Soit
mie équation de degré fx, dont les racines sont
ar, Ox, 0*x, . . ., $^^x,
Ox désignant une fonction rationnelle de x et des quantités connues, telle que l'on ait
(2) O^a: = X, et, par conséquent,
(3) OJ'^Xrrrô*^?.
S. — jéig^» $ttp»f IL ^
53o COURS D^ ALGÈBRE SUPÉRIEURS.
Désignons par a une racine quelconque de l'équation et posons, avec Lagrange (n® 520),
je dis que la fonction ^(x) est exprimable rationnelle* ment par les quantités connues dey(x) et de 6(x).
En effet, remplaçons x par B^x dans Féquation (4)9 on aura
y^Q"'x] = ($'".r 4- aO"'-*-^x H- a^O"'-^^x -f-...-4- a»*-* ô'"-H»-t^j,i^
et, en ayant égard aux équations (a) et (3),
= («i*-'«x -h a»^'"-*-»^^ -f-...-h ai^*ô'"-*jr -h O'^x -4-. ..-h «''---M = (a'^'")>*(x -+- aOx -f- a* ô*x -}-... -+- a^*-*ô^^*x)^
ou enfin, à cause de «>"= i.
Donnant à m les valeurs successives o, i , a, ..., jui — if on a
et, par conséquent,
d'où il suit que ^{x) est une fonction rationnelle et symétrique de toutes les racines de Téquation (i); elle pourra donc être exprimée rationnellement par les coefficients de cette équation.
Posons alors
SECTION V. GHAPITEE III. 53 1
on aura
if étant une quantité connue. Et si l'on désigne par
les fi racines de l'équation
par
les valeurs correspondantes de i^, on aura
x + 0x 4- 0* j: -I- 4- ô»*^* jr = Ç^î^,
.r -4- «1 Ojt -4- aj O'.r -|- -4- af"* Oi*-* x = Ç^p^,
La quantité ^v^ est immédiatement donnée par l'équation (i); car, si l'on désigne par Aie coefHcient de af^^ dans cette équation, on a
En ajoutant les équations (5), et ayant égard aux propriétés connues des racines a, il vient
et l^on aura généralement la valeur d'une racine quel-
532 COURS d'àlgèbrb supéribueb.
conque ô'^Xy en ajoutant les équations (5) respectivement multipliées par
on trouve ainsi
cette formule donnera les valeurs de 6 r, 6*x, ..., 9*^*x, en attribuant à m les valeurs i, 2, 3, . . . , (]ix — i).
533. Dans l'équation (6) et dans toutes celles qu'on déduit de la formule (7), on doit considérer chaque
radical yi^i , \V2 , • • • , V^p^-i comme ayant toujours la même valeur. Si on laisse à ces radicaux toute leur généralité, l'équation (7) ne diffère aucunement de l'équation (6), et cette dernière renferme l'expression de toutes les racines. Il y a en outre ici une difGculté, car l'équation (6) donne pour x une expression qui a f**^* valeurs, tandis que l'équation (i) n'a que /x racines. Mais nous avons déjà eu l'occasion d'indiquer comment on peut faire disparaître cette ambiguïté, et il est facile d'établir que, quand on a fixé la valeur de l'un des radicaux, les autres sont par cela même déterminés.
En effet, désignons par a une racine primitive de l'équation
et posons
^Çy =zx -h aOjT -h a* 0*jc -4- . . -f- ce.^^ O^^x,
Ç i;^ = X -^ a" Ox -4- a*" 0*x 4- . . . -f- «(»^*)" Ôi*-»jc
Si l'on change x en B^x^ y^i s^ changera en a'*^"*v ^i » ainsi qu'on le reconnaît par le calcul effectué plus haut.
Pareillement \Vn sera, par le même changement de x en 6'"x, multiplié par a'"'*"'"^; d*où il suit que le produit
sera multiplié par a'^»^'">= i, c'est-à-dire qu'il n'éprouvera aucun changement. Si donc on pose
Ç^(î/7.)^-=f{x), on aura
et, par conséquent,
ç> (x) = - [y [x) -+- 5p (Qx) 4- ...-+. y (ôi^*a:)j.
f (x) est donc une fonction rationnelle et symétrique ^es racines de l'équation (i), et l'on pourra l'exprimer rationnellement par les quantités connues; en désignant par an sa valeur, on aura
ou
On pourra exprimer ainsi chacun des radicaux y 1^29
^U3j , . . en fonction rationnelle de y P| y et l'équation (6) prendra la forme .
