jq-s=zQ6rp
et l'on peut alors réunir les deux conditions trouvées sous la
forme simple
2^q''~g6rp = —Sp'
ou
(6) '^q^—\irp=-—p\
On peut simplifier notablement les calculs par l'emploi des fonctions homogènes. C'est ce que nous allons montrer.
Emploi des fonctions homogènes.
1099. Cas d'une racine double. — Soit la fonction entière
(i) 9(^)=Ao^'"+A,^'«-» + A,^'"-3 + ...M-A,„,zH-A„,.
Remplaçons z par - et multiplions ensuite par u"^, nous aurons ;
) «/'"9(-) = Aos'"4-Aii<5'«-»^-A2«<2^'"--n-...^A;„itt'«-'^ + A,„
c'est-à-dire que nous obtiendrons une fonction homogène (580) et de degré m des deux variables z et u. Nous pourrons la désigner par cs^{z,u), en convenant de remplacer o{z,i) par cp(^), puisque, lorsqu'on suppose u=zi, la relation (2) reproduit identiquement la relation (i). Il en sera de même pour la dérivée partielle ^',{z,u) [327, 566] qui, pour az=i, reproduit simplement cp'(^).
D'après le théorème des fonctions homogènes (580) appliqué à la fonction o{z, u), on a, d'une manière générale, l'identité
(3) - 9r(-, w) 4- uo'„{z, u) - nio{z, u).
ALGEBRE SUPERIEURE. 2^7
Or, pour une racine double de l'équation 9(5) = 0, les deux polynômes ©(s, a) et o'.{z, u) s'annulent quand on y remplace z par cette racine double et u par i, puisqu'ils se réduisent, dans cette hypothèse, à o{z) et à 9' (5). On a alors pour les mêmes valeurs, d'après l'identité (3),
Donc, toute racine double de 9(;3)=:o est une racine commune des deux équations
quand on y suppose u=:i.
lléciproquement, toute racine commune des deux équations ainsi modifiées annule nécessairement o{z), d'après l'identité (3), et cette racine est alors une racine double de l'équation o{z) = o, puisqu'elle annule à la fois o(;:) et ^'(s).
1100. Prenons, par exemple, l'équation du troisième degré privée de son second terme
(i) z^-}-pz-i-q = o.
Nous aurons immédiatement
(2) { Cp2(^, u) = 3z--+-pn-, )'u{z, u)^^ ipuz -H Zqu^.
Égalons à zéro les deux dérivées partielles, après y avoir fait a:=i. Il viendra
Si ces deux équations ont une racine commune, elle est nécessairement, puisque l'une des équations est du premier degré,
En la substituant alors dans le premier membre de l'autre équation (3), on obtient l'équation de condition qui doit lier les coefficients de l'équation (i) pour qu'elle ait une racine
double. On retrouve de la sorte, plus rapidement, le résultat connu (1038, 2°)
(5) [^p^-~1-jq'- = o.
1101. Cas d'une racine triple. ^Pour que l'équation 9(r)-^o ait une racine triple, il faut et il suffit (1097) que les équations
(l) Cp(5)=0, 0'(::)=0, ©"(S) = 0
aient une racine commune.
Formons, comme précédemment (1099), l'équation homogène o{z,u^. Nous avons démontré (08I) que les dérivées partielles du premier ordre d'une fonction homogène de degré m sont des fonctions homogènes de degré m — i. On peut donc leur appliquer aussi le théorème des fonctions homogènes {^^0), de sorte qu'on a les trois équations suivantes, en se rappelant les notions données (650 et suiv.) sur les dérivées partielles des différents ordres :
Izo'.{z,u) -T-uOu[z,u) =:mo{z,u) z(^l'.{z, u) -4- a (i>"-,„(z, u) ={m — 1) 0;(s, u), -S <?"u,z{z, M) H- uo",*{^-, u) ^=z(m —-i)o'^{z, u).
