Soit y? un nombre premier autre que 2, et posons
X = " = .r/'-» H- JcP-^ ^- ... 4. a: -f- I. .r — I
Sy4 COURS d'algebbe supérieurb.
Désignons par a une racine primitive pour le nombre premier /?, et par r une racine de Téquation
les racines de l'équation (i) seront
et l'on aura
a'^-^E^i (mod.p) et f^'"'* = r. Si Ton fait
Ji = r«' -f- r«* -4- /-«• 4- . . . -4- r^*^', 7,= r« -h r«*-4- /"' -h . . . -h T^'*'*,
les quantités ^1 et j-, (n° 536) seront les racines d'une équation du deuxième degré à coedicients commensurables, et l'équation (i) se décomposera en deux autres,
chacune du degré ? et dont les coefficients seront
des fractions rationnelles de^i et de^j. Nous nous proposons ici d'étudier les détails de la décomposition dont il s'agit.
Occupons-nous, en premier lieu, déformer l'équation enj) , qui a pour racines^r« et ^a. On a d'abord
car ^ , -^Jt exprime la somme de toutes les racines de Tcquation (i). Ensuite, comme les fonctions symétriques dej) « el de j 2 ne changent pas, quand on change r en r*, ou en /''', ou etc., on a
y] -r y]- -.;— — >.(^^'-+-^"Vx«*-+-. ..-^.r^'/,
le signe \ s'étendaiil à toutes les racines x de l'équation (1).
SECTIOir V. CHAPITRE III. Sj^
Or on a
le signe > s'étendant ici à toutes les valeurs i, a, 3,...,
^ des entiers met n; si donc on désigne par S (u) la
somme des puissances |ui**"«» des racines de l'équation (i), on aura
le signe \ s'étend à toutes les valeurs i, 2, 3 ,..., -
des entiers m et /i, et il embrasse, en conséquence,
(-^ j termes. Comme a est une racine primitive dep,
on a
rt' -f i£Hso (mod./?), et il ne saurait y avoir aucune puissance de a d'un degré
inférieur à congrue à — i suivant le module p.
D'après cela, si p est de la forme 4* H- ' > la somme
ne sera divisible par p que pour les ai = ^ systèmes
suivants de valeurs simultanées de m et /t : /w = i, 2, 3, ...,/,/■-+ I, /-+- a, ..., a/,
si p est de la forme ^i 4-3, aucune des valeurs que prend la somme
n*est divisible par p.
La somme S (fjt) est égale k p — i ou à — i (n® 106 suivant que (i est divisible ou non divisible par/;; donc, si /7 a la forme 4* H- i > la quantité
V S(û»'"-Hû*'»)
sera égale à
vi-'-[m-('-?)]^
si, au contraire, p a la forme 4^ -h 3, la même quantité sera égale à
On a ainsi
Des équations (2) et (3), on tire
(4) 7iJ2=
D'après cela, Téqualion qui a pour racines j, cl jj est
ou
519. Considérons niaiiilenant récpiatlon qui a pour racines les — racines de Téqualion ^^i) dont 7, dé-
signe la somme. Soit
cette équation. Les coefficients A^, As, . . . peuvent s^exprimer par des fonctions rationnelles dej^^, et Ton peut supposer ces fonctions linéaires (n^ 182), puisque j^i est racine d'une équation du deuxième degré. Ainsi le coefficient A^ aura la forme
nik et /za étant des nombres rationnels, et il est facile de prouver que ces nombres sont entiers. En effet , Aa est,
au signe près, la somme des produits h kh des — racines r^ y /•***, ... ; chacun de ces produits est une puissance de r, et, par suite, il se réduit à Tunité ou à Tune des racines de Téquation (i). On a donc
ffo,ai, ... étant des nombres entiers. Cette valeur de A^ ne changera pas si Ton change r en r^* et, par suite, on aura
Je dis que les coefficients des mêmes puissances de r sont égaux dans ces deux valeurs de A^. Supposons, en effet, que cela n'ait pas lieu; si Ton égale les deux valeurs de Aa et qu'on rabaisse les exposants de A* au-dessous de /;, en faisant usage de l'équation /•' = i, on aura une équation du degré p — i en r qui sera évidemment satisfaite par r = I ; on pourra enlever cette racine i , et alors on voit que r sera une racine d'une équation du degré /; — 2 S. — jélg. sup,, II. 37
Sy8 COURS d'algèbre supérieure.
