Soit
l'équation d'une courbe du troisième degré entre les
coordonnées rectilignes - et -*, nous avons vu que les
points d'inflexion de cette courbe sont sur une seconde courbe du troisième degré,
(2) Am rz: O.
Si Ton él i mine j^' entre les équations (i)ct (q u on obtient une écjualion
homogène par rapport à a: et -^ et du neuvième dopn*.
Cette équation, dont les racines - représentent les al>-
srisses des points d'inflexion, est toujours résolubh^ .ilj^él)ri(picmenl, comme nous l'avons démontré plus hanl. Mais il existe, entre les racines de Téquation (3 1, d<^> relations remarquables que nous allons faire connaitre,
d'après Hesse^ et desquelles ce géomètre a déduit la résolubililé par radicaux de l'équalion (3).
Remarquons d*abord que la valeur de - correspondant à chaque racine - de Tcquation (3) peut s'exprimer en
fonction rationnelle de - et des quantités connues de
Téquation (i). Cela résulte immédiatement de la méthode que nous avons exposée au n° 73 pour la résolution de deux équations simultanées. D'après cela, les coordonnées de chaque point d'inflexion de la courbe proposée doivent satisfaire à une même équation de la forme
(4) 'r=F(ri'
où F désigne une fonction rationnelle.
Soient maintenant —> —et—» — les coordonnées de
deux points d'inflexion de la courbe (i); la droite qui passe par ces deux points aura pour équation
Z Zy z z^
En désignant par — 1^ la valeur commune des deux membres, il vient
7(30 -i- ).3i) = Xo-h la-t.
628 COURS d'algèbre supérievrb.
on peut disposer de z de mdLnière que Von dit z=z%'^Xz^^ et Ton voil alors que notre droite pourra être représentée par les trois équations suivantes :
Au moyen de ces équations , on obtiendra tous les points de la droite en donnant à X toutes les valeurs possibles. Or, d'après le théorème de Maclaurin démontré au n^ 566, cette droite coupe la courbe (i) en un troisième point d'inflexion ; pour avoir la valeur de X qui convient à ce troisième point, il suffit de porter dans Téquation (1) les valeurs de x,j^, z tirées des équations (5), et de résoudre ensuite Téquation obtenue ainsi, par rapport à X. Par cette substitution il vient
les indices o et i indiquant que, dans les expressions qui en sont affectées, on doit mettre Xo,j>'oy ^0 ou jti , >,, j, à la place de x,j^, z. En effet, il résulte inunédiatenicQl de la formule de Taylor qu'après la substitution les deux premiers termes de u sont
(«)o+'-Kr;),-^'(;7;0o-^^'Ci").]'
et il est évident que les deux derniers termes doivciit se déduire de ces deux-ci, en changeant J'o» J>o» -0. .ï'i»
y i, Zi en ax,, /Ji, ^^i, r- Xq, t-J o> r- Zq.
Si Ton supprime les termes (m)o et (w), qui sont nuls, l'équation (6), divisée par X, donne la valeur sui-
vante de X :
I€ÎU\ [€lu\
^'^ " l(In\ (du\ tflu\ '
xo
/V/M\ (du\ [ftu\
qui convient au troisième point d'inflexion. Si Ton dé-
signe par --1 — les coordonnées de ce point, et qu'on
porte la valeur de X, que nous venons de trouver, dans les équations (5), on aura
= "•['•(£).-"-^'(rfr).-^--(^).]-'-["-(£).^->--(^).^--(|)J
'•['•(ïï).-"'-(î).^'-(£).]-^'K^î).^-^'(S).-^''(£).] '•Kï).-^-'-(î)."--(^9.1-'"h0").-^^-(ï).-*-''(£).]
