Théorème I. — Soit

une équation de degré n dont les n racitu

sont inégales. Il existe toujours un sjstème de substitutions conjuguées G jouissant de la double propriété suivante :

\^ Que toute fonction rationnelle des racines dont la valeur numérique est invariable par les substitutions de G soit exprimable en Jonction rationnelle des quantités connues;

2° Réciproquement y que toute fonction rationnelle des racines j exprimable rationnellement par les quantités connues, conserve la même valeur numérique quand on lui applique toutes les substitutions de G.

Il est bien entendu que, dans cet énoncé, nous comprenons parmi les quantités connues celles qui ont pu être adjointes à l'équation.

Soit V une fonction rationnelle des racines ( 2 ) telle,

que les

fonctions qu'on en déduit, par les substitutions, aient des valeurs numériques inégales ; par exemple, on pourra faire

64o COURS d'algèbre SCPÉRIEVRE.

«o «1? . . . , «//! étant des nombres entiers convenablement choisis. Soient encore

l'équation du degré N qui a pour racines les N valeurs de V, et F(V) un diviseur irréductible, d'un certain degré v, du polynôme ^(V). Désignons enfin les v racines de Téquation

par

(4) Vo, Vi, V„ ..., V^,.

D'après le théorème du n° 504, les n racines x de l'équation (i) pourront être représentées par l'une quelconque des lignes horizontales du tableau

>Po(V^i), ^i(V,), •^^.Wi; •;'«-i(V.\

^o(V), ipi (V), ... étant des fonctions rationnelles de V et dos quantités connues. Le tableau (5) renferme ain^i V pernuitations des racines Xy et nous avons donionlrc au n® 50 1 (juc ces permutations forment un groupe, c'est-à-dire (juc les substitutions

par lesquelles on obtient les v permutations (j) au moyen de la première d'entre elles, constituent un sv5- Icme conjugué G. Je dis que ce système G jouit de la double propriété énoncée.

En efTet, désignons par il une fonction rationnelle

des racines (2) et posons

Cl sera une fonction rationnelle de Vo, et l'on pourra écrire

(7) n=^T(Vo).

V étant une fonction rationnelle.

Cela posé, supposons d'abord que la valeur numérique de û ne soit pas changée par les substitutions (6 ) du système G ; comme ces substitutions peuvent s'effectuer en remplaçant successivement Vo par chacune des valeurs (4)^ on aura

et, par suite.

le second membre de cette formule est une fonction symétrique des racines de l'équation (3) ; donc £2 est exprimable en fonction rationnelle des quantités connues. Pour démontrer la réciproque, supposons que û soil exprimable en fonction rationnelle des quantités connues. Alors, d'après la formule (7), Vq sera l'une des racines de l'équation

mais, comme V© est racine de l'équation (3) que nous supposons irréductible, toutes les racines de cette équation (3) doivent satisfaire à l'équation précédente, et l'on a en conséquence

n = T(Vo)r=T(V.;:z:......->K(V.,);

la valeur numérique de iî est donc invariable par 1rs S. — Âi^, sup.f II. 4'

64a COURS D'ALckBaE SUPÉRIEURE.

subslitutions de G, ce qui achève la démonstration da théorème énoncé.

Pour abréger le discours, je donnerai le nom de Jonction résolvante à la fonction V, et Téquation irréductible ( 3 ) sera dite équation résonante.

579. Théorème II. — Toute substitution qui Jouit de la double propriété mentionnée dans t énoncé du précédent théorème appartient au système conjugué dont ce théorème établit l'existence.

