L'équation binôme
(i) s'«-Ai-o
se réduit à
si roii pose zrrrr.rT'jV, ct iious avons VU daus le Chapitre \ de la Section I que la recherche des racines de Téquation ( 7. ), clans le cas où /// est un nombre composé, se ramène à la résolution d'équations binômes de degré* premiers.
Supposons donc que Tcxposantm soit un nombre premier; Téquation (2) admet la racine i, cl, en supprimant cette racine, on obtient Téquation
qui est irréductible , ainsi que nous Tavons établi au n^ HO.
L'équation (3) appartient à la classe des équations que nous avons nommées abéliennes, et ses racines peuvent, en conséquence, s'exprimer par des fonctions algébriques dans lesquelles les radicaux ont pour indices les fadeurs premiers de m — i. Effectivement, ei r est une racine de l'équation (3), cette équation aura pour racines
on a d'ailleurs
et, si l'on désigne par a une racine primitive pour le nombre premier m, les puissances
seront respectivement congrues, suivant le module m, et abstraction faite de Tordre, aux nombres
donc les racines de l'équation (3) peuvent être représentées par
en sorte que chacune d'elles s'obtient en élevant la précédente à la puissance a; et la même chose a lieu encore, à cause de
81 Ton range en cercle ces m racines et que l'on considère successivement chacune d'elles comme étant la première. D'après cela, si x désigne l'une quelconque des racines (4)> et que l'on fasse
558 covRS d'algèbre supérieure.
les m — I racines dont il s'agit seront représentées pir
et Ton aura
C'est sur cette propriété que Gauss a fondé sa méthode pour la résolution de Téquation (3^, méthode qo'Abeli généralisée ensuite comme nous Tavons expliqué.
On peut appliquer à Téquation (2) la méthode da n^ 532, et Ton a ainsi l'expression des racines, savoir:
dans laquelle u^, V27 • • •» ^/it.2 ^^ contiennent d*autrc3 irrationnelles que les racines de l'équation
Mais, comme m — i est un nombre composé, on obtiendra une solution plus simple en faisant usage des méthodes exposées aux n°* 535 et 537.
EnGn, comme l'équation ( 3 ) appartient à la classe des équations réciproques, on peut commencer par lui appliquer la méthode d'abaissement qui se rapporte à ces
équations; on obtient alors une équation du degré -^^—
dont toutes les racines sont réelles et qui consor\e le caractère d'équation abélicnne : c'est ce que nous allons développer présentement.
Résolution afgéhrù/ue des équations dont dépend là division de la circonférence du cercle en un nombre premier de parties égales.
543. Le problème de la division du cercle en un nombre m quelconque de parties égales se ramène i 1>
SECTlOIî V, CHAPITRE III. SSg
résolution de Téquation binôme
(i) Z"' — I = Oî
car, si Ton fait
in
on obtiendra les m racines de l'équation précédente, en donnant à A: les m valeurs
o, I, 1, 3, . . ., [m — i) dans la formule
z = cos/yz h- y/— I sin^a;
on connaîtra donc cosAa et sinAa lorsque l'équation binôme (i) sera résolue algébriquement.
Si m est un nombre impair afx-Hi, il vient, en divisant Téquation ( i ) par z — i , et en posant ensuite
C'est de cette équation (a) que dépend directement la division du cercle en 2|cx+ 1 parties égales. Ses fx racines sont représentées par la formule
a: = 1 cos — = 1 COSAa.
dans laquelle on doit donner à A' les [x valeurs
ou des valeurs qui ne diffèrent de celles-là que par des multiples de 2fx h- i.
56o couns d'algebue supéribure.
Nous venons de rappeler que, sî m ou 2fx -H i est un nombre composé, la résolution de Téquation (i) se ramène à la résolution d^autres équations de la même forme, et qui ont pour degrés respectifs les nombres premier ou les puissances de nombres premiers qui divisent m. Dès lors, la même chose peut se dire de Téquation (al, et Ton peut se borner à considérer le cas où /w = aa -f- 1 est un nombre premier ou une puissance d'un nombre premier. Lorsque m est premier, la division de la circonférence en m parties égales exige seulement la résolution de plusieurs équations qui ont respectivement pour degrés les facteurs premiers égaux ou inégaux dans lesquels se décompose le nombre m — i. Mais, lorsque m est une puissance p' d'un nombre premier )[?, la division de la circonférence en m parties égales exige d'abord la division en p parties égales, et, en outre, la résolution de i — i équations de degré y:?. Chacune de ces i — i équations de degré p est résoluble algébriquement; cela résulte soil de la formule de Moivre, soit des considérations développées dans la Section I.
