 Al c*H- 2 A3:; = o.
En supprimant le fadeur couimun 2, ou devra chercher le plus grand commun diviseur des deux polynômes
Ao^^-i- A232-,- Ai et Air."— A3 c,
ALGEBRE SUPERIEURE.
l'JO
sacluint qu'il est du second degré. Nous donnons ci-dessous la suite des opéralions. en appliquant la remarque du n° 1078 et en écrivant les quotients au-dessus des diviseurs comme en Arithmétique.
'-t-AïAaC^ H-AiAi — A0A3 ;-
i Aos
Aiz
(AiA2-AoA3)r.^^A,Ai
A, (Al A2— Ao A3) :;3-^A3 (A 1 A, -Ao A3) z — Af Ai 3
o-AoA3);2-r-A,A4l (A,AoA3-A„Ai— A? A,i3 1
Puisque le plus grand commun diviseur cherché doit être du second degré, la dernière division doit s'effectuer exactement. L'équation de condition qui doit lier les coofficients de Téqualion du quatrième degré pour qu'elle ait deux racines égales et de signes contraires est donc
A1A2A3— A„A|-Af Ai=o.
Les deux l'acines égales et de signes contraires sont alors données par l'équation
(AjA,-AoA3)--2-4-AiA4 = o.
d'où
y AoA3-A,A2
ou, e:i tenant compte de l'équation de condition,
Les deux autres racines soljtieadroal en divisant le premier memljre o{ :■) de l'équation donnée par le plus grand commun diviseur
( Al A, -Ao A3) 3--.^ Ai Ai.
Mais, à cause de l'équation de condition, on peut remplacer le coeffi-
, o A'tA..
cient de r- par —^
On a djnc à diviser le premier mambre de o{') par le binôme
Af A.. , \,.\i(Ai3^-^A3)
c'est-à-dire simplement (. 1078 j par Ai 3-— A3.
On aura donc
Ao-''-r- A, Z--h AoC--!- A3: •+- A4
A,Aoc* + Af3^-^AiA232-i-A,A3r4-AiAv — AoA,c2
A„:^'H-A,:-hA,A, — AoA
Ai;-h(AiA2— AoA3):-^4-A,A3 3 + AiA4 — A, A,:;
(A,A,-AoA3)22 ^-AlA4 A,(AiA2 — AoA3)32 -+-A2Ai -A.f.V.A.-AnAo)
AÏA; + AoA|-A,AoA3
Le reste de cette division est nul d'après l'équation de condition, et les deux autres racines de l'équation du quatrième degré seront déterminées par l'équation du second degré
Ao^- -f- Al 3 + A] Ai — AoA j = o.
1082. 2" Hé foudre l' équation dit quatrième degré, cp(3; = o, connaissant la différence d qui existe entre deux de ses racines.
Soient a et a -i- d les deux racines dont la différence est d.
Si Ton forme alors la transformée en 3 -+- d, c'est-à-dire l'équation dont les racines sont celles de la proposée diminuées de d (1061), l'une des racines de cette transformée sera a -^ d — d ou a, de sorte que l'équation donnée ©(s) = o et sa transformée o{z-^d) = o auront nécessairement une racine commune. Leurs premiers membres auront donc un plus grand commun diviseur du premier degré qui, égalé à zéro, fera connaître la racine a et, pjr suite, la racine a^d.Ea divisant (p(3) par le produit {z—a){z — a — d) et en égalant le quotient à zéro, on obtiendra les deux autres racines de la proposée par une équation du second degré.
Appliquons cette marche à un exemple numérique, et proposons-nous de résoudre Téqualion
sachant que la différence entre deux de ses racines est égale à 1. La transformée en 3 4- i est ici (1061 )
c'est-à-dire
On doit donc chercher le plus grand commun diviseur des deux polv-
aS-T
nomes
z' - y z'^ -r- 1 5 z- — -z — 6 et z'^ -- 3z'^-i- 6z — 4-
On simplifiera un peu les calculs en remplaçant l'une des deux équations <s{z) = o el tp(3 -i- 1) =0 par leur difTcrenco
cp(2) ~-^{z H-i) --^ o;
ce qui est permis. On aura ainsi à considérer finalement les deux polynômes (en multipliant le second par — i)
3V — 33*-^ 63 — 4 et 4-^ — i'iz'^-+- i3z -h 1.