Considérons, en particulier, la première de ces équations : le second membre ne change pas quand on change jTq, j©, -o en X|, j)'i, ^i, et réciproquement; en divisant le numérateur et le dénominateur de ce second membre par z\ z], il prend la forme
y* désignant une fonction rationnelle qui ne change pas quand on transpose les indices o et i . Or, d'après l'équation (4), on a
F désignant une fonction rationnelle. Donc la valeur
C3o COURS d'aLGÈBEE SrPéRlEUIlB.
de ^ peut se réduire à la forme suivante :
6 désignant une fonction rationnelle et symétrique des ^ deux quantités qu'elle renferme. Il est évident que l'équation précédente ne cessera pas d'être exacte si l'on exécute une substitution sur les indices o, i, 2; car on serait arrivé directement aux équations qu'on obtient par les substitutions, en partant du premier point d'inflexion et du troisième, ou du deuxième et du troisième. au lieu de partir du premier et du deuxième. Donc lc£
abscisses — » — ♦ — de trois points d'inflexion en ligne
Zq Zi 3j
droite satisfont aux trois relations
Zq \3| Zj / 3j \Zf Zq / S, \^ ^1 /
où Of nous le répétons, désigne une fonction rationnelle et symétrique. De cette propriété résulte, comme on va le voir, la résolubilité de l'équation (3).
Sur la resolution a/gchrif/uc d'une classe d'cquatiom
du neuincrne degrr,
57G. Il était intéressant de chercher à rattacher la question particulière dont nous venons de nous occuper à une théorie plus générale; c'est ce qu'a fait Irès-heureusemcnt liesse en établissant le théorème suivant :
Théorème. — Soi en t (i) yJr]:=^o
une équation du neu^ncnie degré et 6 une Jonction ra-
tionnelle et s)'métrii/ue donnée de deux variables. Si l'équation proposée a cette propriété , que deux racines quelconques Xx et x^ fournissent une troisième racine x„ de telle sorte quon ait en même temps
cette équation sera résoluble algébriquement.
On voit queTéqualion qui a pour racines les abscisses des points d'inflexion d'une courbe du troisième degré a la propriété dont il s'agit ici.
Hcsse nomme racines conjuguées trois racines de l'équation (i) qui satisfont aux relations (2). 11 est évident que chaque racine fait partie de quatre combinaisons de trois racines conjuguées; par suite, en comptant quatre combinaisons pour chaque racine, on aurait 4 X 9 ou trente-six combinaisons; mais, chacune de ces combinaisons se trouvant répétée trois fois, on voit qu'il n'y a que douze combinaisons distinctes de racines conjuguées. Et, comme le nombie total des combinaisons de trois racines est 84, il y a soixante-douze combinaisons de trois racines non conjuguées.
Considérons l'un quelconque des quatre groupes de racines conjuguées, et désignons-le par
.r,a'x.r^, xjx^'X^'^ x^».i\"X.^'.',
On peut supposer que ar„ x^t, x^n ne soient point conjuguées, et, par suite, on pourra les considérer comme trois racines quelconques non conjuguées. Alors, comme rien ne distingue entre eux les indices X et /m, X' et [/, X" et /x", on aura ces trois combinaisons de racines conjuguées,
x^'x^f/.r\j x^/fx^xx», T^x^f.i\f/' les six autres combinaisons de racines conjuguées sont
63a couns d* algèbre supérieu:ii:«
alors nécessairement
On voit que les neuf racines sont exprimables en fonction rationnelle de trois racines non conjuguées quelconques x,, x,/, x^n'j on a effectivement
i' x^ = x« , j'x =^ 0 (j-,r , jy,), jc^ r 0 [ç ( x,//, j:, ), 0 (x. , jr/ )],
x^n =z x,//, xv/ --: 0 (.r, , .r/ ), x^/' ^-- ô [0 (x,/ , x,«), 6 ( J»i., x, )].
Cela posé, désignons par a une constante indéterminée, et formons la fonction symétrique suivante de trois racines conjuguées quelconques x,, x^, x^du troisième degré par rapport à a, savoir :
( 4 ) .rxa . Il ^ ( « — ^« ) ( « — ^ ) ( « — -^li ) ;
en remplaçant x,, x^, x^ par chacune des douze combinaisons de racines conjuguées, on obtiendra les douzs
valeurs distinctes de la fonction r. ^ „.
fc' *» *» I*
Formons ensuite la fonction symétrique suivante :
qui est du troisième degré par rapport à rindélerminéc S. Soient rTy, C|, Z2f ^3 les quatre valeurs que prend z quand on y met successivement, pour 7,^1^^, jv^i»^^», Jx'.x-.ix-» les quatre groupes de valeurs qui conviennent à ces (juaulités. Formons enfin Tcquation du quatrième
degré
(6) ;:♦ -h Al c' -î- A,c* 4- A33 -;- A4 =:z o,
(|ui a pour racines z^y Zi, r-, z^.
