Dans l'expression précédenle de r, f désigno

une fonction rationnelle des quantités /'i, /'n, ... et \/». mais toute fonction rationnelle de plusieurs quantités peut être représentée par le quotient de deux fonclioQS entières; nous pouvons donc poser

SECTION V. CHAPITRE II. 5o3

cp et ^ désignant des fonctions entières, et si Ton ordonne ç

et ^ par rapport aux puissances de ^p ou /?", on aura pour i^ une valeur de la forme

.^0 -^ '^1 />" -+- ^i /?" -4- . . . -4- .Çy P" s

où Sq, Si y , . .j 5y et fo9 ^o • • -7 ^' sont des fonctions entières de Ti, r2, ....

Soit a une racine imaginaire de Téquation

a" :^- 1 ; désignons par

les n — I valeurs qu'on obtient en remplaçant, dans T,

p^ successivement par

«/?", a*/>", a'/ZS ..., a"-*/'"»

et multiplions par Ti T2 . . . Tn^t les deux termes de la valeur de ^^ on aura

Le produit TTi T2. - -Tn^i peut évidemment s'exprimer en fonction entière de p et des quantités /'i, ror • • • i il est donc une fonction algébrique d'ordre [jl et de degré m — I au plus, que nous désignerons par u. Pareillement, le produit 8X4 Tj. . .T„^i est une fonction entière de Ti, r2 . . • , et ^p] nous représenterons sa valeur par

5o4 COURS d'algèbbi! SUPÉniEUnE.

et l'on aura

P.-tt:

OU simplemenl

en mettant ^q, 71, ... au lieu de — -» — • •• ; 7^, 71, ...

désignent ici des fonctions rationnelles de r^j r^^ ...

Qlp.

On peut chasser de l'expression précédente de v les

puissances de p" supérieures à la (/i — i )**"•. Si, en effet, / désigne un nombre qui, divisé par n, donne le quotient g et le reste //, on a

et, en se servant de cette formule, on pourra mettre v

sous la forme

(joj <l\j q-i <y«i étant toujours des fonctions ratioD-

ncUes de /?, /'i, Tj et, par conséquent, des fonctions algél)riqucs d'ordre /x et de degré m — i au plus telles, on outre, qu'il soit impossible d'exprimer ration-

nellemcnt p" en fonction rationnelle des quantités donl elles dépendent.

Dans Tcxpression (1) de ç^, on peut supposer

Pour le dénionlror, supposons d'abord que q^ ne soil pas nul, et posons

P\ pql^

SECTION V. CHAPITHE II. So3

d'où

l'expression de v devient

Vl 7i

OU plus simplement

(2) ^=^go-^p'*-^^iP"'^'"'^qn-ip " .

en écrivant p au lieu de pi ; q2y 73> • • • 21^ lî^^ d® 4»

Dans cette nouvelle expression (2) de i^, qui se déduit de (i) en faisant ^, = i, les quantités q^, ^,, . . • désignent toujours des fonctions algébriques d'ordre fx et de degré m — i .

Supposons maintenant que dans l'expression (i) de v on ait ^{ = o; désignons par ^^ Tune des quantités i/oj qi, ... y qui n'est pas nulle, et posons

pi = 5*/'*.

d'où

pl-=glp'^y

n étant premier et k étant moindre que n, on peut toujours trouver deux entiers a et 6 tels, que

X étant un nombre entier quelconque donné; alors on aura

5o6 cocus d'algèbre supÉniEcnB.

d'où

On a, en particulier et par hypothèse.

les deux formules précédentes permettent de substitaer

aux puissances de p", dans la valeur (i) de i', celles dcf^,

et, après cette substitution, il est évident que la forme

de (^ n^aura pas changé, mais que le coefïicient de pjsen

l'unité ; car, dans l'expression primitive de i', ^ a pour coefficient y>f Les développements qui précèdent peuvent être résumés par la proposition suivante :

Théorème. — Toute fonction algébrique d' ordre fi et de degré m peut être mise sous la forme

«'- go-^-p"-^fhP"-^" .H-7«-i/^ " y

ou n est un nombre premier, yo> Vs? • • • des fonctions algébriques d* ordre jex, mais de degré m — i , et p une fonction d'ordre [x — i , dont la racine /i«<'''»«« ne peut être exprimée rationnellement par les quantités */o» y 2. • • •

Propriétés des fonctions algébriques qui satisfont

à une équation donnée.