Si l'équation 9(^) =0 admet une racine triple, on a à la fois, pour la valeur correspondante de z et pour u = i, cd{z) ■= o, o' (5 ) =r o, o"(s) = 0. Pour les mêmes valeurs, la première des identités (2) donne alors 9'„(::, a) = o; à son tour, la deuxième de ces identités donne o!.„(^,«i=o; enfin, la troisième donne nécessairement o^^». (:;,«)== o, puisque l'on a (652)
Il en résulte que, pour toute racine triple de o(c) =0, les relations ci-après (qui correspondent aux dérivées partielles, du second ordre)
(3) o'l,{:, u) = o, ol^„{z,u) = o, oU{^-,u) = o
sont satisfaites, quand on fait en même temps m = i.
Réciproquementi si les équations (3) ainsi modi/îées a.(\meitent une racine commune, pour cette racine et pour u =: i, la. troisième des identités (2) donne 9'„(s, m) =0; la deuxième de ces identités donne o'.{z, u)z=o; enfin, la première donne à son tour o(^, u) =0. Par conséquent, la valeur correspon-
(lante de z est une racine triple de l'équation g3(\s) — o, puisqu'on a à la fois, pour cette valeur,
(I) <p(5)=0, 9' (--)--"-: G, Cp"(s)=0.
On peut donc, dans la recherche poursuivie, substituer aux équations (i) les équations (3), qui sont nécessairement plus simples.
1102. Reprenons l'exemple déjà traité (1098), c'est-à-dire cherchons les conditions pour que l'équation du quatrième degré, privée de son second terme,
(i) z''^pz^^-r-qz^r = o
ait une racine triple.
Nous aurons ici
1(ij,{z,u) ^r= z^ -^ pu^z'^-^ qu^z — ru'', (q'.{z, u) =: /^z^-^ 2 pu^z -T- qu'^, (f>'„{z, u) = 2puz^-\~ 3qu-z — [\ru^,
922(3, W) =.l-2.z'^— ipu'^,
9"z,u{^-, «) = ^puz — iqu^ = 9w,s(-s, II), 9^^2(3, m) =^ipz'' -r^^quz ^ iiru'^.
Égalons à zéro les trois dérivées partielles du second ordre, en y faisant w^zi. Nous obtiendrons les trois équations
et elles devront admettre une racine commune. La deuxième des équations (3) étant du premier degré, cette racine commune est nécessairement
et, en la substituant dans les deux autres équations (3), on retrouve, beaucoup plus rapidement, les mêmes équations de condition qu'au n° 1098, savoir
~ q^ ^=.\irp ^— p^.
< r^pz ~
-3(jr =0,
\ 2pz^-
- 6qz 4-12/-
280 ALGÈBUE SUPÉRIEURE.
1103. Cas général. — Les résultats qu'on vient d'obtenir (1099, 1101), dans le cas d'une racine double et d'une racine triple, s'étendent sans peine à la recherche des racines d'ordre supérieur, quel que soit cet ordre.
En appliquant le théorème des fonctions homogènes à la fonction elle-même rendue homogène et à ses dérivées partielles du premier ordre, nous avons trouvé (1099, 1101)
j ^9-Az,u)~ uo'„{z,u) =m(f>{z,u),
(1) j zo".,{z,u)^- uo".^,^{z, u) = {m — \)o'.{z,ii), ' -?«,;(-» «)^- uOu'.{z,u) =Xm — i)o[^{z,u).
Les dérivées partielles du premier ordre étant des fonctions homogènes de degré ni — i, les dérivées partielles du deuxième ordre sont des fonctions homogènes de degré m — 2 (581), auxquelles on peut encore appliquer le même théorème. On obtient ainsi les relations suivantes, en remarquant que, puisque (65*2) 9':,„(-, u) =: (p'i,-{z, u), on n'a besoin de considérer qu'une seule de ces deux fonctions :
/ z o':3{z, U) -4- U o'"tjt{z, u) = (m — 2) ol'.{z, II),
(2) j zo'^i,,{z, u) -h uo'l„'.{z, u) = {m--'2)c^l^u{z, U), ( z([)'",z^-{z, u}-+- uo'U{z,u) z=z{m~2)f„,{z,u).
Cela posé, pour que l'équation 9 (-3) = o ait une racine quadruple, il faut (1089) que les quatre équations
aient une racine commune.