Cette expression de a: a précisément fx valeurs, et elle représente bien les [â racines de Téquation proposée. De ce qui précède on peut conclure cette proposition :
Théorème I. — Si les [jl racines d'une cguation quelr conque peuv^ent être représentées par
Ox étant une fonction rationnelle telle que 6^= Xy /'equation est toujours soluble par radicaux.
Et en rapprochant cet énoncé du théorème démontré au n^ 531, on a cet autre théorème :
Théorème II. — Si deux racines d'une équation irréductible de degré premier sont telles, que l'une puisse s'exprimer rationnellement en fonction de Vautre, l'équation est soluble par radicaux.
Cas oà les quantités connues sont réelles,
534. Si tous les coefïicients de / et de d sont réels, on a un tlicorème remarquable, que Gauss a établi le premier à Tégard des équations dont dépend la division du cercle en parties égales.
Nous avons posé précédemment
et nous avons établi que W| est une fonction symétrique des racines de l'équation y(j^) = o; par conséquent V| est exprimable rationnellement par les coefïicients de/ et de B; et si ces quantités sont toutes réelles, v'i ne contiendra d'autres imaginaires que celle de la racine a. En outre, v.^^ se déduit de t'i en remplaçant a par Texpression conjuguée a**^*; d'où il résulte que V| et v^i
SBCTIOH V. CHAPITHE III. 535
sont des quantités connues imaginaires et conjuguées. On pourra donc poser
l fj =/3(cosû) -4- v^ — I sinw\ ( «',,^1 = pièces û) — \i — I 8ia«;.
Nous avons aussi, en général,
et, pour n = fx — i ,
{2) ^^il%-i--a^i*
a^^i est exprimable rationnellement par les coeffîcients dey et de 6: elle ne peut donc renfermer d*autres imaginaires que celle qui se trouve dans a. Mais il est évident que a^^i ne change pas si Ton remplace a par a**~* qui est sa conjuguée; donc a^^^ est réelle. Des équations (i) et (2) on déduit
et, en désignant par a la valeur numérique de n^,^^,
La première des équations (i) donne alors cette valeur de \v\ ,
V l'j rr: y a ( COS h i^ — I SUl i
Vf* f* ^
où k désigne un nombre entier, et l'expression des racines X, donnée par l'équation (8) du n® S33, prend
536 CODES D'ALGkBEE SDPéftlBUBB.
celte forme très-remarquable :
= - J •— A 4- Y« ( cos h i/— I sm i
-^(/-^5'V — O fcos ^ -t-^/— ism •
-+- (/i -+- g', V--Ï) Vu [ces -^^ ^ -h v^- 1 sm J
-*-(/i-^iÇ'îV^-0 Icos^?^ l^^^^^l-. J
OÙ a, fy gj f^y g^y ... soiit (Ics foncUoDS rationnelles
de cos — et de sm — •
La formule précédente fera connaître les fx racines de f[x) = o, si Ton donne au nombre entier Ar les fx valeurs o, I, 2, 3, . . ., fx — I. De là résulte le théorème suivant :
Tbéoeème. — Pour résoudre l'équation proposée
f{x) = o, il suffit :
1^ De diviser la circonférence entière du cercle en fi parties égales; 2^ de div^iser ensuite un angle a> quon peut construire en fx parties égales; 3® d^ extraire la racine carrée d'une seule quantité a.
Remarque. — Les cocflîcients de y et de 6 étant tous réels, si une racine dey(x) = o est réelle, toutes les autres le sont aussi, puisque, si x désigne cette racine réelle, les autres racines sont
par conséquent, les racines de Téquation proposée sont toutes réelles, ou toutes imaginaires.
SECTION V. CHAPITBE III. 537
Première méthode particulière relati\fe aux équations abéliennes dont le degré est un nombre composé.