527. Il importe de rappeler ici les définitions que nous avons présentées au n° 100.

Si Ton considère un polynôme entier et rationnel

SECTION V. CHAPITRE TI. Soj

dont les cocnfîcienls «<, «2? • • • soient des nombres commensurables donnés, tout diviseur de ce polynôme dont les coefficients sont commensurables est dit un dwiseur commensurable .

Plus généralement, si les coefficients a^ «2» ... du polynôme sont des fonctions rationnelles de quantités quelconques, qu'on regarde comme connues, tout diviseur de ce polynôme qui a pour coefficients des fonctions rationnelles des quantités connues est appelé un dwiseiu^ commensurable.

On nomme, dans tous les cas, équation irréductible toute équation dont le premier membre n'admet aucun diviseur commensurable.

Dans le cas de l'équation générale de degré quelconque, dont les coefficients sont indéterminés, les quantités connues ne sont autres que les coefficients eux-mêmes; Téquation est nécessairement irréductible.

Cela posé, soit une équation de degré m

; I ; ^•"' -h «, x"'-» -r- rt, x'"-' -:-...-!- n^n-x .*: -:- ih„ -^ o,

dont les coefficients sont considérés comme des fonctions rationnelles de quantités connues, et suj)posons qu'elle soit résoluble algébriquement.

D'après la classification des fonctions algébriques établie précédemment, si la racine x est une fonction algébrique d'ordre [jl des quantités connues, on pourra poser

n est un nombre premier; /; désigne une fonction d'ordre

— i; Ço, 72? • • • peuvent être de Tordre /:/, mais sont

d'un degré moindre que celui de x. Enfin on peut sup-

5o8 COURS d'algèbre supérieurb.

poser qu'il soit impossible d'exprimer p" en fonction

rationnelle de p, y©» ?2» • • • •

En substituant cette expression (a) de x dans l'équation (i), on aura un résultat qui pourra évidemment se réduire à la forme

(3) /•oH-ri//»-l-rj;7''-i-...-;.r„^,^ « — O,

où /q, Ti, r2, . . . , r„^^ désignent des fonctions rationnelles des quantités p, q^y q^, . . . , y^-i- Or je dis qnc l'équation (3) exige que Ton ait en même temps

7*0 - :: O, Tj :=:. O, Tj i= O, . . . , r„— i = G.

En effet, dans le cas contraire , les deux équations

auraient ine ou plusieurs racines communes. Soitik nombre de ces racines, on pourrait former une équation de degré k ayant pour racines ces k racines communes, et pour coefficients des fonctions rationnelles de p, (j^i <72? • • M y«-i' Soit

•^0 -h J| s -f- .Vj z' -i- . . . 4- 5jt 2* = O

cette équation, et désignons par

un diviseur irréductible de son premier membre, doni les coefficients ^g, f ^ , . . . , ti soient des fonctions rationnelles de py q^y ^2i • • • > Çn-î» L'équation

5ECT10M V. — CHAPITRE II. 5og

a toutes ses racines communes avec

d'ailleurs son degré i est au moins égal à 2, car, autre-

ment, on pourrait exprimer z ou p" en fonction rationnelle de p, (/o, q^f ' • -j Çn^i • Si donc z désigne une racine quelconque de Téquation (4)^ cette équation aura au moins une autre racine de la forme «z, a étant une racine de Téquation %

