COS

rt*-

— la COS

Dans le cas de fx= 2, la condition (3) exige seulement que Ton ait

on peut d'ailleurs supposer dans ce cas

et alors on a

Le degré de l'équation (1) étant désigné par iz/x et les n^L racines étant représentées par

X, Ox, O^x, ..., O^^x, x„ Ox„ OVr„ ..., 0:*-»Xj,

««-Il ^•'•n-ii O*-^»-!. ..., 0«*-*a:„i,

si Ton pose

/ dépendra d'une équation

(7) Kr)=o

de degré /i, et dont les coefGcients seront des fonctions rationnelles des quantités connues de Téquation ( i) et de la fonction Q. L'équation (7) peut n'être pas résoluble algébriquement, mais les -quantités

X, O.r^ O^x, ..., 0:*-»jr

dépendent d'une équation de degré (i dont les coefficients

sont des fonctions rationnelles dey, et qui est, comme

nous savons, résoluble. Dans le cas qui nous occupe, cette

s. — ^^. sup'9 II* -^-'^

546 couns d'algèbre supérieure.

dernière équation n'est autre que Téquation (6), et Ton voit, en conséquence, que l'équation proposée (i) doit résulter de l'élimination de^' entre les deux équations (6) et (7); la seconde équation peut être considérée comme ayant pour premier membre un polynôme irréductible quelconque de degré n.

En d'autres termes, les équations que nous étudions peuvent être obtenues en multipliant un certain nombre n d'équations de la forme

jr-f- 0x-f- O^x. -\'. . .-4- Oi*-*x — ^ =0, x-t- Oj? H- 5*.r-f-. . . -f- ©!»-»x— ^1 = o,

OÙ y, j> I, y^y • • •> J>/i-i désignent les n racines d'une équation irréductible dont les coeilGcients sont des quantités entièrement arbitraires.

Il est évident qu'à l'équation (6) on peut substituer la

Des équations irréductibles à coefficients numériques dont plusieurs racines se développent en des Jractionx continues terminées par les mêmes quotients,

539. Nous avons fait connaître au n° 26 la forme dos rcjuations du deuxième degré dont les racines se iii*>eloppcnt en des fractions continues terminées par loi mêmes quotients, et nous avons résolu ensuite (n°5l2 U mrme question à Tégard des équations du troisiôm»? degré. Les considérations que nous avons développées

SECTION V. CHAPITHE lîl. 547

précédemment nous permettent de résoudre le problème plus général dont voici l'énoncé :

Quelles sont les équations irréductibles jouissant de la propriété que si l'on dé\^eloppe leurs racines réelles en fractions continues, par la méthode de Lagrange, deux ou plusieurs de ces fractions continues soient ter^ minées par les mêmes quotients?

Pour que deux racines jfetx d'une équation se développent en des fractions continues terminées par les mêmes quotients, il faut et il sufîit (n^ 16) que Ton ait

Gj hy ci y &' étant des entiers positifs ou négatifs liés par la relation

en outre, pour que x et 0 jr puissent représenter deux racines d'une équation irréductible, il faut qu'on puisse assigner un nombre entier fx, tel qu'on ait identiquement

si jx est > 2, cela exige, comme nous l'avons vu, qu'on ait

2 cos — I 9

a^ — 2 fl cos h I

2 étant un nombre entier premier avec /:x, et, dans le cas

de /x= 2, on a

Or, puisque a, b, a!, V sont des nombres entiers,

2 cos — doit être un nombre entier, ce qui ne peut arriver

que si /u est égal à 3, le cas de fx== 2 étant réservé. On voit par là que la propriété que nous étudions ne peut se rencontrer que chez les équations irréductibles dont le degré a la forme 2/1 ou la forme 3/i. Nous examinerons successivement ces deux classes d'équations. Si l'on suppose fi := 2, on a

a zizx ax ^

a X — a et

a désigne un nombre entier quelconque, et a' un diviseur de a-ihi. Si Ton prend pour F(^r) un polynôme irréductible quelconque de degré /i, et qu'on élimine j^ entre les deux équations

on aura la forme générale des équations de degré 2 n jouissant de celte propriété, que les in racines se partageront en n groupes tels que, dans chaque groupe de deux racines réelles, les fractions continues qui représentent ces racines seront terminées par les mêmes quotients.

Celte proposition peut être énoncée d'une autre manière :

Soient a un nombre entier ijuelconque, al un diuiseur f/uelcontfuc de a^-h i, J une (/uantité réelle tjuelconque conunensurable ou incommensurable ; les deux racines

SECTION V. — chapithe m. 549

de V équation

se déi^elopperont en des fractions continues terminées par les mêmes quotients, ce qui s'accorde avec le résultat obtenu au n^ 26.

Supposons maintenantju=;3; on aura, en faisant î= i (le cas de X = I est identique à celui de X= 2, on passe de l'un à l'autre en changeant les signes de a et de a'),

rt* -f- fl -!- I ax — —

Ox =

(/l-J- ijj:

a est un nombre entier quelconque, et a' un diviseur de à^-\-a-\-i. Quelle que soit rirralionncUe x, les fractions continues dans lesquelles se développent

X, Ox, O^x

se termineront par les mêmes quotients. Si donc F{y) désigne un polynôme irréductible quelconque de degré n, et qu'on élimine^ entre les équations