CHAPITRE IV
SUR LNE CLASSE D'ÉQUATIONS DU NEUVIÈME DEGRÉ RKSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT.
Du déterminant d^une fonction entière et homogène
de trois variables.
S56. Otto Hcsse a publié dans le Journal de Crelh (t. XXVIII, p. 68, et t. XXXIV, p. 191) deux Mémoires remarquables sur la détermination des points d'inllcxion des courbes du troisième degré. Dans son second Mémoire, Féminent géomètre a démontré que:
Les points d'inflexion d'une courbe algébrique du degré n sont situés sur une seconde courbe du degré 3 (n — a )> et, par suite, que ;
Une courbe algébrique du degré n a généralement in{n — 2) points d'inflexion, réeh ou imaginaires.
Dans les cas particuliers, quelques-uns de ces points d'inflexion peuvent être situes a Tinfîni ou être remplacés par des points multiples.
Lorsque n -Zf on a ce théorème :
Les points d*inJlexion d'une courbe du troisième desré sont situés sur une seconde courbe du troiMème degré,
11 en résulte que la recherche des points d'inflexion d'une courbe du troisième degré dépend généralement de la résolution d'une équation du neuvième degré aune inconnue. Or il est très-remarquable que cette équation
SECTION V. CHAPITRE IV. 5q5
du neuvième degré soit toujours résoluble algébriquement, et qu'il suffise, pour effectuer cette résolution, de résoudre une seule équation du quatrième degré et trois équations du troisième degré. Cette proposition se déduit facilement, comme nous le ferons voir plus loin, du théorème de Hcsse énoncé plus haut, et d'un autre théorème démontré pour la première fois par Maclaurin dans son Essai sur les lignes du troisième degré, théorème qui consiste en ce que :
La droite qui joint deux points d'inflexion d^une courbe du troisième degré rencontre la courbe en un troisième point d'inflexion.
La démonstration que Hesse a donnée dans son second Mémoire, pour établir la résolubilité de Téquation du neuvième degré dont il s'agit, suppose également le théorème de Maclaurin. liesse fait voir qu'il existe certaines relations entre les racines, et il démontre généralement que toute équation du neuvième degré dont les racines ont cette même propriété est résoluble par radicaux. Cette analyse de Hesse est remarquable ; on en trouvera le développement à la fin de ce Chapitre.
SS7. Soit U une fonction quelconque entière et homogène du «'*"• degré de deux variables x et j^ ; U ;:i^ o sera une équation quelconque du degré n si l'on prend pour
inconnue -9 et cette équation aura trois racines égales
si l'on peut satisfaire en même temps aux trois équations
Ces équations de condition sont respectivement des degrés /i, /i — ly n — 2 ; mais on peut à leur place prendre trois équations du môme degré n — a. Elles peuvent ef-
Sg6 COURS D'ÀLGÈBlie SUPÉEICURE.
fectîvement s'écrire ainsi (*) ;
dV d
rf»U
 cause de la troisième équation, la deuxième se réduit à
- — - = o, et la première devient ensuite -t-t = o. Donc dxdjr * dx*
les équations de condition relatives à l'égalité de trois
racines de Téquation U = o sont les suivantes du degré
n — 2 chacune :
dx^ -''' dVd}-""' ■^~^'
On ferait voir de môme que généralement les équations de condition relatives àTégalité de m racines de Féquation U = o sont les suivantes, du degré n — m -f- i ;
(*) Cela résulte immédiatement du théorème connu dit tirs foneticns homogènes. Soit /; x, j, . . .) ^iie fonction homo;;ène du degré /i de plusieurs variables; en multipliante,^,... par i-Ha, il Tient, d'après U définition des fonctions homo{;ènos,
/(x -t- ax, r -+- aj^, . . .) ~ (i -h *)•*/( x,r ).
Développant les deux membres par rapport à a et égalant ensuite les coefficionts des mômes pui!>sances de a, il vient
,lf il/
(Le <ii
fPr ,/*/• ,r/
ir
•*' <zn ^ '••' ;zr,7r ■^■' ^ ^- ■^- •-=■">- '>^(-^- ■'-••• •'.
