IH

^1= -rh— =!■+-

Des deux quantités af et x', Tune est comprise entre o et if l'autre entre i et 2; on aura donc des résultats de

552 COURS d'algebue supériegre.

cette forme

s:\ = l -r : jTj = l-f-

L*équatIon que nous considérons résulte de réliinination de j' entre

Des équations dont toutes les racines sont exprimables rationnellement par l'une d'entre elles,

541 . Nous avons étudié précédcJhiment un cas étendu des équations dont les racines sont toutes exprimables rationnellement par Tune d'entre elles; savoir le cas où, l'équation proposée étant du degré //, les racines peuvent être représentées par

alors ces racines sont exprimables par des radicaux.

Il existe un autre cas de résolubilité ; Âbel a effectivement démontré le théorème suivant :

Théoîième. — Soit ^(x) = o une équation algébrique quelconque, dont toutes les racines peuvent être exprimées rationnellement par l'une d'entre elles que nous désignerons par x. Soient Oxet Q^x deux autres racines quelconques; V équation proposée sera résoluble algt-^

SECTION V. — CHAPITRE lïl. 553

briquement si l'on a

Eji efTety si l'équation proposée

n'est pas irréductible, soit

Téquation irréductible de degré fx dont dépend la racine Xy le polynôme f{x) sera un diviseur rationnel de x(.r).

Soit Bx une racine de l'équation (2), autre que x\ les racines de cette équation pourront être représentées par

X, Bx, Q'x, . . ., B^-^x,

on aura

et, si l'on représente par

l'équation qui a pour racines

les coefficients A^*^, A^^^ . . . , A^"^ sont, comme on l'a vu, exprimables rationnellement en fonction d'une quantités^ qui dépend d'une équation de degré m,

dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quantités connues.

CSette équation (4) est irréductible, car si le contraire

554 coulis d'algèbre supArieurb.

avait lieu,^ serait racine d^une équation irréductible

(5) fCr) = o,

d'un degré ni inférieur à m, et l'élimination de jr entre les équations (3) et (5) conduirait à une équation

de degré wln<^^\ ce qui est impossible, car Téqufttion (2) du degré fx est, par hypothèse, irréductible.

Cela posé, la résolution de l'équation (a) est ramenée à celle des équations ( 3) et (4) ; nous savons que l'éqcation (3) est résoluble, et nous allons démontrer que Téquition (4) possède la même propriété que l'équation (a).

La quantité y est une fonction rationnelle et symétrique quelconque des racines x, 6x, . . ., 0'*""*x, et si Ton désigne par

y-* ^1» ^1» • • '» ym—\

les m racines de l'équation (4), on pourra poser

y^ =.^(x„Oj:„ 0'.r, O^-ïx,),

ef désignant une fonction symétrique et rationnelle. D'ailleurs jr<, X2, ...» Xm^K sont, par hypothèse, des fonctions rationnelles de la racine x\ si donc on fait

on aura, pour les valeurs i, a, . . . , m — i de l'indice i.

Enfin, d'après l'énoncé du théorème, les fonctions (/ et S/ sont telles, que Ton a

SECTION V. CHAPITHE III. 555

il en résulte

et, en conséquence, on peut écrire,

ce qui montre que^,- est une fonction rationnelle et symétrique des racines

jT, Ox, e*x, .. ., 0"-^x,

On peut conclure de là (n° 531 ) que yi , j>'2, . . . , J^m-i sont exprimables en fonction rationnelle de j^

Soient maintenant "ky et X|j^ deux racines quelconques de l'équation (4) autres que^, on pourra poser

(6) >7-rrF(5,.r),

et il en résultera

>,F(.r)^F(Ôy.r).

Or, X étant racine d'une équation irréductible, les équations précédentes subsisteront si l'on remplace x par djX dans la première, et par 6iX dans la seconde; on aura

donc

\F(Ojx) = FiO,ejx),

\F(0,x) = F{ÔjOix),

d'où

'kF(Ojx)=\F(0,x),

puisque OiOjx = djOiX, Les équations (6) permettent de donner à la formule précédente la forme

d'où il suit que l'équation (4) a bien la même propriété que l'équation (i).

556 COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEl^RR.

On pourra donc, en continuant d'appliquer le même procédé, ramener la résolution de Téquation proposée à celle de plusieurs équations qui seront toutes résolubles algébriquement, et dont les degrés auront pour produit le degré fjt de Téquation (a).

Corollaire. — Si Véquaiionf{x) = oa la propriété contenue dans l'énoncé du théorème précédent y et que, son degré fx étant décomposé en /acteurs premiers^ on ait

la résolution de J\x) = o peut être ramenée à celk de Pi équations du degré Et y de p^ équations du degré £2j ' ' ' y de p^ équations du degré e^, et toutes ces équor tions, dont les coefficients sont rationnels, sont résolubles algébriq uement.

Résolution algébrique des équations binômes.