Je dis que les coefficients de réquation (6) sont exprimables rationnellement en fonction des quantités connues de Téquation (i) et de la fonction 6, En effet, on a
(7) \ .>V,x'.ii' — {'-^ — -^xO («-■ -rv) (« — -v)' ( Jx", i". ^// znz ( a — x,//) ( a — ^^//) ( a — x^//) ;
en portant ces valeurs dans la formule (5) et en se servant des formules (4), on aura la valeur de z exprimée en fonction rationnelle de trois racines non conjuguées x„ jtv, Jt>, savoir :
(8) z=:^^{x^,jr^»,X^ff)y'
et cette fonction ^ sera symétrique par rapport à x^, x^f, x^ ; car il est aisé de voir, d*après les formules ( 3 ) , qu'en permutant ces trois racines les quantités Jx^Xj^y O'x'Vj^k'^ y^^\ff^^H ne font que se changer les unes dans les autres, ce qui ne change pas la valeur de z.
Élevons le second membre de l'équation (8) à une puissance entière quelconque de degré m; désignons par
•;;(.r», J-.SX.//)'»
la somme des termes qu'on déduit de ^(j^», .r,/, x»//)"* en prenant successivcniont pour a\, x^^, x^n les soixantedouze combinaisons de trois racines non conjuguées ; par
la somme des termes qu'on déduit de ^ {x^y x^'y ^x")'^ en prenant successivement pour a\, x,', x^n les douze com-
634 cor ES d'algèbre supérirure.
binaisoDS de racines conjuguées; enfin par
la somme de tous les termes qu'on déduit de 'y (.r,, x^, .r,-* "" en prenant pour j:., x^y x^ toutes les quatrc-vingl-quatre combinaisons de trois racines. On aura
I^ second membre de celte formule (9) est une fonction rationnelle et symétrique de toutes les racines, et Ton peut, par conséquent, l'exprimer en fonction rationnelle des quantités connues. Il en est de même de
\ ^{x^, x^j x^n)'^ ; en elTct, x^, x^, x,» étant des racines
conjuguées, on a
d'où il suit que
•Il ( r r • r fi "^
est égale au tiers de la somme des trente-six valeurs que prend
quand on prend pour a\, x^' les trente-six combinaisons de dcu\ racines. Eu désignant celte somme par L*
si^rnc N , on a
Cl, par su île,
ce qui montre que > i}' (x„ a:,., x,.) est une fonction
rationnelle et symétrique de toutes les racines ; on peut donc l'exprimer, en fonction rationnelle des quantités connues. Si maintenant on remarque qu'aux soixantedouze combinaisons de racines non conjuguées répondent«seulement quatre valeurs de la fonction z^, savoir : ^7» ^7> ^T> ^r» ^^ m^^ chacune de ces valeurs revient dixrhuit fois, on verra que Ton a
En donnant au nombre m les valeurs i, 2, 3, 4» on obtiendra, par la formule (12), les sommes de puissances semblables des racines de l'équation (6) qui sont nécessaire pour calculer les coefficients A|, A2, A3, A4 ; on voit que ces coefficients se trouvent ainsi exprimés en fonction rationnelle des quantités connues.
Voici maintenant comment on obtiendra les racines de l'équation (1). On cherchera une racine quelconque de l'équation (6). Celte racine sera, d'après ce qui précède, une fonction entière et du troisième degré de l'indéterminée 6 ; en égalant à zéro celle racine, on aura une équation du troisième degré en 0 dont les racines seront les trois quantités qui forment l'un des quatre groupes dans lesquels se partagent les douze quantités j'.^j^. En égalant à zéro une de ces nouvelles racines,
on aura une équation du troisième degré par rapport à rindélerminée a ; les trois valeurs de a racines de cette équation seront trois racines conjuguées de l'équation (i). Pour avoir toutes les racines de l'équation (i), il suffit d'opérer de la même manière avec chacune des racines de l'équation (6).
SECTION V. CHAPITRE V. GZ'J