SECTION V. — chapithe TV. 597
S58. Soit maintenant u une fonction quelconque entière et homogène, du ti**"* degré, de trois variables
X, j'f z. Si l'on représente par -et -les coordonnées
rectangulaires ou obliques d'un point variable, l'équation
représentera une courbe quelconque du n'*"* degré (*). Une droite quelconque, dont l'équation est
(2) z = ax 4- by^
rencontre, comme on sait, la courbe en n points ; si l'on porte la valeur de z tirée de l'équation (2) dans la fonction u, celle-ci devient une fonction homogène U des deux variables x et j^, et les n racines de l'équation
U = o, où l'on considère - comme l'inconnue, sont les
rapports des coordonnées des points où la droite rencontre la courbe. Mais l'équation de la ligne droite contient deux constantes a et b qui s'introduisent, dans l'équation U = o ; on peut établir entre ces constantes une relation telle, que deux racines de l'équation U = o deviennent égales : dans ce cas, la droite devient une tangente de la courbe. Et, si l'on donne aux constantes a et b des valeurs telles, que trois racines de l'équation U = o deviennent égales, la droite sera tangente en un point d'inflexion ; ce point sera déterminé, commme on
jc y (*) Hcsse a eu le premier Tingénieuse idée do représenter par -> -
les coordonnées rectilignes d'un point dans un plan, et par -» '-« ~ les
coordonnées dans l'espace; alors toutes les équations que l'on a à coiibi-
dérer sont homogènes.
5p8 COURS d'algèbre supérieure.
Ta vu plus haut, par les trois équations cru cPV r/«U
zrr O =0, r:rz 0.
cix^ djrdy ' dy'
Mai S, comme U est la valeur que prend u pour z;=:ar-f-6j^, si Ton fait, pour abréger,
d.i" d\^ flj'
dydz a.rdz dxdy
les trois équations précédentes pourront s'écrire comme il suit:
(3) I Wi.2-^-^'"i.3-*- '^"3.1 -»- ^7^1/3.3 -- o,
Si l'on élimine a et t entre ces équations, on obtiendra l'équation d'une courbe qui rencontre la proposée aux points d'inflexion. Pour effectuer cette élimination, résolvons la deuxième des équations (3) par rapport à a, ce qui donne
et portons cette valeur dans la première équation, nous obtenons
ou, en ordonnant par rapport à t,
"l.l"3.3— ^"«.3"3.l"l.J^-''3.3«î., -^-("1.1^3.3 — ";.,)(?/^',.,-h^«tf,^ =='^
Si enfin on multiplie la dernière des trois équations que nous considérons par
SECTION V. — CHAPITRE IV. 5gg
et qu'on en retranche ensuite Téquation que nous venons déformer, on obtiendra l'équation finale qui résulte de l'élimination de a et 6; nous la représenterons par
(4) Al/--:zO,
en posant, pour abréger,
Au — Ui^i «,,, «,,, -:- 21/,,, 1/3,1 ll,,j — «1,1 l/J., — I/j,j til,t — «8,S "I.î.
L'équation (4) est celle de la courbe cherchée, laquelle rencontre la proposée m -- o aux points d'inflexion. Cette équation est, comme on voit, du degré 3 (/i — 2), d'où il suit qu'une courbe du n**"* degré a généralement 37i(/i — *ii) points d'inflexion. En particulier, une courbe du troisième degré a neuf points d'inflexion.
La fonction Au est égale au déterminant
et Hesse lui a donné le nom de déterminant de la fonc^ tion II.
559. Lorsque les coeflicients de la fonction u sont in^ déterminés, la courbe représentée par l'équation u = o n'a pas de points multiples. Pour de tels points on a simultanément
du du
ety au moyen des deux premières équations, la troisième
se réduit à
du
dz
par le théorème des fonctions homogènes. La relation entre les coeflicients de u, exigée par l'existence de
6o<> covtis d'algèbre supérieurs.
points multiples, résultera donc de rélimination dex
et j^ entre
du du du
tLr djr ilz
Ces équations peuvent être mises sous la forme
et l'on en déduit évidemment
Au = o.
Au reste, la méthode dont nous avons fait usage pour trouver les points d'inflexion montre que les points multiples, quand il en existe , satisfont à la précédente équation; car, si la droite z = ax+ hy devient tangente à la courbe en un point multiple, l'équation qui résulte de l'élimination de z entre
tf ^zi o et z = ax -f- h y
aura évidemment trois racines égales.
