Soit

une fonction rationnelle quelconque; il est évident que toule fonction algébrique s'obtiendra en combinant Topération désignée par y avec l'opération désignée par \ , ni étant un nombre premier. Si donc p^, p^, . . . désignent des fonctions rationnelles de x^, Xj, . . ., w^ Ha, . . . des nombres premiers, et qu'on fasse

p' ^^Jv'u -^îi • ' ••> y Pu "vpï^ • • • ■>

p^ sera la forme des fonctions algébriques dans lesquelles

l'opération désignée par V ne porte que sur des fonctions rationnelles. Nous appellerons, avec Abel, fonctions algébriques du premier ordre les fonctions de la forme p\

Soient y:?'j, p\f ... des fonctions algébriques du premier ordre, /i',, /i',, . . . des nombres premiers ; et posons

p* f\JC\. J^i \Pu V7?j, . ., \p,, \pj, ...K

pi' sera la forme générale des fonctions algébriques daDS

lesquelles l'opération désignée par yj ne porte que sur des fonctions rationnelles ou sur des fonctions algébriques du premier ordre. Nous appellerons fonctions algébriques du deuxième ordre les fonctions de la forme pf' ,

De même, si //, , //' , ... désignent des fonctions algébriques du deuxième ordre, w* , n\, . . ., dos nombres premiers, et qu'on fasse

p — /\^Xi,x„ ..., v7>i, ..., vT'i» •••> SP /'»

SECTION V. CHAPITRE 11. 5oi

p"' sera la forme des fonctions algébriques, où l'opéra-

lion désignée par V ne porte que sur des fonctions rationnelles et sur des fonctions des deux premiers ordres. Les fonctions de la forme jJ" seront les fonctions algébriques du troisième ordre.

En continuant ainsi, on formera des fonctions algébriques du quatrième, cinquième, . . . , fx**"' ordre^^ et il est évident que Texpression générale des fonctions du ^ieme Qrdrc sera l'expression générale des fonctions algébriques.

Il suit de là qu'en désignant par v une fonction algébrique du fx*^"*® ordre, v aura la forme

oùydésigne toujours une fonction rationnelle, pi, p^y ... des fonctions de Tordre fx — i, /îi, «2^ • • • des nombres premiers, et Ti, r2, ... des fonctions de Tordre (ui — i ou d'un ordre moins élevé.

On peut évidemment supposer qu'aucun des radicaux

\Piy \P2* ... ne soit exprimable rationnellement en fonction des autres radicaux et des quantités /'i, 7*2^ • • • •

Si, en effet, V/7j était dans ce cas, en portant sa valeur dans l'expression de Vj on aurait une valeur de sf

de la même forme que la précédente, mais plus simple,

puisqu'elle contiendrait le radical v/;< de moins. Si, de même, l'un des radicaux qui restent pouvait s'exprimer en fonction rationnelle des autres radicaux et des quantités Ti, r2y . . . , on pourrait chasser ce radical de l'expression de i^j qui conserverait d'ailleurs la même forme ; et si Ton pouvait continuer ainsi jusqu'à ce qu'on eût

D02 coims d'algèbre supékieueb»

éliminé tous les radicaux v/^i, \p2t •••7 la foDClioD *» serait réduite à Tordre fx — i.

Si donc la fonction v est effectivement du fi^"""*^ ordre,

on peut supposer que les radicaux \/pty \p2r • • • aient été réduits au plus petit nombre possible, et qu'il soit impossible d'exprimer l'un de ces radicaux en fonction rationnelle des autres et de fonctions algébriques d'ordre inférieur. Et si m désigne alors le nombre de ces radicaux qui affectent des fonctions algébriques d'ordre f* — i, Hous dirons que la fonction v d'ordre [jl est du degré m.

D'après cette défmition, une fonction d'ordre fz et de degré zéro n'est autre qu'une fonction d'ordre ji — 1. el une fonction d'ordre zéro est une fonction rationnelle.

Il résulte de là que, si v désigne une fonction algébrique d'ordre fx et de degré m, on aura généralement

'' — /{ru ^ly • • •» \/p)y

/désignant une fonction rationnelle, p une fonction algébrique d'ordre (à — 1, 72 un. nombre premier, et r|, /'o, ... des fonctions d'ordre /x, mais de degré m — 1. En outre, d'après ce qui précède, on peut toujours sii[»-

poser qu'il soit impossible d'exprimer \p en fonction ralionncllc de r,, /'o, ....

Forme générale des fondions algébriques.