11 faut d'ailleurs remarquer que, quel que soit a, l'équation (2) appartient à la classe des équations dont nous nous sommes occupés au n° 541 . Car si Ton fait
on a évidemment
00 1 j' =. OiOx -^ '2 C0S//V7.
5 il. Supposons a/Jt -h 1 premier, et soit n une racine primitive pour ce nombre premier; je dis que les a racines de Téquation (2) seront
(3) 1 cosa, icosna, icosn^a, ..., a cos/j'*"*^.
II est évident que chacune de ces /x quantités satisfait à
l'équation (2); il sufHt donc de démontrer qu'elles sont toutes distinctes. Supposons, s^il est possible, que deux de ces quantités soient égales, et que Ton ait
p et y étant <[ (j. ; on aura
X désiî^nant un nombre entier. Mais a = 9 donc
° •îft-f- 1
n'T hif-^ dt i) 2ft -+- 1
est un nombre entier; d'ailleurs afx -+- i est un nombre premier, et n est inférieur à afx-f-i; il s'ensuit que afx-h I divise l'un des deux nombres w/*"^ -h I ou /i/'~^ — i; par conséquent il divise le produit
de ces deux nombres ; or cela est impossible, car 2/? — 2(j est <^2fx, et n désigne une racine primitive de 2/:/ -H i. Donc les quantités (3) sont bien toutes les racines de l'équation (2).
Si maintenant on fait
jcz=i ces a, Ox=z'2, cos naj on aura
i9*x = 2 cos/i'flr, 0^xz=z icosn^a, .,., Oî*~*.r = 2 cos /î»*"* a, et les racines de l'équation (2) seront représentées par
on a, en outre, 0**x = jc;car, ti étant une racine primitive
de !2i^4-i, on a n^^^ — i (mod. 2a-f-i); enfin 6x est
une fonction rationnelle de jc, car cos na est exprimable
S. — jilg. sup», II. 36
56a COURS d'algèbre supérieure.
rationnellement en fonction de cosa. On voit donc que Téquation (a) est comprise dans la classe des équations abéliennes, et Ton pourra la résoudre par les méthodes que nous avons exposées.
Ici la fonction rationnelle 6x a pour valeur (n*^ 109)
ôj? = .r'» — nx'^—*-] — jt"— * —
En appliquant à Téquation (a) les théorèmes des n^S34 et 535, on obtient les énoncés suivants :
1° Si [1= m^m2 ' ' » m^j on peut diviser la circonférence entière du cercle ennfx-^i parties égales à l'aide de (ù équations des degrés m^ym^j . . . , w^ respectivement . Si les nombres mi , /n^, . . . , w^ sont premiers entre eux, les co(\fficients de ces équations seront des nombres rationnels.
2° Si |!x=: 2", on pourra dix^iser la circonférence du cercle en a/jt-f- i parties égales, à l'aide de ta racines carrées. En d^ autres termes, si a/x -i- i est un nombre premier, et iâ= a", on pourra di\^iscr la circonférence du cercle en 2(x -f- i parties égales, av^cc la rrgle et le compas.
3° Pour div^iser la circonférence du cercle en q a -^ i parties égales, il suffit de dix^isrr la circonférence entière en lyL parties égales, de diviser un arc, qu'an peut construire ensuite en 2[jl parties égales, et d^ extraire la racine carrée d'une seule quantité.
545. Le dernier théorème est dû à Gauss. Cet ilhistre géomètre a prouvé, en outre, que la quantité dont il faui extraire la racine carrée est simplement le nombre entier 2|jL -t- 1 . Voici comment Abel le démontre.
Cette quantité, que nous désignerons par p, esl^n** 53^
la valeur numérique du produit
OÙ
oc = ces h V — ï sin — •
On a donc
rt: /) ^= 4 {cosa -+- a cosna H- a' cos /i' <»-+-... -+- a!*— ^ ces /!•*"* a)
X (cosa -h a»*~* cos/ia -f- a»*~'cos/i'a -4-...-+- acos/i»*~*«) .