11 est facile de voir qu'une courbe du troisième degré ne peut avoir un point triple ou trois points doubles à moins qu'elle ne se réduise à un système de trois droites; elle ne peut non plus avoir deux points doubles à moins qu'elle ne se réduise au système formé d'une conique et d'une droite.
560. Le calcul que nous avons fait au n» 558 ne diffère pas de celui qu'il faudrait exécuter si l'on voulait obtenir la condition pour que la droite (2) fit partie Ja lieu représenté par l'équation (i). En efict, la solution de ce nouveau problème s'obtiendra en exprimant que le résultat U de la substitution de ax-^bj à :;, dans u,
SECTION V. CHAPITIIE IV. 6oi
est identiquement nul. On aura donc
et il est évident que ces conditions sont suffisantes, puisque Ton à
Ainsi, dans le cas qui nous occupe, les équations (3) ont lieu identiquement en vertu de Téquation (2), et par conséquent il en est de même de Téquation (4)* Donc toute droite qui fait partie du lieu de Téquation u = o appartient aussi au lieu de Téquation A// = o. Dans le cas de /i = 3, on a ce théorème :
Si V équation u= o représente trois lignes droites, ces mêmes droites constituent le lieu de l'équation Au r=Oy et l'on a en conséquence Au = ku^ k étant une constante.
Il peut arriver que le déterminant Au soit identiquement nul; pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que le lieu de Téquation it t= o soit un faisceau de n lignes droites. Bien que nous n'eussions pas à faire usage de ce théorème dû à Hesse, nous ne pouvions nous dispenser de le mentionner ici.
Sur les points d'inflexion des courbes du trozsicme
degré.
561. Nous commencerons par établir, à l'égard des courbes du troisième degré, quelques propositions générales sur lesquelles nous aurons à nous appuyer.
Rappelons d'abord que le système formé d'une conique et d'une droite, ou le système de trois droites, constitue une variété des lignes du troisième degré.
6o2 COUaS D'ALGÈBaE SUPÉRlEDaE.
Lemme I. — Deux courbes du troisième degré se coupent généralement en neuf points.
Cette proposition se déduit immédiatement du théorème de Bézout sur le degré de Téquation Gnale qui résulte de Télirnihation d'une inconnue entre deux équations.
562. Lemme II. — Neuf points suffisent, en général, pour déterminer une courbe du troisième degré.
Il y a efleclivement dix termes dans l'équation générale des courbes du troisième degré. Le coefficient de l'un de ces termes peut être choisi arbitrairement, et il reste alors neuf coeflicients indéterminés dont on peut disposer de manière à assujettir la courbe à passer par neuf points donnés. On obtient ainsi neuf équations du premier degré entre les coefficients inconnus ; en- général, ces équations admettent une solution unique, et, par suite, on ne peut généralement faire passer qu'une seule courbe du troisième degré par neuf points donnés (*).
Corollaihe. — Si u r=z o^ v^ -- osont les é(/uations en coordonnées rectilignes de deux courbes du troisième degré, l'équation générale des courbes du troisième degré qui passent par les points communs aux courbes données sera
X désignant une constante indéterminée.
D'abord il est évident que l'équation v' -^ X« — : o ri^-
(') Dans sesboll«»9rechorches sur les courbes du troisi<>nie et du quatrième degré {voir les Comptes rendus de V Accuiémie des Sciences, l. X\N 1. p. 913, et t. XXVII, p. 272, 437 ot 4;2}, M. Chasles a fait connaiire deux méthodes remarquables pour construire la courbe du troi»ième dcgrvqui passe par neuf points donnés.
SECTION V. — CHAPITRE IV. 6o3
présente une courbe qui passe par les points d'intersection des courbes données. En second lieu, soit C l'une quelconque des courbes du troisième degsé qui passent par ces neuf points ; prenons sur cette courbe un point quelconque M qui n'appartienne pas aux courbes données et désignons par i^t, Ut ce que deviennent i^ et u, pour le point M. Si l'on détermine A par la condition Ui -r-Xut =: o, la courbe représentée par l'équation i/ -i- Xz = G passera par le point M; cette courbe ayant ainsi dix points communs avec la courbe C, elle coïncide avec elle.
La démonstration précédente ne s'applique pas au cas où les lieux des équations u= Oy i^=^ o auraient une droite commune ou une conique commune. Mais, dans ce cas, on a
