Lemme III. — Soient A|, Aj, Ay, A4, A5, A

A7, Ag, A9 les neuf points d'intersection de deux courbes du troisième degré données ^ on peut faire passer par sept quelconques de ces points une infinité de lignes du troisième ordre qui ne passent par aucun des deux autres points.

Considérons les sept points

^1» Aj» ■"■3> "^4» ■"■*♦ -^6» ^'

Si trois d'entre eux, A|, A2, A3, par exemple, sont en ligne droite, il existera trois systèmes formés de deux

6o4 COURS d'algèbre supëriedeb.

droites tels, que chaque système renferme les quatre points A4, A5, Ae, A7. L'une de ces six droites peut passer par Ag ou par Aq, mais elle ne saurait contenir en même temps ces deux points, car une courbe du troisième degré ne peut avoir plus de trois points en ligne droite; donc, parmi nos trois systèmes de droites, il y en a au moins un qui ne renferme aucun des points Ag, Af Ce système constituera, avec la droite AiAjAj, une ligne du troisième ordre qui remplira la condition énoncée.

Si, parmi les six points considérés, il y en a six qui soient sur une conique, cette conique n'aura aucun autre point commun avec l'une ou l'autre des courbes données, et par suite elle ne passera ni par Ag ni par A». Si donc on joint à cette conique une droite arbitraire menée par le septième des points considérés et qui ne passe ni par Ag ni par A», on aura une ligne du troisième ordre qui remplira encore la condition énoncée

Supposons maintenant que parmi les sept points considérés il n'y en ait pas six sur une conique ni trois en ligne droite. Joignons le point A7 aux six autres; parmi les six droites obtenues.

Al A-, A, A7, A3 A-, A4 A7, A5A7, As A7,

il ne saurait y en avoir plus d'une passant par Ag, ni plus d'une passant par A9 ; on peut donc supposer que

A3A7» A4 A7, A5A7, Afi A7

ne passent ni par Ag ni par A». Pareillement, si l'on joint

le plan Ae aux points A3, A^, A5, on obtiendra les trois

droites

A3 Ac, A4 Afi, A5 A„

parmi lesquelles il s'en trouvera une au moins qui ne passera ni par Ag ni par A^. D'où il suit que, parmi les

SECTION V. — CHAPITRE IV. 6o5

sept points considérés, on peut toujours en trouver trois

A5» Ag, A7,

par exemple, tels que les droites qui joignent ces points deux à deux ne passent par aucun des points Âgy A9. Cela posé y considérons les lignes du troisième ordre formées respectivement des coniques qui passent par A|« Aj, A3, A4, Aj; At, Aj, Aj, A4, Aj; A|y A^, A^, A4, A7 et des droites

Afi A7, A( A7f A5 Af*

L'une des coniques peut contenir Tun des points Âg, Â9, mais non pas ces deux points à la fois, car une conique ne peut rencontrer une ligne du troisième ordre en plus de six points. D'ailleurs deux de nos coniques ne peuvent avoir que les seuls points communs Â| , Â^, As, A4 ; donc Tune d'elles au moins, Â1Â2Â3Â4Â5, par exemple, ne contient ni Âg ni Â9. En joignant à cette conique la droite Â0Â7, on formera une ligne du troisième ordre remplissant la condition énoncée.

Ainsi, dans tous les cas, nous savons trouver une ligne du troisième ordre qui passe par les sept points considérés et qui ne contient aucun des deux autres points. Soit

Féquation de cette ligne relativement à deux axes coordonnés. Soient aussi

1/ .zi: O, V =:: O

les équations des courbes données, a et b deux constantes arbitraires; il est évident que Téquation

au -:- ùv -'- iv z-zo

représentera une infinité de courbes du troisième degré, qui toutes rempliront la condition énoncée.

6o6 COURS DÀLGÈBUE SUPÉRIEURE.

564. Théorème I. — Toute courbe du troisième degrés qui passe par huit des neuf points d'intersection de deux courbes du troisième degré données, passe également par le neus^ième point dHntersection de ces deux courbes.

Soient r et Fj les deux courbes d u troisième degré données. Supposons qu'on se propose de faire passer une courbe du troisième degré par les neuf points d*interscction des courbes F et Fi ; les neuf équations linéaires que doivent vérifier les coefficients de Téquation de la courbe inconnue admettront les deux solutions relatives aux courbes F et F| qui satisfont au problème. Il s'ensuit que le système de ces neuf équations est indéterminé ; d'ailleurs huit quelconques d'entre elles sont distinctes, d'après le lemme 111, et en conséquence ellef entraînent nécessairement la neuvième. On peut conclure de là que, si l'on assujettit une courbe du troisième degré F2 à passer par huit des points communs aux courbes F et F«, et que, pour achever de la déterminer, on se donne une nouvelle condition arbitraire, la courbe F2 passera nécessairement par le ncuviome point d'intersection des courbes F et F|.

