Soit

une équation irréductible de degré fi, et supposons que deux racines a/ et X| soient liées entre elles par Téquation

où 6x désigne une fonction rationnelle de x et des quantités connues, a/ étant racine de Téquation (i), on aura

d'où il suit que Xi est racine de Téquation

et, par conséquent, cette équation (2) admet toutes les racines de Téquation (i) (n** iOO), car celle-ci est irréductible, ei/[Ox) est une fonction rationnelle. En d'autres termes, si x désigne une racine quelconque de Téquation (i), 9x sera aussi racine de celte équation. Mais 6xt est racine de l'équation (i); donc 09xi le sera aussi, ainsi que 059x^, et généralement, en répétant sur X| un nombre quelconque de fois l'opération désignée par 9y on obtiendra toujours une racine de l'équation (i). Soit, pour abréger,

tous les termes de la série

(3) ^1, 0.rj, Ù^x^, O^x^, ...

5aO COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEURE.

seront des racînes de Téquallon (i). Maïs la série (3) renferme une infinité de termes, tandis que l'équation (i) n'a que fx racines; il faut donc que quelques-unes des quantités (3) se trouvent répétées un nombre infini de fois. Supposons, par exemple, que l'on ait

l'équation

a la racine O'^x^ commune avec l'équation (i); elle admettra donc toutes les racines de l'équation (i), et l'on aura

On tire de là

d'où il suit que les termes de la série (3), à partir da 7i**"*, se reproduiront dans le môme ordre, et que celle série ne contiendra que les n racines distinctes

Ces n racînes seront elTectîvement dislinctes, si n est le nombre de fois qu'il faut répéter sur x^ l'opération designée par 0 pour reproduire x^ .

Si l'on a fx=:/2, la série (4) contient toutes les racines de l'équation (i).

Supposons ;/> 71, et soit Xi une racine de l'équation (i) qui ne fasse pas partie de la série (4), on fera voir, comme précédemment, que toutes les quantités

(5) X„ e.rj, O^rj, ..., (/«-^j-5, ...

sont également racines de Tcquation (i). Or je dis que,

SECTION V. CHAPITRE III. Sai

dans la série (5), les /i premiers termes (6) .r,, 0xj, e^T^, ..., 0«-*x,

sont les seuls qui puissent être différents. En effet, l'équation

admet la racine Xi de l'équation (i); donc elle admettra toutes les autres, et Ton aura

d'où

Par conséquent, les termes de la série (5) se reproduiront dans le même ordre, à partir du /!«*»% et, parmi ces termes, les seuls qui puissent être distincts sont renfermés dans la série (6).

Je dis maintenant que les termes de la série (6) sont effectivement diflérents entre eux, et. distincts des quantités (4).

L'égalité

où k et I sont inférieurs à zi, est effectivement impossible; car, d'après le théorème établi au n^ 100, elle entraînerait

ce qui n'a pas lieu, puisque les quantités (4) sont différentes.

L'égalité

est de même impossible. Si, en effet, elle avait lieu, il en résulterait

5aa COTJ118 d^algèbre supéeibdre.

et, par conséquent, X2 ferait partie de la série (4)y ce qui est contre Thypo thèse.

Le nombre des racines de Téquation (i) renfermées dans les séries (4) et (6) est 2n; on a donc nécessairement /l = 2/Z ou fJl >> 271.

Supposons ii^2n, et désignons par x^ une racine de Péquation (i) qui ne fasse pas partie des groupes (4) et (6) ; en raisonnant comme précédemment, on formcxa un troisième groupe de n racines ,

toutes distinctes et différentes des quantités (4) etf6); d'où il suit nécessairement que Ton a|i = 3nou|x^3n. En continuant ainsi, on verra que les fi racines de Téquation ( i ) peuvent être partagées en un certain nombre m de groupes composes chacun de n termes, en sorte que

Les racines de Téquation (i) seront alors

.rj, 0.r^, 0-.r^ (/"-^jt^,

.rj, O.r^, 0-J'^ 0" ^r,,

r Or ()'* r rjn—\ ^

531. Consîrlcrons réquation de degré n qui a pour racines les raciiics de Tun de ces groupes, du premier par exemple, et soit

(x — .r, ) i.r— O.rj) (.r -— C'X^]. . . [.r — O^^^jr^] r-.O

(8) x"-i-Ai'^x«-> s- a;' •.*:«-»-:-. . .-:- A[;\.r-hA^;\-to

SECTION V. — CHAPITRE ÏII. 5a3

cette équation. Les coefficients

sont des fonctions rationnelles et sjmélriqucs des quantités

et ils ne dépendent, comme on va voir, que d'une seule équation du degré m.