Téquation (4) aura donc une racine commune avec

et, par conséquent, avec Téquation

que l'on obtient en retranchant de Téquation (6) l'équation (4) multipliée par a*. Mais Tcquation (4) est supposée irréductible: il est donc impossible qu'elle ait une racine commune avec l'équation (7), qui est d'un degré inférieur au sien : d'où il suit qu'on a nécessairement

Les équations précédentes ayant lieu, l'expression (2)

de X satisfera encore à la proposée (i), quand on y aura

substitué à p" chacune des n valeurs

où I , a, 6, . . . , û) désignent les racines /i'«"»" de l'unité. On aura ainsi n racines de l'équation (1), que nous représenterons par

5io COURS d'algèbre supérieurb.

et dont les valeurs seront

Xi - 7o-^ yp" -4- q^p» -h ^- 7i»-lP " »

On voit que ces racines sont difTérentes, car, si dem d'entre elles étaient égales, il résulterait de cette égalité une équation qui aurait la même forme que Téquttion (3), ce qui conduit, comme nous l'avons vu, à on résultat contradictoire. Au surplus, cette remarque n*est pas indispensable pour ce qui va suivre.

En ajoutant les équations (8), en les ajoutant ensuite après les avoir respectivement multipliées par

puis par

puis, etc., on obtient les suivantes :

qn-^p " — - (xi-f-«jr, -{- -t-«x«j.

Il résulte de là que, si Ton regarde comme connues les

SECTION V. — CHAPITRE H. 5ll

racines de Tunité, les quantités

sont des fonctions rationnelles des racines de Féquation (i). On a, en effet, généralement

Désignons maintenant par y Tune quelconque des quantités p", ^o> ^a? • • • ? V"""*? et soit

jTty 53, . . . , étant des fonctions qui peuvent être du même ordre quej^, mais qui sont de degré inférieur. On a, par ce qui précède,

f désignant une fonction rationnelle, el x^y x^, . . . , Xm les m racines de l'équation (i), lesquelles peuvent ne pas entrer toutes dans la fonction f . Soit m' le nombre des valeurs que prend cette fonction cp par les substitutions des racines x^, x^, ... ; on pourra former une équation du degré m' dont les coefficients seront exprimés rationnellement par ceux de Téquation ( i ) , et dont les racines

seront les ni valeurs de la fonction cp . Et, comme la valeur (9) de^ doit satisfaire à cette équation, on en conclura, comme précédemment, que les quantités

5ont des fonctions rationnelles de y^, y^j • • •^ym'i et,

5l2 COURS d'algèbre SUPlfaiEDEE.

par conséquent, aussi des fonctions rationnelles de x^

Comme on peut continuer indéfiniment ce raisonnement, on conclut de ce qui précède que :

Si une équation est résoluble algébriquement, on peut donner à la racine une forme telle, que toutes les fonctions algébriques dont elle est composée soient des fonctions rationnelles des racines de l'équation proposée.

Démonstration de l'impossibilité de résoudre algébriquement les équations générales de degré supérieur au quatrième,

528. Les propriétés des racines d'une équation résoluble algébriquement, que nous venons de démontrer, ont lieu dans tous les cas, soit qu'il s'agisse d'une équation dont les coefûcients ont des valeurs déterminées, soit que l'on considère ces coefBcients comme indéterminés, et, par suite, les racines de l'équation comme étant des quantités quelconques, n'ayant entre elles aucune dépendance.

Nous plaçant maintenant à ce dernier point de vue, nous allons démontrer qu'il est impossible de résoudre alg^ébriquement les équations générales de degré supérieur au qualrième.

Ce ihcorème a été démontré, pour la première fois, d'une manière rigoureuse par Abel; je présenterai ici la démonstration plus simple que l'on doit à Wantzel (•)•

(*) J'ai cru devoir reproduire le raisonnement de WanUel ; j'ai cependant supprimé quelques détails que rendent inutiles les dcrreloppemenls dans lesquels je suis entré en traitant de la théorie des subsûtu lions.

