Ces polynômes, ou plutôt ces nombres complexes

SECTION V. — CHÀPITHE III. 587

(f(a), dont la formation dépend essentiellement des entiers /ut et V, et ensuite des nombres m et n, conduisent à d'admirables théorèmes arithmétiques dont nous allons donner quelques exemples.

J'observe d'abord que la relation

donnera, en changeant les signes de m et /z.

Multipliant membre à membre, et ayant égard à la relation

on trouve immédiatement

Un cas particulier très-simple montrera tout l'intérêt qui s'attache à ce résultat. Soit

p^i ( mod. 4] i

on satisfera à l'équation

en prenant

Alors ^{o^)y somme de puissances entières de i, sera de la forme a -+- bi. a et b étant entiers ; d'ailleurs - = aura pour valeur — i , de sorte que

donc tout nombre premier == i (mod. 4) est de la forme Ce théorème, qui a été établi par une méthode si diffé-

5ga COURS D^ ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Donc on a, dans tous les cas, et, par suite,

Cela posé, si Ton fait

on aura (n**548)

d'où

Substituant cette valeur de P dans le premier membre de la formule (i), celui-ci se réduit à

IzA /Lui î-ii / Q

quantité qui est un nombre entier. Quant au second membre q — - — » il se réduira donc aussi à un nombre

SECTION V. CHAPITRE III. Sq3

entier E, et Ton aura

Il s'ensuit que le carré de \ A/** est une fonction symétrique et entière des racines de l'équation ' = o ;

par suite, ce carré a pour valeur un nombre entier, ce qui exige que E soit un multiple M^ de ^. Ainsi Ton a

M étant un nombre entier. Par conséquent,

P • (-•) * * -(1)=**^ = remarquant que

p * izr [ - j -f un multiple de q,

et supprimant de part et d'autre les multiples de q<, il vient

cette formule ( 2 ) exprime précisément le théorème de Legendre.

S«— jiig, sup,p II. 38

594 COURS d'algèbrk supitniEuaE.