535. La méthode qui vient d'être exposée pour la résolution algébrique de Téquation abélienne de degré /ul,
est applicable à tous les cas, que fx soit premier ou non; mais, quand /a est un nombre composé, on peut simplifier la solution en opérant comme nous allons l'indiquer. Soît fA = m/i. Les racines de l'équation (i) étant toujours
nous pourrons les partager en m groupes de la manière suivante :
$m-ljp ^îm-lj.^ ©""-l.r, ..., ©'»'«-» j:;
OQy en posant et
de la manière suivante :
En appliquant donc à l'équation (i) la méthode exposée an n^ 531 , on pourra la décomposer en m équations.
chacune du degré Uj qui auront respectivement pour racines les racines des divers groupes (q), et dont les coefïicients seront des fonctions rationnelles d'une même racine d'une équation
(3) •Mr)=o
de degré m. Soient
X\-* X21 • • •! Xm
les m racines de l'équation (3), et
(4) î'(-^i7i) = o> ?(^, rt) = o» ••-. ?(^^rm)=o
les m équations qui ont respectivement pour racines lei quantités du premier groupe (2), du deuxième, etc., du dernier. Je dis que, pour résoudre Téquation (i), il suffit de connaître une racine y de l'équation (3), et ensuite une racine x de l'équation
(5) f{x,jr)z=0
correspondante; car on aura, de cette manière, une première racine x de l'équation (i), et les autres seront
L'équation proposée (i) étant résoluble algébriquement, l'équation (3) l'est aussi; car j^ désigne une fonction rationnelle de x. Mais je dis en outre que l'équation (3) jouit de la même propriété que l'équation (i), et que, par conséquent, on pourra lui appliquer la même méthode de résolution.
En effet, les racines de l'équation (i), renfermées dans le premier des groupes (a), sont
ct^ désigne une fonction rationnelle et symétrique ck ces racines, c'est-à-dire une fonction rationnelle de x*
SECTION V. CHAPITRE III. SSp
Posons
y = ff\x^ B'^x, O^'^x, ..., 0(«-')'«j:] = F(jr), les m racines J^o J^a, . . • , y m àe l'équation (3 ) seront
F{x), F(0.r], F(Ô*ar), ..., F(0'"-»^), et Ton aura
Par conséquent, F[dx) et F(x) sont des fonctions rationnelles et symétriques des quantités (6), et Ton pourra exprimer rationnellement Tune par l'autre en appliquant la méthode des fonctions semblables rappelée au n°531.
Soit donc
F[0.r)=lF{.r)=lx;
"kjr étant une fonction rationnelle de j^, on aura
F{0^x]—\F{0 .r) = >Vi F{OKr] = \F[0^x]z=\^X^
et l'on voit que les m racines de l'équation (3) pourront être représentées par
X désignant une fonction rationnelle telle que
Quand l'équation (3) sera résolue,^ sera connue, et Ton pourra appliquer à l'équation (5) la méthode précédemment exposée, puisque ses n racines peuvent être représentées par
X, O^x, Olx, ..., 01-^x.
On peut donc énoncer cette proposition :
Si fi = mn, la résolution de l'équation (i) est ra-
S4o COURS d'algèbre SUPéRlEURB.
menée à celle de deux équations des degrés m et n respectwenient, et qui ont la mémo propriété que la proposée.
Si n est lui-même un nombre composé nii iZ| , on rtmènera, de la même manière, la résolution de l'équ»tion ( 5 ) à celle d'une équation en z
de degré mi , et à celle d'une équation en x de degré n%
Dans l'équation {'j), y fait partie des quantités connues, et dans l'équation (8) il en est de même de^ et de z, et, généralement, on a ce théorème :
Théorème. — Si [>. = m^ m^ * • • m^, la résolution de
l'équation (i) peut être ramenée à celle de n équations
des degrés
respectivement, et il suffit même de connattre une racine de chacune de ces équations, lesquelles ont toutes la même propriété que l'équation proposée.
Corollaire I. — Si, en décomposant fi en /acteurs premiers, on a
IL = ef « cj*» . . . c''«,
la résolution de l'équation proposée de degré fi se ramènera à celle de pt équations du degré t%, de p^ équations du degré ej, . . ,, de p^ équations du degré «..
Corollaire IL — Toute équation de degré 2P, dont les racines peuvent être représentées par
peut être résolue à l'aide de p extractions de racines
carrées.