à coefficients commensurables, ce qui est impossible, puisque l'équation (i) est irréductible. On a donc
a, = a4 rr. «g rrr . . . :=r a^^j,
cty par suite,
Ak= «0+ «1^1-1- «iJf
Enfin, si Ton élimine ^2 à Taide de Téquation (2}» la valeur de A^ prendra la forme
^k= f^k-^ ^kXiJ
oh nik et rik désignent des nombres entiers positifs on négatifs.
Le produit des racines de Téquation (6), savoir
r«*+rt^+. . .+«'' est égal à i , en exceptant le cas de y7=3; car, a étant une racine primitive de y?, Texposant
a*+a*-f-. . .'\-aP^^ = — ^—^ ' est divisible par/?;
on a donc
Pul
Comparons les coefficients Aa et Aa/ de deux termes également distants des extrêmes, dans X| ; on a la relation /r -h A' = entre les indices Â' et K\ La quantité
( — I Y Aa est une somme de puissances de r, et la somme des inverses des mêmes puissances est égale à ( — ij^'A*/; car le produit de toutes les racines de Téquation (6) est égal à I. Cela posé, si /> =^ 4' "+~ i > les suites
restent les mêmes quand on change r en -; donc on a,
SECTION V. CHAPITRE III. 5yQ
dans ce cas,
A^ -. A* ~ /w^ H- nj^Xi .
Si y? := 4' -r- 3, les suites
se changent Tune en l'autre quand on change r en -;
d'ailleurs keiV sont de parités différentes ; donc Téquation
kfc --. m,, -f- rikXx
entraîne ^ — A^ = /w^ -r- n^Xt - m^ — /î^(n- ^i;,
et Ton a, dans ce cas,
Aa/ - [nf, — mf,] -^ nj^xu
Il résulte de là que le polynôme X4 peut se mettre sous la forme suivante :
P et Q étant des polynômes à coefficients entiers qui ont
respectivement pour degrés — et — — • En outre,
Q est un polynôme divisible par x dans lequel les termes également distants des extrêmes sont égaux et de même signe; le polynôme P jouit de celte dernière propriété dans le cas de p -- 4' -'- i seulement, et, par suite, il en est de même de la fonction 2P — Q. Dans le cas de;>— -4t-;-3, la fonction aP — Q a cette propriété, que les coefficients des termes également distants des extrêmes sont égaux et
de signes contraire.s. En effet, les coefficients de a: * et de X* dans la fonction 2P — Q sont alors
2 /«A — /î^ et /Il — 2/71^*
58o COURS d'algèbre supêriburv.
Pour obtenir les valeurs des coefUcients A,, At, •»•!
de X| f soit X Tun des nombres
I, a, 3, . . ., [p — i), et h un exposant entier, tel que
û'* £=!> (mod. p);
désignons enfin par Sx la somme des puissances X'^*** des racines de l'équation X| = o, on aura
d'où il suit que S^ sera égal à jr^ si h est pair, c'est-à-dire si X est résidu quadratique de p. Au contraire, S^ sera égal à j 2 oii à — 1 — ji si h est impair, c*est-à-dire si l est non-résidu quadratique de p. Connaissant ainsi les sommes de puissances semblables des racines de l'équation (6), on calculera les coefficients A„ A3, ..., au moyen des formules
Sj— rt = o,
S,-- J,S, -4- 2A,rr:o,
S3-- jiSj-:- 2 A, s, H- 3A3 — o,
On pourra exprimer ainsi Aa par une fonction entière de î« et Ton rendra ensuite cette fonction linéaire au moyen de l'équation (5).
550. L'analyse que nous venons de développer conduit à un théorème important que nous devons mentionner. Reprenons l'équation
X, = p -t- Q.v„ que nous avons trouvée plus haut ; en changeant^-, en/j,
on aura
on a d'ailleurs X = X| X^, donc
-HPQ{/i + Ji)
+ QVi j«.
ou.
cause de
rl-^-r^:
4X = (2P-Q)«-(-ip /7Q>.
Et| d'après les remarques faites précédemment, on peut énoncer ce théorème :
Théorème. — p étant un nombre premier autre que 2, et X désignant le polynôme
xP-i H- xP-^ -h ... -4- ;r -4- I, on aura
^X:=Y^-pZ* si ;7r:r4/-î-I,
et
4X:-^Y»-:-/)Z* si ;>r=4i-:-3.
Z e5^, dans les deux cas y un polynôme du degré ~ —
à coefficients entiers dans lequel les termes également distants des extrêmes ont le même coefficient; Y est un
polynôme du degré- à coefficients entiers dont les
termes également distants des extrêmes ont des coefficients égaux et de même signe, ou égaux et de signes contraires, suivant que p = 4i -h ^ ou 4i -r- i» .