SECTlOIf V. CHÀPITKB II. 5l3

Soit

ane équation du degré m dont les coeiBcîents sont indéterminés^ et désignons par

ses m racines, que nous supposons exprimables algébriquement en fonction des coefficients.

Si réquationy*(j:) = o est satisfaite par la valeur x^ de Xj quels que soient ses coefficients, on doit reproduire identiquement X| en substituant dans son expression la fonction rationnelle correspondant à chaque radical, puisque les racines de Téquation sont alors entièrement arbitraires. De môme, toute relation entre les racines devra être identique, et ne cessera pas d'exister, si Ton y remplace ces racines les unes par les autres, d'une manière quelconque.

Désignons par y le premier radical qui entre dans la \aleur de X|, en suivant l'ordre du calcul, et soit

p dépendra immédiatement des coefficients dey(j:) = o, et s'exprimera par une fonction symétrique des racines, F(j:i, X2, X3, ...); ^ sera une fonction rationnelle f (xi, X2, Xj, . . .) des mômes racines.

Comme la fonction cp n'est pas symétrique, sans quoi la racine /z"™* de p s'extrairait exactement, elle doit changer lorsqu'on transpose deux racines, Xi, x^t par exemple ; mais la relation

*sera toujours satisfaite. D'ailleurs, la fonction F étant

invariable par cette transposition, les valeurs de cp sont

S. — jilg» tup*f 11. 33

Si4 couas d'algèbre supéniBUBS.

des racines de réqualionj^« = F, et l'on a

a étant une racine /i**"* de l'unité.

Si l'on transpose les racines X| et Xs, il vient

y(xi, X,, Xj, ...) = ay(x„ arj, x,, ••.;^

d'oùy en multipliant par ordre,

Ce résultat prouve que le nombre Uf supposé preinieri est nécessairement égal à a; donc le premier radical qui se présente dans la ^valeur de l'inconnue doit être du deuxième degré. C'est ce qui arrive, en effet, pour les équations qu'on sait résoudre.

La fonction cp n'ayant que deux valeurs, elle change par une transposition quelconque, et elle ne sera pas changée (n^493) par une substitution circulaire de trois ou de cinq lettres, car chacune de ces substitutions équivaut à un nombre pair de transpositions.

Continuons la série des opérations indiquées pour former la valeur X| de x.

On combinera le premier radical avec les coefficients def[x) = o, ou la fonction cp avec des fonctions symétriques des racines, à l'aide des premières opérations de TAlgèbre, et l'on obtiendra ainsi une fonction des racines susceptible de deux valeurs, et, par conséquent, invariable par les substitutions circulaires de trois lettres. Les radicaux subséquents pourront donner encore des fonctions du même genre, s'ils sont du deuxième degré. Supposons qu'on soit arrivé à un radical pour lequel la fonction rationnelle équivalente ne soit pas invariable par ces substitutions; dcsignons-le toujours par

SECTION V. CHAPITRE II. 5l5

Dans réquation nous ferons encore

cette fonction ne sera pas symétrique, mais seulement invariable par les substitutions circulaires de trois lettres. Si Ton remplace

par

dans f , la relation

subsistera toujours ; et, puisque F ne change pas par cette substitution, il viendra

a désignant une racine n**"* de l'unité.

En faisant dans cette équation la substitution circulaire

et en répétant cette substitution, on aura

?(^3» -^11 ^t- -^4» •••)="?(-^2» •'^»» •''l' 'V> -..)« yl-^H •*"«» -^S» -^4' • • • ; ^^ ** ? \*'"3i -^l» -^li •'*4j •••)»

puis, en multipliant les trois équations précédentes, ou conclura

Ainsi, n sera égal à 3.

