MAB, M' CD', M'^EF
d'ailleurs les points M, M', M'' sont en ligne droite : donc
les six points
sont sur une conique.
Cette conclusion subsiste quelle que soit la sécante MM'JVr^; faisons tourner celle-ci autour du point M,
jusqu'à ce qu'elle devienne tangente à la courbe F. Les points M' et M'' se confondront avec M, à la limite, si celui-ci est un point d'inflexion; alors M'CD' et M*EF viennent respectivement coïncider avec MCD et MEF. Donc les six points
sont sur une conique.
Mais, si M n'est pas un point d'inflexion, quand la droite M M' M'' deviendra tangente à la courbe F, l'un des points M', M" seulement se confondra avec M, el l'autre point, M' par exemple, tendra vers une position limite M| ; pareillement le point F' coïncidera avec
F et le poÎDl ly aura une certaine position limite D|. Les six points A, B, E, F, C, D| sont sur une conique,
et celle-ci ne peut contenir le point D ; car autrement elle aurait sept points communs avec la courbe F.
Corollaire I. — Si, par un point M d'une courbe du troisième degré F, on mène des sécantes à cette courbe, et qu'on prenne sur chaque sécante la moyenne karmonique entre ses deux segments, les points de division ainsi obtenus seront en ligne droite, toutes les fois que M. sera un point d'inflexion; et réciproquement, si le lieu des points liarmoniques est une ligne droite, le point M sera un point d'inflexion de la courbe F.
En effet, si M est un point d'inflexion et qu'on mène trois sécantes M AB, MCU, MEF, les points A, B, C, D, E, F sont sur une conique, et la polaire du point M, par rapport à cette conique, coupe chaque sécante en un point dont la distance à M est la moyenne harmonique des deux segments de la sécante.
Mais, si M n'est pas un point d'inflexion et qu'on mène en M la tangente MM4, qui rencontre de nouveau la courbe en M|, et qu'on joigne M|C qui coupe de nouveau la courbe en D|, les points A, B, E, F, C, D| seront sur une conique qui coupera la droite MC en un
6t8 COURS d'algèbre supêribure.
point D différent de D,. La polaire du point M par rapport à la conique coupe chaque sécante MAB, MEF, MCD' en un point dont la distance à M est la moyenne harmonique des segments de la sécante, et il est évident que la même chose ne peut pas avoir lieu à l'égard des segments MC, MD.
CoïioLLAïuE 11. — Les neuf points d'inflexion d'une courbe du troisième degré donnée sont aussi les points d'inflexion de toutes les courbes du troisième degré qui les contiennent tous.
En effet, soit M un point d'inflexion d'une courbe du troisième degré F. Considérons le faisceau de quatre droites issues de M et qui renferment chacune deux nouveaux points d'inflexion. Si Ton prend, sur chaque rayon, la moyenne harmonique des segments, les quatre points de division seront en ligne droite, d'après le corollaire I, et, en raison de cette circonstance, le point M sera point d'inflexion pour chacune des courbes du troisième degré que Ton p<Mit faire passer par les neuf points d'inflexion de la courbe donnée.
CoROLLAïuE 111. — Si u dcsigne une /onction entière et liomogcne du troisième degré de trois lyariables^ qur la caractéristique A représente généralement le déterminant d'une telle Jonction, et que / soit une constante quelconque donnée, on aura identiquement
A ^ ). 1/ - - A// - A // -T- B A//, A et B étant des constantes.
En effet, i'é(]iiation u -- o représente une courbe donî les points d'inflexion sont aussi sur la courbe qui a pour équation Au-.-o, PareilIenKMit, si Ton veut avoir les points d'inflexion de la courbe qui a pour équation
AU -i- Su • .. o.
SECTION V. CHAPITRE IV, GlQ
îl faudra joindre à cette équation
A(>w + Aw) — - o;
or, d'après le corollaire II, celle-ci représente une courbe qui passe par les neuf points communs aux courbes M = o, /^u z= o ; donc son équation est de la forme
fAtt4-Aw = o ou Al/ -f- BA// = o.
On aura par suite, identiquement,
A(>i/ -+- au] — A« -1^ BAw,
en déterminant convenablement les constantes A et B. La proposition contenue dans le corollaire III est duc à Hesse*, le corollaire I et le théorème lui-même sont dus à M, Chaslcs, et c'est M. Hart qui en a tiré le premier les conséquences que nous venons de présenter (*).