Le nombre 3 échappe à notre analyse, ainsi que nous en avons fait plus haut la remarque. L'équation
4(.r»--a:-hl) = Y»-4-3Z»
58a couns d'algèbeb sdpémedbe.
admet toutefois les trois solutions
mais les polynômes Y et Z, relatifs à l'une quelconque de CCS trois solutions, ne satisfont pas à toutes lesconditioDs indiquées dans Ténoncé du théorème.
Enfin le résultat que nous venons de trouver relalive-
ment à la fonction peut s'étendre à la fonction
j-P yP
plus générale 5 qu'on déduit de la première en
cha.ageant x en -> et en multipliant ensuite parj^"*.
On peut évidemment, d'après cela, énoncer le théorème suivant ;
Le nombre p étant premier, on peut satisfaire à t équation
Cnî xP — yP
en prenant pour Y etX des fonctions entières de x ety»
Sur quelques propriétés de la fonction résol^anto
j-P .^ I qui se rapporte à l* équation ^=1 o.
551. Soit, comme précédemment, x une quelconque des racines de l'équation = o, et a une racine primitive pour le nombre premier/?. En désignant par a une racine quelconque de l'équation ■— o, nous po-
serons
et nous allons en premier lieu démontrer que Ton a
On a
et, par conséquent.
Pour évaluer cette somme double, je mettrai en évidence les coefïicients des diverses puissances de a, et j'introduirai à cet effet le nombre entier
Alors le coefficient de ol' sera
or'
le signe \ s'étcndant aux p — i valeurs de k
Or on peut écrire
a^+i -4- a* =: a*' ( û' -H 1 ) ; si donc on n'a pas
rt'-t-i=:2 0 (mod. />),
c'est-à-dire
l'expression a* (n'-f-i) donnera, pour les diverses valeurs de /. et abstraction faite des multiples de py la série des nombres
Ainsi le coefficient de «' sera
X -f- JT* -f- . . . -!- jpp^^ ou bien — i , et cette conclusion aura lieu pour toutes les valeurs
de /, en exceptantle seul cas /=-^^ • La somme double
que nous avons à évaluer sera donc composée du produit
de — I par la somme des diverses puissances de a, sauf
la puissance a * , et, en outre, du groupe de termes co^
respondant à la valeur l-=— — • Lorsque l=— >
l'exposant de x est congru à zéro pour toutes les valeurs de A"; par conséquent, le groupe que nous considérons
sera composé de [p — i) fois la racine a * . Réunissant ces deux parties de la somme double, on trouve pour résultat
ce qui démontre le théorème énoncé.
552. Nous allons maintenant établir une seconde proposition qui consiste en ce que, si T/iet/i sont deux nombres entiers quelconques, mais non liés par la relation
mr^ — n (mod. /?),
le produit F(a'»)F(a'») est égal à la fonction F («'»+''), multipliée par un polynôme en a, dont les coefïicients sont des nombres entiers. Ainsi, en désignant par ^ (a) ce polynâme, on aura Tégalité
En efiety on a
F (a'") = Va'"^ar«\ F (a") ^Va-^or**,
donc
et c'est la somme double du second membre qu^il s'agit d'évaluer sous la forme annoncée. Pour cela nous allons mettre en évidence, non plus les coefficients des diverses puissances de a, comme précédemment, mais les coeffi> cients des puissances de x. Ces puissances formant la série o, I, 2y. . .y p — I, occupons-nous d'abord du premier terme qui proviendra de toutes les valeurs de i et k,
telles qu'on ait
a'-}-a^==o [mod, p),
c'est-à-dire
Sous cette condition^ la somme
s^évanouit, car n'ayant pas m-hn^o (mod. ;:;), l'expression {m-^n) k produit la série des entiers inférieurs kp^ comme on le sait.
Maintenant, pour mettre en évidence le coefficient
d^une puissance quelconque de Xy dont rexposant serait E=ia', posons
«'-f-a*^<i' (mod.p};
ce coefïîcienl sera
^mi-^nk
les entiers i et k devant prendre toutes les valeurs qui peuvent vérifier la précédente condition. Si Ton fait
la condition dont il s'agit devient indépendante de /, et elle se réduit à
a»* -f- a* -iz: I ' mod. p ] .
Nous pouvons concevoir que, pour une valeur donnée du nombre premier p, on ait formé d'avance le système des nombres fji et v, liés par cette relation ; cela fait, on trouvera
.min-n»
Donc, si Ton pose
le coefficient de x^ sera
et la somme double sera bien, comme nous l'avons annoncé,
.;i(a)ya('" -»-'')' x^'=';(a^F(a