Si le nombre des quantités jti , x^^ x^^x^^ ... est supérieur à quatre, ou si l'équation f(^x) = o est d'un degré plus élevé que le quatrième, on pourra effectuer

5l6 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

dans (f une substitution circulaire de cinq lettres, pir exemple

(•^1» ^1» -^SJ ^4> ^s)>

la fonction F ne changera pas par cette substitution, et Ton aura

^l^î» Xj, X4, ^5, Xj, .,,j=ay(j:|, JTj, Xj, ^^4, o'j, •..),

puis, en répétant de part et d'autre la même substitution,

y[j:3, x^, ^^5, JTi, .ro, ...)==: a ^[Xj, Xj, ^4, jTj, X|, ..•),

Par la multiplication, on obtient

ce qui entraîne

puisque a est une racine cubique de l'unité. Donc, si le degré de l'équation proposée est supérieur à 4i I^ fonction cp est invariable par les substitutions circulaires de trois lettres, ce qui est contraire à notre hypothèse. Ainsi, tous les radicaux renfermés dans l'expression de la racine d'une équation générale de degré supérieur au quatrième dei^r aient être égaux à des Jonctions rationnelles des racines im^ariables par les substitutions circulaires de trois racines. En substituant ces fonctions dans l'expression de x^, on arrive alors à une égalité de la forme

•^1 ^^^ Y;-''!* •''î» «^s» "^ti '^s* • • • )»

qui doit être identique ; or cela est impossible, puisque le second membre reste invariable quand on remplace Xo X2, Xz par X2, X3, x^, tandis que le premier membre change évidemment.

Donc il est impossible de résoudre par radicaux Té*

SECTION V- CHAPITRE II* 5l7

qnatîon générale du cinquième degré ou d^un degré supérieur.

La démonstration précédente fait voir en même temps que y pour les équations du troisième et du quatrième degré, le premier radical, dans Tordre des opérations, doit être un radical carré, et le deuxième un radical cubique. Ces circonstances se présentent, en eHet, dans les formules que nous avons données dans le Chapitre précédent.

5l6 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

dans (f une substitution circulaire de cinq lettres, par

exemple

(xj, Xj, x^j x^j ^j);

la fonction F ne changera pas par cette substitution, et Ton aura

?(^î» •*'S' •^4» -^51 -^H •••)=*?Fl» •*«» ^»» *4« ^»* •••)t

puis, en répétant de part et d'autre la même substitution,

?(-^zn J^ii J^si J^i, «^2» ...)=a^(j:j, Xj, X4, Xj, X|, ...J,

Par la multiplication, on obtient

ce qui entraîne

puisque a est une racine cubique de Tunité. Donc, si le degré de Téquation proposée est supérieur à 4> I^ fonction cp est invariable par les substitutions circulaires de trois lettres, ce qui est contraire à notre hypothèse. Ainsi, tous les radicaux renfermés dans l'expression de la racine d'une équation générale de degré supérieur au quatrième dévoraient être égaux à des fonctions rationnelles des racines inv^ariables par les substitutions circulaires de trois racines. En substituant ces fonctions dans Texpression de x^ , on arrive alors à une égalité de la forme

Xi z=z y (.ri, j:*2, X3, X4, 0:5, . . .),

qui doit être identique ; or cela est impossible, puisque le second membre reste invariable quand on remplace Xi, Xa, x^ par Xa, Xa, Xi, tandis que le premier membre change évidemment.

Donc il est impossible de résoudre par radicaux Té-

SECTION V. CHAPITRE II. SlJ

qnatîon générale du cinquième degré ou d'un degré supérieur.

La démonstration précédente fait voir en même temps que, pour les équations du troisième et du quatrième degré, le premier radical, dans Tordre des opérations, doit être un radical carré, et le deuxième un radical cubique. Ces circonstances se présentent, en effet, dans les formules que nous avons données dans le Chapitre précédent.

fê^t

5l8 COURS d'aLgIiBIIE SCPÉRIEDRE.