THÉORIE DES RACINES ÉGALES
Recherche du plus grand commun diviseur d'une fonction entière et de sa dérivée.
1088. I. Le plus grand commun diviseur^ d'une fonction entière et de sa fonction dérivée est le produit des facteurs premiers multiples de la fonction proposée, pris chacun avec un exposant moindre d' une unité.
Nous avons vu (1019) ce qu'on entend par racines multiples d'une équation algébrique ou par facteurs premiers multiples d'une fonction entière.
La fonction donnée, décomposée en facteurs premiers, étant
par exemple, il s'agit de prouver que le plus grand commun diviseur de 9(-) et de sa dérivée o' (z) est égal à
Admettons d'abord, sans faire apparaître les racines égales ou les facteurs multiples, que, la fonction étant de degré m, on ait
Désignons par o'{z), comme à l'ordinaire, la dérivée de 9(3). Nous avons démontré (lOiO), en appliquant simplement la règle de dérivation d'un produit (573), la formule fondamentale
Supposons maintenant que, parmi les racines considérées, il y en ait p-i qui soient égales à a^, jji, qui soient égales à
a,, . . ., (Xn qui soient égales à ««. On aura
o{z) ^: {z - a,y. {z. - a,)l'^.. . . {z ~ a,yn, et la formule (i) deviendra
La somme fXi — [x, -:- fji.3 — . . . + |jl„ est nécessairement égale à m, et les nombres jjl;, ^x^, ^x^, . . . , fx,, sont égaux ou supérieurs à l'unité.
Si, dans la formule (i bis), on réduit les fractions du second membre au même dénominateur et si on les ajoute, le dénominateur commun est
Quant au numérateur de la fraction résultante, il a pour expression
f\ ' ) =-' [-^1 ( - — «2 ) (- — «3) - ■ • (- — «7 ) -^ ix,{z — (Xi) {z — a^) . . . {z — a„)
et il est clair que ce numérateur n'admet comme facteur premier aucun des facteurs linéaires de o{z), puisque/(:?) est composé de parties qui, tontes, sauf une seule, contiennent ce facteur quel qu'il soit. Ainsi le facteur z — «i se retrouve partout, excepté dans la première partie ; le facteur z ^ cLy appartient à toutes les parties, moins la seconde, etc. La formule (i bis) pouvant s'écrire
et/(::) n'admettant aucun des facteurs linéaires de 9(:^), les facteurs premiers de 9 (;) qui se retrouvent dans o'{z) et dont le produit constitue le plus grand commun diviseur des deux
fonctions proviennent seulement du quotient ^V~\" Le plus
grand commun diviseur cherché a donc pour expression
ce qui justifie l'énoncé
= {z~a, jl^- .-' {z - a,)^'^-' ...[z~a„]
•.>.()8 ALoLliKK SUl'ÉRIEUllE.
Le degré de ce plus grand commun diviseur est
( fjL, — \) -i- ( p, — I ) ->- . . . -f- I ;jL„ — I ) — m — /* .
1089. II. Toute racine multiple d'ordre n d'une équation algébrique quelconque, o(-) = o, annule o{z) et ses n — i premières dérivées, sans annuler la «''^■™<'; réciproquement, toute quantité qui annule o{z) et ses n — i premières dérivées, .sans annuler la n'^'"^, est racine multiple d'ordre n de l'équation (^{z) z= o.
En effet, si a est une racine multiple d'ordre /i de Téquation (^{z)z=o, 9(^) admet le facteur multiple {z — a)". D'après le théorème précédent (1088) appliqué successivement, o'{z) admet alors le facteur (z — a)"-^, ç"iz) admet le facteur (z — a)"-^, ...; cp«-'(;;) admet seulement le facteur z — a, de sorte que ce facteur n'entre plus dans o" (z).
Réciproquement, si la quantité a, n'annulant pas (^"■{z), annule 9"-^(;;), cette dérivée contient une seule fois le facteur z — a. En remontant, la dérivée o'^-^{z) contient alors deux fois ce facteur, la dérivée o'^-^{z) le contient trois fois, ..., la dérivée o'{z) le contient n — i fois et, enfin, la fonction cp(::) le contient n fois, de sorte que cette quantité a est une racine multiple d'ordre n de l'équation 9(:;) --o.
