CHAPITRE III

DES ÉQUATIONS ABÉLIENNES.

Des équations irréductibles dont deux racines sont tellement liées entre elles y que l'une puisse s exprimer rationnellement par l'autre.

529. Après avoir démontré qu'il est impossible de résoudre algébriquement les équations générales de degré supérieur au quatrième, il paraîtrait naturel de chercher à déterminer quelles sont les équations susceptibles d'une telle résolution. Mais, avant d'aborder ce difficile problème, il convient de présenter une étude complète d'une classe remarquable d'équations que M. Krônecker a nommées abéliennes.

Les équations auxquelles conduit le problème de la division du cercle en un nombre premier p de parties égales sont toujours résolubles par radicaux, et Gauss a montré, dans ses Recherches arithmétiques, que chacun des radicaux dont l'expression des racines est composta a pour indice l'un des facteurs premiers Ac p — i. Ces équations ont celte propriété, que chaque racine peut s'exprimer rationncllemout par l'une quelconque Jcs autres, et Abel, en partant de cette remarque, a fait \oir que, si deux racines d'une équation irréductible sont tellement liées entre elles, que l'une puisse s'exprimer rationnellementpar l'autre, on peut toujours ramener la résolution de l'équation î\ celle d'éïjuations de degrés moindres. Ily a même des cas où l'équation est résoluble

SECTION V. CHAPITRE II I. Sig

algébriquement; cela arrive en particulier si son degré est un nombre premier.

Nous allons exposer ici ces recherches d'Abel, et nous ferons ensuite l'application de sa méthode aux équations dont dépend la division du cercle en un nombre premier de parties égales.