Soit, en effet, j^i une fonction rationnelle et symétrique quelconque des quantités

0X], O^Xiy . . . étant des fonctions rationnelles de X|,jki le sera aussi, et nous poserons

F désignant une fonction rationnelle. En outre, à cause de 6" Xi =Xif les quantités (g) ne feront que se changer les unes dans les autres si Ton remplace Xt par dxi, 0*X|, . . . , ô'^"* Xi ; et comme j>^i est une fonction symétrique de ces quantités, sa valeur sera invariable par ces changements ; on aura donc

Désignons par

j 2y J ?.i • • •» Jm

les valeurs que prend j^i quand on y remplace Xj successivement par

on aura

y, =:F(.r,)=rF(0.r,)r^F(0^r,)=...=rF(Ô''-»X,), î

:r„=F(.i „,) = F(Ox,„) = Fiov,„} = . . . .■=F(0''-'x„).

S^4 COURS d'alGÈBHE SUPÉRIBimB.

Soit maintenant ou

Téquation qui a pour racines^i , j^j , . . . ,^„ ; je dis que les coefficients pty p^j ... de cette équation peuvent être exprimés rationnellement par les coedGcients de Téquation proposée (i). On a, en efiet, quel que soit l'entier 31,

y\-=\\ LF(x,)? 4- [F(ôx,)]^ -f-. . .-^ [Fiô'-tx.ipj,

et, en ajoutant,

Le signe \ du second membre s'étend à toutes les racines de réqualîon proposée ; ce second membre est donc une fonction symétrique et rationnelle de toutes les racines; d'où il résulte que les sommes de puissances semblables des racines de Téquation (lo) peuvent être exprimées rationnellement par les coefficients de Téquation proposée. On pourra donc aussi exprimer de la merae manière les coefficients/;!, y:?2* •••> ainsi que nous l'avions annoncé.

La fonction rationnelle et symétrique y^ des quantités (9), fonction qui peut être choisie à volonté, dépend donc directement d'une équation de degré m. D'ailleurs

SECTION y. GHAPITEE III. SsS

les fonctions

sont semblables ; car elles peuvent toutes être considérées comme des fonctions rationnelles de la seule racine X|« On pourra donc exprimer

en fonction rationnelle de^i .

Nous sommes ainsi conduits à l'une des applications les plus importantes de la théorie des fonctions semblables, que nous avons développée dans le Chapitre V de la Section IV ; mais, comme cette théorie est sujette à quelques cas d'exception, il ne sera pas inutile d'entrer, avec Abel, dans le détail du calcul des coeHIcients A|*^ , A^^^ , . . . .

Désignons par ^(j^i) l'un quelconque de ces coefficients; (p est une fonction rationnelle qui ne doit pas changer qur.nd on remplace Xt parôa:i,6*j:i, ...f6'^^*Xiy puisque ^(^i) est, comme j^i, une fonction symétrique des quantités (9) ; et il en sera de même de la fonction

On aura donc

en remplaçant Xi successivement par X29 x^j • • . , Xmy on aura des expressions semblables pouTj\^{^X2)7 • • •, Jm^i^m)', et, si Ton pose

(11) ^^=x]'H-^i)-^:r]^(^t)'^..^-^xlJ{:r^),

on aura

5a6 COI3IIS d'algèbre supérieure

le signe \ s^élendant à toutes les racines de réqi]atioD(i).

On voit par là que t-^ est une fonction symétrique et rationnelle des racines de Téquation (i), qui pourra, par conséquent, s'exprimer rationnellement en fonction des quantités connues.