Condition pour qu'une équation algébrique ait des racines égales.
1090. Pour reconnaître si une équation algébrique quelconque o{z) = G a des racines égales, il suffit, d'après ce qui précède (1088, 1089), de chercher le plus grand commun diviseur de (f{z) et de sa dérivée (p'(3).
Si ces deux fonctions sont premières entre elles (1077), l'équation proposée n'a pas de racines égales; si ces deux fonctions admettent un plus grand commun diviseur algébrique, l'équation <j>{z) =o a des racines égales.
Les racines de l'équation formée en égalant à zéro ce plus grand commun diviseur D, entrent dans l'équation donnée avec un exposant supérieur d'une unité. Ainsi les racines simples, les racines doubles, les racines triples, ..., de l'équation D =r o, sont racines doubles, racines triples, racines quadruples, ..., de l'équation o{z) = o.
ALGEBRE SUPERIEURE.
J09!. Exemples.
1° ReconnaCtre si l'équation binôme :■'" — i = o peul avoir des racines égales.
La dérivée du premier membre de l'équation donnée est mz"^~^. Il faut chercher le plus grand commun diviseur de z'" — i et de mz"^-^.
mz"' — m \ z
La première division conduisant au reste constant —m, 2'" — i et mz>^-^ sont des fonctions premières entre elles, et l'équation proposée n'a pas de racines égales.
Ce résultat concorde avec ce que nous avons dit précédemment des racines de l'unité (834).
1° Condition pour que l'équation complète du troisième degré' admette une racine double.
Pour que cette équation ait une racine double, il faut que le premier membre cp(3) et sa dérivée ':>' {z) = ^z^ -^ ip z -^ q admettent un plus grand commun diviseur du premier degré. Indiquons la série des opérations en nous conformant toujours, pour éviter les coefficients fractionnaires, à la remarque du n° 1078.
Z^-^pz'^ -rqz — A"
"iZ'-^T.pz-^-q
't.pz^-^qz
pz'^s-'iqz ~r- 3r
3pz^-r- 6qz -i- gr
— ip^-z^pq
■-r--i.pz^q
■'ip^)z'-^7.p{6q--ip-^) - 3( gr - pq)z
(i2/»7 — 4/J* — 27/* — ipq)z --q{6q — ip^) 2p^){i7.pq — ^p^— 27/- -+- 'ipq)z -H 7(67 — ■i.p'^f
(Çir~-pq){\ipq
^p^~i~r-:-ipq) r-i^r — pq)
■ipq)
24/)2 72-)- 4 qp-*— I oSpqr-^ 36ph'-^ 243 z'^- - ^ypqr-{- 1 2^272 — 4 qp''— 27 pqr- 3 ^272.
•2']0 ALGEBRE SLPEniF.UUE.
Ce reslc, égale à zéro, roi)r6sentc \equation de condition cherchée. En effectuant la réduction des termes semblables et en suftprimant le facteur commun 9, on obtient finalement
(1) 4 9''-+- 4p'^ ~" /-'"'/" — iSpr/r -^ 1-r- ^ o.
En égalant le plus grand commun diviseur du premier degré à zéro, on a, pour expression de la racine double z-i,
6</ — i})- La racine simple ^i est alors (1036)
., - -P- ^"^---p-j^j-zj^ - -^^piy,,— •
Ces résultats concordent avec ceux trouvés précédemment. Nous avons vu, en effet (1053), que le dernier terme de l'équation qui a pour racine les carrés des différences des racines de l'équation
a précisément pour expression le premier membre de l'équation de condition (i). Or, si l'équation complète du troisième degré a une racine double, l'équation aux carrés des différences de ses racines doit admettre une racine 7iulle, ce qui exige bien que son dernier terme ou son terme constant soit lui-même égal à zéro.