Nous indi([uons la recherche de leur plus grand connnun diviseur
ro
On trouve, comme plus grand commun diviseur du premier degré, z — 2. En l'égalant à zéro, on voit que la racine a est, dans cet exemple numérique, représentée par 2; la racine a + d l'est, par conséquent, par 3.
Pour obtenir les deux autres racines de l'équation proposée, il ne reste plus qu'à former le produit
En divisant par ce produit le premier membre «f (3) de ré(juation, on a pour quotient
et, en l'égalant à zéro, on a. pour les racines cherchées,
I rt v/2.
Recherche des diviseurs des fonctions entières d'une variable.
1083. Nous pouvons supposer la l'onclion entière considérée ramenée à la forme ( lOGO )
ainsi que ses différents diviseurs
Dk C. — Cours. IV.
Nous avons vn que o{z) peut se décomposer, et cela d'une seule manière (1017, 1021), on m facteurs linéaires ou premiers, qui sont ses diviseurs du premier dCf^ré. Tout diviseni de o{z), d'un degré supérieur au premier, ne peut être que le produit de quelques-uns de ses facteurs premiers (1021).
Par conséquent, pour avoir tous les diviseurs de 9(-), il est nécessaire et il est suffisant de combiner entre eux de touteles manières possibles les facteurs premiers de 9(-).
La fonction aura ainsi autant de diviseurs du second degi i qu'on peut former de combinaisons avec m objets pris 2 à ;<
c'est-à-dire ^^ ^ "^ " T'^^ll; elle aura autant de diviseurs d 1.2
troisième degré qu'on peut former de combinaisons ave
, 1 • m (m — I ) ( '^^ — 2 ) /?? objets pris 3 à 3, c est-a-dire ^s '
D'une manière générale, le nombre de ses diviseurs di ^ième degré sera donné par la formule
En se rappelant (226) ie tbéorème exprimé par la formul
on voit qu'il y a autant de diviseurs du premier degré que ddegré m — t, autant du second degré que du degré m — 2, . .
1084-. Si l'on pouvait, d'une manière simple, déterminer un diviseur quelconque du premier membre de l'équation
la résolution de cette équation serait assurée ; car, en opérant sur ce diviseur comme sur la fonction elle-même, on descendrait successivement jusqu'à des équations du second ou du premier degré.
Admettons, par exemple, queo(:;) ait un diviseur Z, et que le quotient de o(:;) par Z soit Z,. L'è(iuation donnée prendra
la forme
ZZi = o,
et sa résolution reviendra (1021) à celle des deux équations
de de2:ré moindre
Z = o, Zi^o.
ALGEBRE SUPERIEURE. 20g
Mais la recherche des diviseurs d'une fonction 9(3) exige, en général, la résolution d'équations dont le degré est plus élevé (}ae celui de cette fonction, e'est-à-dire que cette recherche constitue un problème plus difficile que la résolution directe (le l'équation o{z') = 0 ou la détermination des facteurs premiers de 0(3 ).
En effet, si l'on veut obtenir un diviseur de degré n, le nombre de ces diviseurs étant C"j[1083], l'équation qui permettra de déterminer un coefficient quelconque de ce diviseur devra être précisément du degré marqué par ce nombre.
Or, quand on suppose n:= 1 ou /i = m — i, on a
mais, si l'on prend « = 2, 3, 4, •• -, les nombres C;„= C'""^, t^/«=Cî^~^, ..., vont en croissant (262) jusqu'à un certain
maximum (263) [qui est C,,/ si /n est impair et €,7^ si m est pair], pour repasser ensuite par les mêmes valeurs en ordre inverse à mesure que /i augmente jusqu'à /n — i. En prenant seulement n = 1,
et, pour que ce résultat surpasse m ou pour qu'on ait m [ni — r ) >■ 2 m ,
il suffit de supposer m supérieur à 3.
Ainsi, lorsque la fonction est du troisième degré, la recherche de ses diviseurs du second degré est aussi difQcile que la résolution de l'équation correspondante elle-même. Au delà du troisième degré, pour les diviseurs du second degré et, a fortiori, pour les diviseurs de degré supérieur, la question dépend d'une équation dont le degré surpasse celui de l'équation formée en égalant la fonction donnée à zéro.