Cela posé, en prenant pour X les valeurs o, 1,2, 3, .... (m — i), Téquation (11) donnera les suivantes :

/i >Kar, ) -h j,.^(x-,) -h . . . H-r/ii ^(*m ) == ^1,

(12) { y\^{^i) -^ Xl^i^f) -^ " • -^j'I^i^m) = ft,

dont les seconds membres peuvent être considérés comme connus.

Pour avoir la valeur de ^(Xi), ajoutons les équations (i 2), après les avoir respectivement multipliées par les indéterminées

et faisons, pour abréger, on aura

et, si Ton détermine les facteurs Ro« I^o ••• parles conditions

on aura

SECTION V.t— CHAPITRE III. 627

Cherchons maintenant les valeurs de Rq, R^ • • • • Diaprés notre hypothèse, l'équation

doit avoir pour racines j^y yzj • • •> JKm*, maïs ces racines appartiennent aussi à l'équation (lo), qui admet en outre la racine y^ : on aura donc

jr"''^P\X'

X — Xi -^PïXï

Pm-l Pm-tX\

Comparant les valeurs <f{y') données par les équations (i3) et (i5), on trouve

Ri = Pm-t -+- Pm-lXx -4- . . . -4- J'^"^ R, =/?;n-l -^/'m-iri -^ . . . -+-rr"*«

On tire aussi de l'équation (i5)

?(ri)=='«^T"'-^ ('w-OpitT'"*-*-

et en faisant, pour abréger,

-+- 2Pm-l7l -4- /?«-!,

To = '0 Pm-\ -+- ^1 Pm-t -+- Ti = ^o/'/n-î -+- '1 Pm-Z ■+-

-^ '/n— î /'l -4" fw— 1

m— Si •1

5 28 COUE8 D^ÀLGÈBREtSUPéaiEUmB.

on aura cette valeur de ^ {xi ),

La formule précédente n^est en défaut que si le dénominateur du second membre est nul. Or, je dis qu*on peut toujours faire en sorte que cela ne soit pas. En eflet, ce dénominateur est égal au produit

(ri — r«) (ri — r») . • -(ri — r»)»

et, pour qu'il soit nul, il faut que Tun des facteurs le soity que Ton ait, par exemple,

ri =r*.

Cela posé, prenons pourri la fonction

ri = (« - -^i) (« - 0.r,) (« - 0«Xi). . .(« — 0"-«a:0.

a étant indéterminé; l'équation yt =ykf ou

(a — xj ) (a — 0 JTi ) . . . = (a — j:^) (a — Ox/, ) . . . ,

ne peut avoir lieu, quel que soit or, à moins d'étrt identique ; ce qui est impossible, puisque les quantités Xk, Oxk, • • • sont différentes de X|, 9xi, .... D'où il suit qu'en choisissant j 1, comme il vient d'être dit, Téqualion (17) donnera pour ^[Xt) une valeur finie et déterminée.

Les coefficients A'/*, A!i\ ... de l'équation (8) peuvent donc s'exprimer rationnellement par une même fonction ji dont la valeur dépend d'une équation du degré m; et si l'on remplacerai successivement parj'j,^3, . . .,j'j«, on aura m équations du degré /i, dont les racines seront respectivement

•^1» ^*iï • • •» ^"^ •''it

d'où il suîl que l'équation proposée peut être décomposée en m équations chacune du degré /i, dont les coefïicienfs sont respectivement des fonctions rationnelles d'une même racine d'une équation du degré m.

Cette dernière équation n'est pas en général résoluble algébriquement, quand son degré surpasse le quatrième ; mais l'équation (8) et les autres semblables le sont toujours, comme nous allons le démontrer, en supposant connus les coefficients A^*^, A?*, — Dans cette hypothèse, notre analyse ramène la résolution de l'équation proposée de degré ^l = mn à celle de m équations de degré /i, qui ont cette propriété, que toutes les racines de chacune d'elles peuvent être représentées par

Résolution algébrique des équations dont toutes les racines peuvent être représentées par Xy Ox, Q^x, . . . , 9^^x, 6x étant une /onction rationnelle de x et des quantités connues, telle que &^x = x,