De même, nous avons trouvé (1038, 1°) la condition pour que l'équation du troisième degré, privée de son second terme, ait une racine double, et nous avons obtenu en même temps les valeurs de cette racine double et de la racine simple qui lui est associée. En faisant dans ce qui précède p = o, ce qui donne à l'équation du troisième degré considérée la forme z^-\- qz-^r = o, on retombe bien sur la condition
(ibis) ^q^-i-i-r' = o
et sur les valeurs des racines
auxquelles on est parvenu dans le second exemple du n" 1038, avec des notations différentes.
Décomposition de toute équation qui a des racines égales en équations plus simples, faisant connaître chacune les racines des différents ordres de multiplicité, prises seulement une fois.
1092. Soit l'équalion algébrique quelconque cp(,;) = o. Nous supposerons, pour fixer les idées, que celte équation a des
racines doubles, des racines triples et des racines quadruples.
Nous désignerons respectivement par Zj, Zj, Z3, Z4, les produits de facteurs binômes correspondant à ces racines des différents ordres de multiplicité, chacun de ces binômes étant pris seulement à la première puissance. On aura alors évidemment
.) 9(^) = Z..Z^Z^Zt;
et les équations
(■-) Zi=:0, Z2=0, Z3=0, Z4=0,
feront connaître les racines des différents ordres de multipli- I ité qui satisfont à l'équation proposée, indépendamment de cet ordre qu'on n'aura plus ensuite qu'à rétablir.
La question est donc de déterminer les premiers membres (les équations (2), et nous allons voir qu'on peut y arriver par de simples divisions régulièrement effectuées.
Soit D le plus grand commun diviseur de la fonction o(;) el de sa dérivée o'(^). Nous aurons (1088)
Soit Di le plus grand commun diviseur de la fonction D et de sa dérivée D'. Nous aurons de même
Di= Z3.ZJ.
Enfin, soit D. le plus grand commun diviseur de la fonction Di et de sa dérivée T)\. Nous aurons
D,=^Zv.
Parvenu à ce dernier produit, par lequel nous sommes averti que la fonction Do et sa dérivée sont premières entre elles (1088) nous diviserons successivement o{z) par D, D par Di, Dj par D., et nous écrirons cette suite d'identités :
^ = Q=zZ,.Z,.Z3.Z4,
=— :=: () 1 =; Zo - Z3 • Zi ,
D, =:D,= Zv.
Cela fait, nous diviserons de nouveau Q pur Q,, Q, par Q... Oo pai' 1^2. cl nous obliendi'ons le résultat cherché, c'està-dire
La résolution de l'équation 9(-3j : o est ainsi grandement lacililée, puisqu'elle est ramenée à la résolution d'une série d'équations de degrés inférieurs. La méthode est simple et élégante, et elle n'a contre elle que la longueur des calculs qu'elle exige.
1093. Supposons que l'équation 0{Z) =:osoit du quinzième degré, et qu'elle ait quatre racines simples, deux racines doubles, une racine triple et une racine quadruple. Zi sera alors du quatrième degré, Zo du second degré, Z3 et Z4 seront du premier degré.
1094. Comme on opère seulement par voie de division et sur des fonctions entières, les derniers quotients Zi, Z,, Z3, Z,, ..., sont toujours des expressions rationnelles dont les coefficients sont formés avec ceux de l'équation donnée, et qui sont entières par rapport à z.
D'après cela, il est important de remarquer dès à présent que, lorsque l'équation 9(^ ) — ^ o n'a qu'une seule racine d'un certain ordre de multiplicité^ cette racine est nécessairement commensurable, puisqu'elle est donnée par une équation du premier degré à coefficients rationnels (109-2), et elle est ellemême une fonction rationnelle des coefficients de la proposée.
1093. Si l'on voulait décomposer l'équation (d{z) — o en deux autres, l'une renfermant toutes ses racines inégales, l'autre toutes ses racines égales, mais prises seulement une fois, on opérerait comme il suit. Nous venons de trouver par la méthode générale (1092)
l)=.Z,Z^Z^ et
^ji^ .Q:=Z,Z,Z,Zi.
Cherchons le plus grand connnun di\i>cur A de Q et de D.