Corollaire 1. - Si trois des neuf points d'intersection des deux courbes du troisième dei^ré sont en Itj^ne droite, les six autres points d'intersection sont siliu's sur une conique.

En clTcl, la droite qui passe par les trois pronii»^r< points d'intersection des courbes «ionnécs F et F,, et la conique qui passe par cinq des six autres, forîuent une ligne du Iroisitîuii* de;;ré (jui passe parle neuvième pt>ini d'intcrscol ion des courbes F et F| ; donc la conique p.î>?' par ce ncuvicinc point, car une courbe du Iroi-sicmo degré ne peut avoir (jualre points en ligue dnnie.

SECTIOIf V. CHAPITRE IV. 607

Corollaire II. — *Si six des neuf points d^interseC" tion de deux courbes du troisième degré sont situés sur une conique, les trois autres points d^ intersection sont en ligne droite.

En efTet, la conique qui passe par les six premiers points d^intersection et la droite qui passe par deux des trois autres forment une ligne du troisième degré qui passe par le neuvième point d'intersection ; donc la droite passe par ce neuvième point, car une conique ne peut avoir plus de six points communs avec une courbe du troisième degré.

Corollaire III. — Si trois des neuf points d^ intersection de deux courbes du troisième degré sont en ligne droite, et que trois des six autres soient aussi en ligne droite, les trois dernieis seront pareillement en ligne droite.

Ce corollaire est évidemment un cas particulier du précédent.

565. Les propositions que nous venons d'établir conduisent à un grand nombre de conséquences intéressantes ; mais, pour ne pas trop nous écarter de notre sujet, nous nous bornerons à montrer comment on en déduit immédiatement le théorème connu de Pascal, relatif à rhexagone inscrit dans une conique. On sait que ce théorème consiste en ce que :

Si un hexagone est inscrit dans une conique, les points de rencontre des côtés opposés sont en ligne droite.

En effet, soient A, B, C, D,E, F les sommets de Thcxagone ; soient M, N, P les points d'intersection des côtés AB et DE, BCetEF,CD et FA. Les lignes du troisième ordre formées. Tune des droites AB, CD, EF, l'autre des

COURS D'ALCiBRE SUPÉRIEURE.

droites BC, DE, FA, se coupent aux neuf points A, B, CéfDyE, F y My N, P. Of Ics six premiers points sont une

conique ; donc les trois autres sont en ligne droitei ce qu'il fallait démontrer.

566. Théorème II. — La droite if ui joint deujc points d'inflexion d'une courbe du troisième degré rencontre la courbe en un troisième point d'inflexion.

Soient A et A' deux points d^inflexion d'une courbe du troisième degré F, et supposons que la droite AA' rencontre la courbe F au troisième point A"; je dis que A*

est un point d'inflexion. En clfet, menons par le point A une sécante quelconque qui rencontre de nouveau la courbe aux points B et C; par le point A une seconde sécante quelconque qui rencontre de nouveau la courbe

aux points B' et C; joignons BI? et CC^ qui rencontrent de nouveau la courbe aux points B" et CI' respectiveraenl ; joîgnonsenfin A''B''. La ligne du troisième degré formée des trois droites ABC, A'B'C et A"B" passe par huit des points d'intersection de la courbe F et de la ligne du troisième degré formée de droites AA'A^', BB'B", CC'C': elle passera donc par le neuvième point d'intersection C; et, comme une courbe de troisième degré ne peut avoir quatre points en ligne droite, il faut nécessairement que les trois points A'', B'^, CI' soient en ligne droite. Imaginons maintenant que les sécantes BC et B'C tournent respectivement autourdes points A et A', de manière à devenir tangentes à la courbe ; comme A et A' sont deux points d'inflexion, les points B et C se confondront avec A à la limite : pareillement, B' et G se confondront avec A'; donc les droites BB'B" et CC'C" coïncideront avec AA'A'', et, par suite, les trois points d'intersection de la courbe avec la sécante AI'WC" se confondront en un seul A'*^, qui est ainsi un point d'inflexion.

Remarque. — Bien que la forme de ce raisonnement soit géométrique, il est évident qu'il s'applique au cas des points imaginaires comme à celui des points réels.

567. Théorème III. — Le nombre des droites qui passent chacune par trois points d' inflexion d'une courbe du troisième degré donnée est égal à douze. Ces douze droites forment quatre systèmes composés chacun de trois droites, et les neuf points d'inflexion de la courbe sont trois à trois sur les trois droites de chaque système.

Si l'on joint par des droites l'un des points d'inflexion de la courbe à chacun des huit autres, il est évident que ces huit droites se réduiront à quatre distinctes, puisque la droite qui passe par deux points d'inflexion passe

S. — Jilx» *up,, il. 3g

6io COURS d'algèbre supérieure.

aussi par un troisième, el que, d'ailleurs, quatre points d'inflexion ne sauraient être en ligne droite. Donc, parmi les droites qui joignent les neuf points d'inflexion trois à trois, il y en a toujours quatre qui passent par Tun quelconque de ces points. En comptant quatre droites pour chaque point d'inflexion, on aura 4 X 9 ou trentesix droites ; mais alors il est clair que chaque droite se trouve prise trois fois, et, par suite, ces trente-six droites se réduisent à douze distinctes.