571. Théorème VI. — Les coordonnées rectilignes de chacun des neuf points d' inflexion d'une courbe du troisième degré sont exprimables par des fonctions algébriques explicites des coefficients de l'équation de la courbe.
En eilct, soit
l'équation d'une courbe du troisième degré. Les neuf points d'inflexion de cette courbe sont aussi, comme on l'a vn, sur la courbe du troisième degré qui a pour équation
ÙlU z= O,
en sorte que, si X désigne une constante indéterminée,
(*) Foir, h co sujet, une Note de M. Salmon, insérée dans lo tome XXXIX du Journal de Crelle, p. 365u
620 COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEURE.
l'équation
(2) "ku -n au =zO
représentera généralement toutes les courbes du troisième degré qui passent par les neuf points d'inflexion de la proposée. Or nous avons vu qu'on peut faire passer par ces neuf points quatre lignes du troisième degré formées chacune de trois droites ; donc il y a quatre valeurs de i pour lesquelles l'équation (2) se* décompose en facteurs linéaires. En outre, d'après le corollaire III du précédent théorème, on a identiquement
A(>i/ -h Aw I z=z Au -h BAa,
A et B étant évidemment des fonctions entières de 1 du troisième degré. Or, si l'équation Xu -h Au = o représente trois droites, l'équation A [lu -h Au) =^ o ou Au-hBAu=:o représentera aussi les mômes droites (n**560); donc, dans cette hypothèse, on a
Si Ton résout cette équation du quatrième degré en 1, que Ton prenne pour À Tune quelconque de ces racines et qu'ensuite on résolve l'équation (2) par rapport à Tune des coordonnées, on trouvera nécessairement que les trois valeurs de cette coordonnée sont des fonctions linéaires de la deuxième coordonnée. La décomposition de l'équation (2) en facteurs linéaires étant ainsi effectuée, on aura les équations de trois droites contenant chacune trois des neuf points d'inflexion de
(') Dans un beau Mémoire publié au tome XXXIX du JourmaJ de CreiUf M. Aronhold a obtenu effectivement ceUe équation du quatrième degré en X sous une forme bien remarquable. Car les coeflBcienls t'eipriment par deux fonctions seulement des coefficients de l'èquatioj do la courbe proposée.
la proposée, et, pour avoir les coordonnées de ces neuf points, il sulïira de chercher successivement les solutions communes à Téquation (i) et à Téquation de chacune des trois droites, ce qui exigera seulement la résolution de trois équations du troisième degré à une inconnue. Il s'ensuit que les coordonnées des neuf points d'inflexion sont exprimables par des fonctions algébriques explicites des coefficients de l'équation proposée.
Corollaire. — L'équation du neuvième degré qui a pour racines les abscisses des points d'inflexion d'une courbe du troisième degré est toujours résoluble algébriquement^
Sur un théorème de Steiner relatif aux courbes
du troisième degré,
572. Si u désigne une fonction homogène du degré n des trois variables x,j^, z, l'équation
représentera une courbe du degré n dont les coor-
données seront - > *-•
L'équation de la tangente en un point {x- j, z) A% la courbe (i) est
\Z z) dx \Z z) df '
si Fon ajoute le terme
\Z l) dz
qui est identiquement nul, la précédente équation prcn-
6a2 COURS d'algèbbb supériburb.
dra la forme
à cause de
du du du
dx djr dz
Si les quantités X, Y, Z se rapportent à un point donné M, Féquation (2) représentera une courbe du degré n — i , et cette courbe coupera la proposée en n[n — i) points. Il s'ensuit que, par le point donné M, on peut mener en général n[n — i) tangentes à la courbe (i).
Dans le cas de ;i = 2, Téquation (2) représente une ligne droite qui est la polaire du point M par rapport à la conique (i); cette équation (2) ne change pas quand on remplace X, Y, Z par x, jy Zj et inversement. En effet, si Ton pose, comme au n® 558,
d^u d}u €pu
"j'S» 1 71 '— "l.J» . y "l.Sf
dydz "" dxdz '"' dxdx
on aura, dans le cas de n =^ 2,
du
du
du
et, comme les quantités Mi^i , u^^^i ••• sont ici des constantes, il suffit de substituer les expressions précédentes dans Téquation (2), pour justifier notre assertion.