En développant ce produit, on obtient un résultat de la forme
d= p = ^0 -h ^joc -h ^ja* -h . . • -4- r^,a»^*,
et l'on trouve facilement = 4(cosaco8/i"* a-4-cos/i« cos /!'"'♦■* «-f-...-+-cos/i'*~"*~'" a cos/i**~*rt)
Au moyen de la formule xxsnPa rx>sn"''*-'*a = - cos(/2'"-^''a ■+• n^a] -\ coS[n"''*-Pa — m'a].
on donnera à tm la forme
[cos (/!"' — 1 )ff -4-C()S (//'" — I ) //<7-;-COS (/!'" — I ) «*rt -H . . 1 -+-COS (//'"— I )//!*-»« J'
ou, en faisant {n^ -^ i)a = a\ (/z"' — i)a = a'',
/,^ = 1 casa' -h Oi cosff' -f- 0' 2 cosa' -h ... -h 0^-^ 1 cosa'
H- 2 cosa*' -i- 0 2 cos«" -f- O-icosa" -+-... 4- Os*-* 2 cos u\
564 COURS d'algèbbe supérieure.
Cela posé, supposons d^abord que m ne soit pas nul,
acoso' et 2Cosa'' sont des racines de Téquation (2);
donc
2 cos«' =. Q^x et 2 cosû*' = ô'.r,
et l'on a, en conséquence,
t,n = [O^^r -4- O^-^-^x -4- ... H- O'^-^x-h Jr -f- ôx -h . . . -+- C*-«x)
OU
f^ = 2 (x -h ô.r H- 0»jr -4- . . . H- B'^^Jr);
d'où il résulte que tm est double de la somme des racines de Téqualion (2), laquelle est égale à — 1; on a donc
^m = — ^• Supposons maintenant /n = o, on aura tQ = i[cosia -+- cosina -4- cosin^a +...4-cos2/ï'*^*rt^ -4- ib.
Or 2C0S2acst racine de l'équation (2); donc, en faisant
2 cos2rt = B^x^ on aura
et, par conséquent,
D'après cela, la valeur de =^ p sera
D'ailleurs
donc
Ce qu'il fallait démontrer.
Divnsion de la circonférence en dix-sept parties égales.
546. Si Ton fait 2]ul-|-i = i7 ou fji = 8, Téquation (2) du numéro précédent devient
( I ) .r' -*- x' — 7 J-* — G.r* -f- 1 5.r* — - lox'— lox* — ^.r-^-lzizO^
et ses racines, comprises dans la formule
j-= a cos 9
peuvent être représentées par
(1) JT, Ox, 6*j:, ô'jr, ô*jr, 0*j:, Ô^o:, O'ar.
La plus petite racine primitive de 17 est 3 (n** 310), et les résidus par rapport à 17 des puissances
^0 ril OJ 08 O* 05 06 ^7
sont
si donc on pose, pour abréger,
les quantités (2) seront
2 cos^, 2Cos3^7, 2cos9<2, acosioa, icosi^a, 2cos5a, !2cosi5a, acosiia;
ou, à cause de cos(i7 — m) a = cosma,
acosrtr, 2C()s3rt, 2cos8a, 20057^, 20054^9 2 cos 5 a, 2 cos 2 a, 2cosGa.
Pour appliquer la méthode générale, il faut commencer
566 COURS d'algèbre supéribure.
par calculer une fonction rationnelle et symétrique j des quantités
2 ces a, 2cos8a, acos4^> acosaa.
Posons donc
j = 2 cosa H- 2 cos8a -+- 2 cos4a -4" 2 cosaa;
y dépendra d^une équation du deuxième degré, dont les deux racines seront
(3) J=2COSrt H- 2 C0S8/Z + 2 COs4^ + 2 00820,
(4) ^1 = 2 COs3rt -f- 2 COS7O -4- 2COs5rt -+- 2COs6a.
Cette équation s^obtient bien facilement; car on a d'abord, par Téquation (i),
ensuite, en multipliantj^par j^i, transformant les produits de cosinus en sommes à Taide des formules connues, et ayant égard à Téquation identique
cos( 17 — m]a'=i co&ma^ on trouve
yjr^ = 4 (^ cosrt -f- 2 cos 2 rt -f- 2 cos 3rt -h 2 cos4o
-+-2COs5^-f-2COs6«-|-2COS70 -h 2COs8fl),
et, à cause de l'équation (i),
L'équation en^ sera donc
et Ton peut considérer comme connues ses deux racines jetri.
Maintenant les quantités
2cosa, 2cos8^, 2cos4^f 2cosaa,
SECTION V. CHAPITHE III. SÔj
sont les racines d'une équation du quiitrièrae degré dont les coeflicients sont des fonctions rationnelles de y^ et sur laquelle nous allons raisonner comme nous l'avons fait sur la proposée. Il faut, conformément à la méthode générale y chercher d'abord une fonction rationnelle et symétrique z des quantités
2 cosA, 2 cos4a*
Posons donc
z = 2 cosa 4- 2 0054^1
l'équation en z sera du deuxième degré , et elle aura pour racines
(8) « = acosa -f- 2cos4«,
(9] S| = 2Cos8a -f- 2COS2a.