Considérons l'une des quatre droites qui passent par un même point d'inflexion ; cette droite renferme trois points d'inflexion, et par chacun de ceux-ci passent seulement trois autres de nos douze droites; donc, parmi ces douze droites, il y en a deux qui ne passent par aucuo des trois premiers points. L'une d'elles contient ainsi trois nouveaux points d'inflexion, et les trois derniers points seront alors sur l'autre droite, puisque les neuf points sont communs à deux courbes du troisième degré (n** 564, corollaire III). On peut conclure de là que les douze droites considérées forment quatre systèmes de trois droites passant par les neuf points d'inflexion.

568. Pour reconnaître la loi de la distribution des neuf points d'inflexion sur les douze droites dont il vienl d'élrc question, on peut employer avec avantage la considération des imaginaires que Galois a introduites dans la théorie des nombres. ISous désignerons les points dont il s*agit par une même lettre aflcctée d'un indice susceptible de prendre neuf valeurs distinctes, et nous adopterons, pour les valeurs de cet indice, les neuf racines ai -4- i de la congruence

P — / =: o \ mod. 3 ; .

L'une de ces racines est zéro et les huit autres sont congrues aux puissances d'une racine primitive de la cou-

gruence

/•— lEzso (mod. 3).

Celle-ci a quatre racines primitives : ce sont les racines des deux congruences irréductibles

1* — / — I s= o, /** -f- / — I ^ o (mod. 3).

Nous désignerons par i une racine de la première, et l'on aura en conséquence

/• sir/ -f- 1 (mod. 3),

d'où

/•îZE 7.1 -f- I, i^^ii -+- 2, j

/*=S2, f' = i-\-i, \ (mod. 3). '

i^^-iii^ /*==:i, )

Cela posé, considérons l'un des quatre systèmes de trois droites qui passent par les neuf points d'inflexion, et attribuons aux points situés sur ces droites les indices des trois lignes respectives du tableau suivant:

Pour former les combinaisons des indices qui répondent à l'une quelconque des neuf lignes restantes, il faut prendre trois indices appartenant respectivement aux trois lignes du précédent tableau, et, comme rien ne distingue entre eux les trois points situés sur l'une des droites du premier système, on peut supposer que les lignes verticales du tableau (i) répondent chacune à trois points situés sur la même droite. On aura donc ce deuxième système

6î4 COURS d'algèbhb supÉnnsims.

et, en multipliant, on a

K\o) OA„.OAj,^,.OA,,^^7 ^^ JNA/.NA/^j.NAfH-î'

n est évident qu'on trouvera la même valeur pour

et ( — — 1 en appliquant le même théorème aux

droites issues des points A| etÂo; on a donc

Les points considérés étant supposés réels, la précédente égalité exige que Ton ait

MAo MA^ MA,

KÂo "" NAj "~ WÂ, '

ce qui est évidemment impossible.

Cela posé, considérons le faisceau obtenu en joignant un point d'inflexion imaginaire aux autres points; Tune quelconque des quatre droites de ce faisceau coupe la courbe du troisième degré en deux points d'inflexion qui ne peuvent être réels tous les deux, ni imaginaires conjugués. L'une (le ces droites coiuiendra le point conjugué du sommet du faisceau avec un point réel; chacune des autres contiendra au moins un nouveau point imaginaire, et, comme le nombre des points imaginaires est pair, ii sera au moins égal à (). Kniîn, la droite qui passe par deux points imaginaires conjugués étant réelle, chaque couple de pareils points exige nécessairement un point d'inflexion réel, d'où il résulte qu'il y a toujours troi* [)oints d'inflexion réels et six imaginaires.

RKMAngi E. — On pourrait faire à ce théorème Tobjection que voici. On suppose que chacune des droites qui passent par deux points d'inflexion imaginaires

SECTION V. CHAPITRE IV, 6l3

869. Théorème IV. — Parmi les neuf points d' inflexion d'une courbe du troisième degré réelle, il y en a toujours trois réels et six imaginaires.

D'abord les neuf points d'inflexion ne peuvent pas être tous réels. En efl^et, admettons qu'ils le soient, et considérons le triangle OMN formé par les trois droites de

l'un des quatre systèmes dont nous avons établi l'existence. Supposons, par exemple, que les côtés MN, NO, OM constituent le premier système de quatre droites et que ces côtés contiennent respectivement les points

Aq, Al, A/, A

En appliquant la propriété connue des transversales au triangle OMN coupé par les trois droites issues du point Aq, savoir :

on trouve

MAo NA, OA,/ NAo OA/ MA,,

MAo ^A.-^i OA,/H-, NAo OA,^.i MA,/4.j

MAo NA^ 0\,f^, NAo OA/^., MAj/^-i

6l6 GOUKS d'algèbre STJPÉRIEUnC.

formée des droites