IO80. On peut suivre deux méthodes générales pour trouver les diviseurs d'un certain ordre. Nous allons les indiquer succinctement, et nous les appliquerons ensuite à la recherche des diviseurs du second degré pour les fonctions du troisième et du quatrième degré.
Première MÉTHODE. — Soit cp(-) la lonclion donnée, dont le degré est m et dont le premier terme est z"K On veut chercher ses diviseurs du /l'ème degré. Nous représenterons l'un de ces diviseurs par un polynôme f{z) ayant pour premier terme s", et contenant dès lors n coefficients indéterminés.
En divisant (o{z) par /(s), on parviendra à un reste de degré « — i, qui devra être idenliquemenl nul, si /(:;) est bien l'un des diviseurs cherchés. En égalant à zéro les coefficients des différents termes du reste, on obtiendra donc u équations entre les données et les inconnues [qui sont les n coefficients indéterminés de/(^)]. II faudra éliminer n — v inconnues entre ces n équations, et l'on parviendra ainsi à une dernière équation, qui devra être de degré C",, et qui fera connaître la n'^™'' inconnue conservée. Les équations de condition conduiront ensuite, pour chaque valeur de cette «'^'"^ inconnue, aux valevu's correspondantes des n — i autres coefficients.
Seconde méthode. — On peut encore opérer comme il suit. f{z) représentant un diviseur du «'^""^ degré, le quotient Y{z) de 9(^) par/(^) sera un polynôme de degré m — «, dont le premier terme aura pour coefficient l'unité d'après les conventions précédentes. En laissant indéterminés les n coefficients de /(s) et les m — n coefficients de F (5), il faut que le produit de ces deux polynômes reforme identiquement la fonction 9(^). En exprimant ce fait, on aura donc m équations de condition entre les données et les n -^ m — « ou les m coefficients indéterminés. Il restera à en éliminer m-~\ entre ces m équations, pour arriver à l'équation qui doit résoudre la question comme dans la première méthode, en faisant connaître la m'^'^e inconnue.
Recherche des diviseurs du second degré dans le cas des fonctions entières du troisième et du quatrième degré.
108G. Troisième degré. — En égalant à zéro la fonction donnée du troisième degré, on peut toujours faire disparaître son second terme (106i) et la ramener à la forme
Appliquons la première mélliode ^1085). Nous représente-
roiis un diviseur du second degré de la fonction g^— Q:: — R
l.ar
et nous effectuerons la division des deux polynômes.
-~pz^-~qz
ip'^Q-g)z-^{R+pq)
Le reste du premier degré auquel on parvient devant èlie identiquement nul, les valeurs de p et de q devront satisfaire ;iM\ deux équations
/?'+Q — 7=^0, l\-i-pq=:zO.
En éliminant q entre ces deux équations, il vient
Cette équation fera connaître le coefficient p, et l'on aura ensuite
Elle est du troisième degré (108i) et identique à l'équalion (i), sauf la substitution de p à la place de r. Il est facile d'expliquer celte coïncidence.
Les diviseurs étant formés par le produit des facteurs premiers de la fonction assemblés convenablement (1083), — p représente la somme de deux quelconques des racines de l'équation (i) [1036]; mais, cette équation étant privée de son second terme, la somme de ses racines est nulle (1036), de sorte que p représente l'une quelconque des racines de l'équation (i).
La difficulté de la recherche des diviseurs du second degré est donc ici la même (lOSi) que la résolution directe de l'équation qui répond à la fonction donnée.
1087. Quatrième degré. — Nous supposerons également que l'équation du quatrième degré obtenue en égalant à zéro la
ALGÈBRE SUPÉniEUKE.
fonction proposée a clé privée de son second icrmc. Nous aurons ainsi
z'*-i-Qz'--hRz-{-S = o.
Appliquons la seconde méthode (1085). Nous représenterons toujours un diviseur du second degré de la fonction par
et le quotient du premier membre de l'équation (i) par ce di viseur, quotient qui est aussi du second degré, sera représenté de même par
z''-\-p'z-i-rj'.