On a d'abord
et, en multipliant z par Zj , on trouve, après avoir remplacé les produits de cosinus par des sommes,
zzx = (2 cosa -f- 2 cos2a -h 2 ces 3a -+- 2 cos4a
-h 2 cos5a -+- 2 cos6a -+- 2 cot7 a -f- 2 cos8a),
ou, puisque la somme des racines de l'équation (i) est — I ,
(11) ZZlZ=— l;
l'équation en z sera donc
(la) z* — X* — 1 = 0.
Enfin il ne reste plus qu'à former l'équation du deuxième degré dont les racines sont
2 cosa, 2cos4a,
et dont les coeflicients peuvent s'exprimer en fonction
rationnelle de^ et.de z. Mais on peut simplifier ici Pap-
plication de la méthode générale.
Considérons Téquation du quatrième degré , dont les
racines
2cos3a, 2 ces 7 a, a ces 5a, acos6a
ont pour somme j^o ^^ opérons comme nous l'avons fait à regard de Téquation qui a pour racines les quantités dont la somme est j. On formera une équation do deuxième degré ayant pour racines
(13) tt =r 5tCOs3a H- 2COs5a,
(14) l/|=: 2COS7a -+- 2COs6rt,
et, en opérant comme précédemment, on trouvera
(15) tt-4-tt, =^1,
cette équation en u sera donc
(17) tt* — Jii^ — Iz^O,
en sorte que les quantités li et U| sont connues, ainsi que z et Z|.
Cela posé y faisons
(18) X z= 1 cosrtr,
(19) rj ^= !XCOs4«>
on aura d'abord
et ensuite
ax^ =: 4 cosa cos^a = 2 cos3a -f- a cos5a ou
(21) Jrjr^ = u ;
X et x^ seront donc racines de Téquation
SECTION V. — châpithe m. 569
La résolution de l'équation [1] est ainsi ramenée à celle des équations du deuxième degré (7), {la), (17) et (2a); le problème est donc résolu. Nous allons chercher maintenant à déduire de l'analyse précédente une construction géométrique, pour effectuer la division de la circonférence en dix-sept parties égales.
Construction géométrique.
S47. Quand on se propose, dans la Géométrie élémentaire, d'inscrire dans un cercle les polygones réguliers de trois et de cinq côtés, on commence par inscrire ceux de six et dix cAtés. De même, nous commencerons ici par inscrire le polygone régulier de trente-quatre côtés, celui de dix-sept côtés s'en déduira immédiatement.
Soit une demi-circonférence partagée en dix-sept parlies égales aux points
a, b, c. d, e, /, g, h, i, J, t, l, m, n, o, p, q, r; la corde ah sera le côté du polygone régulier inscrit de
trente-quatre côtés, et les cordes aâ, af, ah, aj, al, an, ap, diagonales de ce polygone, seront les côtés des poly-
570 COURS D^ ALGÈBRE SUPélilCTJllB.
gones réguliers étoiles de trente-quatre c6tés que Ton peut inscrire dans la circonférence.
En prenant le rayon pour unité et en faisant, comnie précédemment,
on aura
a^ =r 2 sin -^ = -4- 2 cos4^
or/ = 2 sin -^7 = — 2 cosSa^
/• . Stt
a/=. 2Sm -r-T =:-4- 2COS3<7,
a/i = 2sin -ir? = — 2 cos6a,
. Oit
ay = 2 sm ^ = -4- 2 cos2a,
alz= 2sm-5-7- = — 2 €0570, C$4
a/i = 2 sm -r-^ = -f- 2 cosa,
â/? = 9. sm -^jT" = — 2 cosoa.
Conservons toutes les notations du numéro précédent: les équations (3) et (4) nous donnent
jr z=an — ap-^ nb -\- aj, jr^ = a/ — al — ad — ah.
On voit que^''i est négatif, car afcsK^al; par suite, ^ est positif, puisque ^j'« = — i . Faisant donc > i = —y» les équations (5) et (6) deviennent
SECTION V. CHAPITRE III. Sjl
les équations (8) et (9) nous donnent
zz= an -\- ah, z^=i — op-\- aj ;
z% est négatif, car ap est ^ ajy et z est positif. Les équations (10) et (11) deviennent, en faisant z^ = — s',
Pareillement, les équations (i3) et (i4) donnent
ut= af— ad^ «1 = — al — ah\
If I est donc négatif, et u positif. Faisant U\ = — i/, on aura, par les équations (i 5) et (16),
