Revenons au cas général, et supposons

pi = /Tti m^ . . . m^.

Désignons par 7i|, /t^, ..., n^les quotients respectifs dep par mi y m^y • • • , m^^ on aura

fl = nti /?( =: ni^ /?{ =Z /7I) /I3 = . • . = /Tt^/t^»

Cela posé, on peut, d'après ce qui précède, ramenerla résolution de l'équation

à celle de deux équations, des a> manières suivantes :

yi(x,j^, )r=o ayant pour racines .r, ô'"«x, ô**"ix, ..., I 0^'»i~*^'"tjr, et dont les coefficients sont des fonctions ^ rationnelles d'une racine j^i d'une équation ^1(^1! =« de degré m, ;

(yj(x, j,)=:o ayant pour racines x, Q'^tJi, ô'^tx, ..., 0{"t-^)^*x, et dont les coefficients sont des fooctioof

rationnelles d'une racine j^, d'une équation +1(^1' =0 de degré m, ;

ç>^(j-, ^^) — o ayant pour racines x, ô'"-x, ô*'"«j-

0{n^-i)'n^j. gj ^ç^^i |gg coefficients sont des fooc- ^ ' i tions rationnelles d'une racine x^ d'une ëquaboa \ >|/«(j«) = ode degré m^.

Supposons maintenant que /n^ m^, . . . , m«, soient premiers entre eux, les équations

n*auront que la seule racine x commune ; donc on pourra exprimer x rationnellement par les coefïicients de ces équations, et, par conséquent, en fonction rationnelle d® yif y^i • • •> y^' Ces dernières quantités étant connues, on aura ainsi Tune des racines de Téquation (i), et Ton en conclura ensuite toutes les autres

La résolution de Téquation ( i ) est donc ramenée à la recherche d'une racine de chacune des équations

qui sont respectivement des degrés mi, m^, • . . , m«. En outre, ces équations ont la même propriété que la proposée, ainsi que nous Tavons étahli précédemment; on pourra donc leur appliquer la même méthode. Si l'on yeut que ces équations soient le moins élevées possible, et siy en décomposant fi en facteurs premiers, on a

IL — «'*' i''» «''•

il faudra prendre

Qnant à la résolution de chacune des équations

de degré e^, elle se ramène à celle de P équations de degré f , ainsi que nous l'avons démontré.

544 COURS d'àlgèbrb supérieure.

Des équations irréductibles dont deux racines x ei x'

sont liées par la relation linéaire x'= —, 77 1 ak

a y b, d^ V sont des constantes données.