On doit alors avoir identiquement
z^^Qz-^lXz -h S = {z'-^pz-hfj) {z- — p'z -h 7') ou
z'^Qz'--^-T{z-hS — z'-^p \z^-^q
PP
■-^rjp •z^qq' -r-pq' I
Les équations de condition sont donc
p^p'—O, q -i- pp' ^ q' = Q, qp'^pq' — Vy, qq'=S.
La première donne
et les trois autres deviennent
q — p'- -^ g' —. Q, p{q'—q) — Vy, qq'=S.
On a, par suite,
q'-^q—P'^Q. et q' — q —
Il en résulte immédiatement
2 2/> ip
En substituant ces valeurs dans la dernière équation de con-
(lition, il vient enfin
c'est-à-dire
et, en développant,
Cette équation en p est, comme cela doit être, du sixième
A. 3 degré [on a C^ = — ^ ^=6]; mais elle ne renferme que des
puissances paires de p, de sorte que, en prenant p- pour inconnue, elle s'abaisse au troisième degré et devient
En résolvant cette équation du troisième degré, on aura les trois valeurs de p- ou les six valeurs de p, deux à deux égales et de signes contraires. Les valeurs correspondantes de q seront données par l'équation de condition
Dans ce cas particulier, grâce à \ ahaissem,ent de l'équation en p, la recherche des diviseurs du second degré est plus facile que la résolution directe de l'équation (i).
Descartes a pu ainsi ramener la résolution de l'équation du quatrième degré à celle du troisième degré. Car, une seule valeur de p étant déterminée, on peut calculer les valeurs correspondantes, non seulement de q, mais encore de p' et de q\ à l'aide des relations ci-dessus. On a alors à résoudre, à la place de l'éciuation (i), les deux équations du second degré
dont les racines sont celles de l'équation (i) [1021].
On pouvait d'ailleurs prévoir Vabaissement de l'équation en p.
En effet, l'équation (i) étant privée de son second terme, la somme de ses quatre racines ^^i, z^, z^, z,^ est nulle; et, si l'on égale à zéro un diviseur du second degré, dans l'équation obtenue
z^'-^pz-^q^zz^o,
p représente la somme de deux r/uelconques de ces racines. D'après la condition
les six valeurs de p satisfont donc aux relations suivantes
Z2 Sjri^Si -1- Sj, S, ^l,—~Zx-\-Z^, — Sj — s^n: ^, -T- C.2>
c'est-à-dire qu'elles sont bien deux à deux égales et de signes contraires.
Un fait remarquable doit être encore signalé. Si l'on considère l'équation du quatrième degré sans transformation, c'est-à-dire non privée de son second terme, l'équation en p à laquelle on parviendra par l'application de la seconde métbode sera une équation complète du sixième degré de la forme
(2 ) //' + ^'p^ + 0'/>^ -^ R'/?3 -^ S'/y^ ^ Tp ^ U'= o. Les six valeurs de p seront toujours
seulement, elles ne seront plus deux à deux égales et de signes contraires, puisque la condition Zy-^ Z2-\- z^-^ -^^o n'est plus satisfaite; P' sera alors la somme de ces six valeurs changées de signes (1036), de sorte qu'on aura
Or, pour faire disparaître le second terme de l'équation complète du sixième degré en p, il faut (106i) diminuer toutes
les racines de cette équation de la quantité ou (1061)
former la transformée en
7r = /j-l— g-j ou en 7^=r/>-^^.
Les racines de cette transformée seront donc, en désignant
par ir= — la somme des quatre racines de l'équation com-
ALGÈBRE SUPÉUIEURE. 205
plète du quatrième degré,
^l' — Z^-^- j 2i -^^ 1; {z^-r- Z,^ Zi ^3),
Et l'on vérifie alors que les racines de la transformée sont deux à deux égales et de signes contraires, ce qui exige que l'équation correspondante ne renferme que des termes de degré pair. 11 en résulte que, en faisant disparaître le deuxième terme en/?' de l'équation (2), on fait nécessairement disparaître en môme temps le quatrième terme en/>^ et le sixième terme en/", de sorte que l'abaissement du sixième degré au troisième desrré a encore lieu.