S'il en est ainsi, pour la valeur correspondante de ;: et pour u=.i, une racine quadruple étant racine double et racine triple, les identités (i) sont satisfaites d'elles-mêmes et les seconds membres des identités (2) s'annulent tous les trois (1099, 1101). A cause des équations (a), la première des identités (2) donne alors (^"l^^ui^, «):=o; il en résulte, en vertu de la deuxième, o"',„!(5, u) = 0; et, par conséquent, la troisième donne enfin o"û^{z, u) :=o, puisque l'on a (6o2)
Ou^,-{z, u) = o.,„t{z, u).
Réciproquement, si, pour u=^i, les quatre équations
( cf>z,u'-{z,u) — o, 9„3(-c, a) =0,
ALGEBRE SUPERIEURE. 20I
qui correspondent aux dérivées partielles du troisième ordre, ont une racine commune, celte racine est une racine quadruple de l'équation (p(s) = o.
En effet, elle annule alors les seconds membres des identités (2): par suite, elle annule ceux des deux dernières identités (0, et, finalement, elle annule le second membre de la première de ces identités, c'est-à-dire elle satisfait à l'équation 9 (^) := o. On a donc à la fois, pour cette racine commune et pour « = I,
(a) 9(^) = o, 9'(s) — 0, o"(^) = o, cp''(0)=o,
de sorte qu'elle est bien racine quadruple de la proposée.
On a donc le droit de substituer aux équations (a) les équations ((3), nécessairement plus simples.
La loi est évidente. Lorsque l'ordre de la racine multiple croît d'une unité, l'ordre des dérivées partielles que l'emploi des fonctions homogènes conduit à considérer croît aussi d'une unité, en restant immédiatement inférieur à l'ordre de la racine.
En résumé, toute racine multiple d'ordre « + t de l'équation 9(5) = 0 est racine commune des n H- i équations
'J"n{z, U) — 0, 9S"-.,,.(-, U) = O, (f)'Jn.-'.,r.{z, U) =0, . . . ,
lorsqu'on y fait a = i .
En exprimant que les deux dernières dérivées partielles ont un plus grand commun diviseur du premier degrés on obtient, en égalant à zéro ce plus grand commun diviseur et le reste correspondant, l'expression de la racine multiple cherchée et une première équation de condition. En substituant la valeur trouvée pour la racine multiple dans les n — i premières équations, on a les n — i autres équations de condition.
Le nombre des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation 9(-s) = 0 admette une racine multiple d'un certain ordre est donc toujours inférieur d'une unité à l'ordre de multiplicité de la racine (1097).
1105p. Ce qui précède conduit facilement à la généralisation du théorème des fonctions homogènes.
Considérons dans le numéro ci-dessus les identités (i).
Multiplions les deux membres de la deuxième par z, les deux membres de la troisième par u, et ajoufons-les membre à membre en tenant compte de la première identité. Nous aurons
z^ (fli{z,u) -h 2ZU ^".^u{^,u) -r- u^ oli{z,u) =^ m (m — l) Cf( Z, U ) .
Considérons de môme les identités (2). Multiplions les deux membres de la première pars-, les deux membres de la deuxième par 2zu, les deux membres de la troisième par m^, et ajoutons-les membre à membre en tenant compte du résultat précédent. Il viendra
H- 3ZU'^ 9™,«î(-S, u) -H M* (f'u>{z, u)
z^niim — i){rn — 2)9(5, u).
En continuant de la même manière, on voit que, dajis le pi entier membre de l'identité obtenue, les dérivées partielles de l'ordre auquel on parvient sont multipliées respectivement par les termes correspondants de la puissance égale du binôme {z -h u), tandis que, dans le second membre, la fonction (p{z, u) est multipliée par le nombre d'arrangements de m objets, qui a pour exposant l'ordre des dérivées partielles.
On aura ainsi, pour l'ordre n, la formule suivante, qui est l'expression du théorème des fonctions homogènes généralisé :
z" cp".(^, u) + nz"-^ u 9i'n-.,„(^, u)
+ nzu"-^ tp?,,."- (-, «) + «* ?,'!'■(-, u) =1 m(m — i){m — 2). . .(m — n -h i) cp(s, a).
ALGEBRE SUPERIEURE.