SECTION V. — CHAPITRB IV. 6a3
573. Considérons maintenant le cas de « = 3 ; l'équation (2) représentera une conique qui déterminera sur la courbe proposée les points de contact des six tangentes qu'on peut lui mener par le point donné. Pour abréger, je représenterai cette équation (a) par
et le centre de la conique sera déterminé par les équations
dv . dv
D'après cela, si Ton veut avoir la condition pour que la conique (2) se réduise au système de deux droites, il sufIGra d'exprimer que les trois équations précédentes sont satisfaites par les mêmes valeurs de x et de v. Or
les dernières équations réduisent i^ == o à =0;. donc
la condition demandée s'obtiendra en éliminant x clj entre les trois équations du premier degré
€lv dv du
ax dr dz
Ces équations se déduisent de l'équation (a) en rempla-
. * ,, . du du du . ,
çant dans celle-ci u par ~r'* ~r'* ~r'* successivement; donc ,
d'après ce qui a été dit plus haut , elles ne changeront pas si l'on y remplace X, Y, Z par x, y^ z, et inversement. On pourra ainsi leur donner cette forme :
(3) I xU,,i -f-rU,., H- 3U,,, :=r. o,
( -^Ua.i -+-rUj,, 4- CU3.3 =-- o,
en représentant par U, U,,,, U«,2> ••• ce que deviennent II, U|,i,ii«,2> ••• quand on écrit X, Y, Z aulieudex, r,z.
624 COURS d'algèbre supérieurb*
Maintenant Télimination de x et de j- entre les équations (3) donne
(4) AU = o,
AU étant le déterminant de U; on a ainsi ce théorème :
Théorème I. — Soient u unefonction entière et homogène du troisième degré des variables x, y^ z, et ùu le déterminant de u. Soient aussi U et AU ce que de^ viennent u et Au quand on écrit X, Y, Z au lieu de X, jf z. Pour que les points de contact des six tangentes menées à la courbe u = o par le point (X, Y, Z) soient situés sur deux droites, il faut et il sujjit que ton ait
Et il en résulte cette conséquence importante :
Corollaire. — Par un point d'injlexion et une courbe du troisième degré on peut mener à cette courbe trois tangentes indépendamment de celle qui touche Lt courbe au point d'inflexion, et les points de cot^tact de la courbe avec ces trois tangentes sont en ligne droite,
57i. Les considérations qui précèdent nous permettent d'établir le théorème suivant, que Stciner.a public sans démonstration dans le tome XI du Journal de Mathématiques pures et appliquées.
Théorème 11. — Une courbe du troisième degré contient en général 27 points en chacun desquels elle peut avoir un contact du cinquième ordre avec une conique. L'équation du vingt-septième degré qui détermine ces 2y points est toujours résoluble algébriquement.
En effet, soit P un point de la courbe donnée; menons PM tangente à la courbe e* P, et rencontrant de nouveau celle-ci en M. Menons enfin, par le point M,
SECTION V. CHAPITRE IV. ÔsS
trois sécantes qui rencontrent la courbe aux points A et B, C et D, E et F respectivement.
Si le point M est un point d'inflexion, les six points A, B, C, D, E, F seront sur une conique (n**570), et si Ton fait varier ces sécantes de manière qu'elles tendent toutes les trois vers la limite MP, la conique variera, et, à la limite, elle aura, avec la courbe donnée, six points communs confondus en un seul; il y aura donc en P contact du cinquième ordre.
Mais, si le point M n'est pas un point d'inflexion, la conique déterminée par les cinq points B, C, D, E, F ne passera pas par le point A, quelque voisine de MP que soit MAB, et elle coupera la courbe donnée en un sixième point A'; donc, quand on arrivera à la limite, la conique deviendra osculatrice en P à la courbe donnée, comme dans le premier cas ; mais elle coupera celleci en un nouveau point, et elle aura seulement avec elle un contact du quatrième ordre.
Il résulte de là que les points P, qui possèdent la propriété contenue dans l'énoncé du théorème, sont les points de contact des tangentes menées à la courbe donnée par ses divers points d'inflexion; et puisque, par chaque point d'inflexion, on peut mener trois tangentes, le nombre total des points P est 3 X 9 ou 27.
Enfin, les coordonnées des points d'inflexion sont
S. -^ Alg. sup,. II. ifi
626 COURS d'algèbre StPÉRlEURE.
exprimables par des fonctions algébriques explicites des coefficients de Téquation qui représente la courbe donnée; en outre, la détermination des trois points P qui répondent au même point M dépend seulement d'une équation du troisième degré. Donc Téquation du vingtseptième degré, dont dépend la recherche des 27 points P, est toujours résoluble algébriquement.
Propriété de l'équation du neuvième degré qui a pour racines les abscisses des points d'inJ!p.Tion d'une courbe du troisième degré*
