SUR LES ÉQUATIONS RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT

Recherches de Galois. Théorèmes généraux.

o77. L'analyse que nous avons développée dans les deux Chapilres précédents nous a conduit à la résolution algébrique de certaines classes d'équations. Mais ces équations si remarquables sont-elles les seules qui soient susceptibles d'une telle résolution? Quelles sont, en d'autres termes, les équations résolubles? Telle est la question qui vient se poser naturellement et à laquelle Abel et Galois ont les premiers attaché leur nom.

Je me propose d'exposer ici la théorie contenue dans le Mémoire de Galois intitulé : Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux; ce Mémoire a été publié pour la première fois en i84ti, dans le tome XI du Journal de Mathématiques pures et appliquées, quinze ans après la mort de l'illustre auteur. J'ai suivi l'ordre des propositions que Galois avait adopté, mais j'ai dû le plus souvent suppléer à l'insuffisance des démonstrations.

Nous avons défini avec précision (n°* 100 et 527) le sens qu'on doit attacher, dans chaque cas, aux dénominations de diviseur rationnel d' une fonction entière, et généralement de quantité rationnelle y ainsi qu'à celles de fonction irréductible et Adéquation irréductible. Nous avons dit aussi qu'une équation irréductible donnée peut devenir réductible, lorsque l'on admet à figurer.

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parmi les quantités connues, certaines quantités qui n'étaient pas d'abord regardées comme telles.

En général y quand nous conviendrons de regarder comme connue une certaine irrationnelle, par exemple une racine d'une fonction rationnelle des quantités connues, nous dirons avec Galois que nous adjoignons cette quantité à l'équation proposée. En d'autres termes, la quantité dont il s'agit sera dite adjointe à l'équation. Alors une quantité sera rationnellcy si elle peut s'exprimer par une fonction rationnelle des quantités primitivement connues et des quantités adjointes. Ainsi l'équation

X* -f- jr* — 4-*'* — 4-^ -h I "^ o,

dont dépend la division du cercle en quinze parties égales, est actuellement irréductible, parce que les quantités regardées comme connues sont ici les seuls nombres rationnels; mais elle deviendra réductible, si on lui adjoint une racine de l'équation

c'csl-à-dire si on lui adjoint le radical \/j\ efiectivemrnl son premier membre est le produit des deux facteurs

lesquels sont rationnels, après Tadjonclion dont il vioiil d'clrc question.

Les rcclierclies de Galois reposent sur les propositions démontrées aux n"" 502 et oOl, qui acquioroiil ainsi une importance considérable, et sur les proprirlé» des svslcmcs de substitutions conjuguées. Galois cm-

SECTION V. CHAPITUE V. 63^

ploie la considération des groupes de permutations dont nous avons parlé aux n^' 4i2 et 443, mais il nous a paru préférable de nous en tenir aux substitutions. Au reste, ce n'est là qu'un simple changement dans la forme des énoncés des théorèmes, car il n'y a lieu de considérer les permutations qu'au point de vue des substitutions par lesquels on passe des unes aux autres.