Il aura pour valeur (1075)
A = Z,Z3Z4, et, en divisant Q par A, il viendra
Les deux équations demandées sont ainsi
A = o et -- =z G,
la première faisant connaître les racines égales prises chacune une fois, la seconde faisant connaître les racines inégales.
1096. Exemple. — Proposons-nous de décomposer l'équation cp ( z) = z^ -t- 4 2^ — 3 z'* — I 6 z^ ^ I I z2 --- I 2 s — 9 = G, au point de vue de la reclierche de ses racines égales. Nous aurons, pour la fonction dérivée,
cp'(z) = &Z^-\- lOZ'* — IIZ^ — 482--f- 22Z — 12.
Cherchons le plus grand commun diviseur D de o(z) et de o'{z), en ayant soin de diviser d'avance o'(z) par 2 et d'appliquer les simplifications ordinaires.
Nous trouverons, après trois divisions,
et nous en déduirons
Cherchons le plus grand commun diviseur Di de D et de D'. Nous trouverons, après deux divisions,
Di = z — I.
D, n'ayant aucun facteur premier commun avec sa dérivée, on doit
s'arrêter en posant ( 1092)
Di=Z3.
On a ensuite
^ = Q =ZliZ,Z3=23--3z2-z-3,
Ir-^-
Di = Di =
De C.
- Cours. IV.
ALGÈBRE SUPÉRÏEU]
n en résulte
On arrive donc enfin à
cp(z) = (z ->- i)(z-h 3 )-(z-- i)S
et l'équation proposée admet la racine simple — i. la racine double - - 3, el la racine triple -+- i .
Recherche des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation algébrique ait une racine d'un certain ordre de multiplicité.
1097. Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation algébrique 9(2) = 0 admette une racine multiple d'ordre n sont, d'après ce qui précède (1089), que cette racine, prise seulement une fois, annule o{z) et ses n — i premières dérivées, sans annuler la n'^'"''. En d'autres termes, il faut exprimer que les n équations
ont une racine commune.
jPodU' cela, on commence par écrire que 9(^3) et <p'(-) ont un plus gr>'^nd commun diviseur du premier degré. On trouve ainsi une prêwiiière équation de condition entre les coefficients de la propt^sée. En égalant à zéro le plus grand commun diviseur calculé, oii\a l'expression de la racine multiple, et, en la substituant dans ïies n — 2 autres équations (i), on obtient n — 2 nouvelles équations de condition entre les coefficients de la proposée.
Ainsi, pour qu'une équation admette une racine multiple d'ordre n, il faut que ses coofficients satisfassent an — i équations de condition.
Nous avons déjà appliqué cette méthode (1091, 2°) à la recherche de la condition pour qu'une équation complète du troisième degré ait une racine double. Nous en donnerons ici un nouvel exemple.
1098. Trouver les deux conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation du quatrième degré, privée de son second terme, ait une racine triple.
On a ici à exprimer que les trois équations
[ cp(3)r= z'* -^ pz' -^ q z -\- r ^^o, (i) \ (^'{z)= [^z'^-^ipz--q =o,
ont une racine commune. On a intérêt, en général, à opérer d'abord sur les équations de degré inférieur.
Nous exprimerons donc que les premiers membres des deux dernières équations (i) ont un plus grand commun diviseur idu premier degré, en suivant toujours la même marche (1078). Nous aurons
2S ÇfZ^-^p
Lz'
ip.
Zq
iz — ^q \pz-^Zq
l^pz^3q
8/>^+ 27^^ La première condition cherchée est donc
— 36pqz
On obtient l'expression de la racine triple en égalant à zéro le plus grand commun diviseur du premier degré, c'est-à-dire en posant
^pz ^3q
d'où
En substituant cette valeur dans la première des équations (i), il vient
256/?^ ou, en réduisant et en chassant les dénominateurs.
81^*— 48/>* 72 ^ 256 rp'^ — o.
Telle est la seconde condition cherchée. On peut simplifier
2^6 ALOÈBUE SUPÉRIEURE.
son expression en tenant compte de la première condition. On déduit, en effet, de l'équation (2),
de sorte que l'équation (4) se réduit à
(5) grf^Sirp.
En multipliant par 3 les deux membres de l'équation (5), on a