Conservons toutes les notations dont nous avons fait usage dans la démonstration du théorème I, et désignons par X une fonction des n racines Xq, Xf , . . . , Xji.f qui prenne par les substitutions les N =:i i • a. 3 • . • n valeurs

Xoi X|, Aj, •••> Xn-i

numériquement distinctes. Soient aussi

'^o» '^i» '^îi • • • 1 X-iH i

les V valeurs que prend X quand on lui applique les y subslitutions de G, et posons

a = .,x-Xo)(X-x,).. (X-x,,),

X désignant ici une indélerminée. La valeur de la fonction 12 est invariable par les substilulions de G ; elle esl donc exprimable rationnellement en fonction des quantités connues, d'après le théorème I. D'ailleurs, il est évident que la valeur de û changera si Ton applique à cette fonction une substitution T non comprise dans le système G ; donc la substitution T n'a pas les propriétés des substitutions de G qui font l'objet du théorème I.

Ainsi les substitutions de G jouissent, à l'égard de l'équation proposée, d'une propriété qui leur appartient

exclusivement; je nommerai ce système le système con^ jugué propre à l'équation ( * ).

580. Théorème III. — Soit G le système conjugué propre à une équation donnée de degré n

à laquelle plusieurs irrationnelles peuvent avoir été adjointes. Si l'on adjoint à cette équation une racine Zq d'une équation auxiliaire irréductible de degré m

dont les coejjicients sont rationnellement connus, et qu après cette adjonction le sy sterne conjugué T propre à l'équation [i) ne renferme quune partie des substitutions de G, auquel cas l'ordre de F sera un sous^mul^ tiple do l'ordre de G, les m'=.pq racines de l'équation (2) se partageront en un certain nombre p de groupes composés chacun de q racines, savoir :

de telle manière que si l'on adjoint à l'équation proposée une quelconque des racines d'un même groupe.

le système conjugué Fi propre à l'équation proposée sera

(■) Galois fait intervenir un groupe de pernutations correspondant an système conjugué dont il est ici question, et il l'appelle le groupe de l'équation,

G44 COURS d'algèbre SUFÉniRURE.

le même, quelle que soit la racine adjointe. En outre, les p sjstcmes conjugués

qui dev^iennent propres à V équation quand on adjoint respectivement une racine des groupes successifs, seront semblables entre eux, en sorte que chacun de ces systèmes pourra se déduire du premier, en exécutant une même substitution dans les cycles qui composent les diverses substitutions de celui-ci. Il est évident que chaque groupe se réduit à une seule racine si m est premier.

Désignons toujours par V la fonction résolvante et par

l'équation irréductible de degré v que nous avons nommée équation résolvante ; soient aussi

''O» Vf, Vj, • • » ▼»!

les V racines de l'équation (3).

Si, après radjonclion d'une racine Zq de Téqualion fa\ Tcquation (3) reste irréductible, il est clair que G dv incurera le système conjugué propre à Téqualion 'i . Mais il n'en sera plus ainsi si l'équation (3) se réduit: c'est le cas que nous avons à examiner.

Soient X (V, Zq ) l'un des facteurs irréductibles de ¥(\ et jJL le degré de ce facteur ; on peut supposer que, dan> le polynôme )., le coefficient de la plus haute puissance de V soit l'unité et que les autres coeflîcients soient des fonctions entières de la racine Zq. Cela posé, z étant regardée comme une indéterminée, effectuons la division des polynômes F(\^, X(V, z) et désignons par A (\\ z\ 0(V,r:) le quotient et le reste de celte division; on

aura

Cl, d'après notre hypothèse, on a îdenliquemcnt

0(V, zo)=:o;

car le polynôme 0(V, z) est au plus du degré (i — i en V, et la précédente équation est satisfaite par chacune des fx racines V de Téquation

>(V, Zq) =o.

Ainsi, dans le polynôme 0(V, z), les coefficients des diverses puissances de V doivent s'annuler pour z = zo\ par conséquent, ces coefficients s*annuleront aussi si l'on y remplace z par une quelconque des racines de l'équation (2), puisque celle-ci est supposée irréductible. D'après cela, si l'on représente par

les m racines de l'équation (2), le polynôme F(V) sera divisible par chacune des fonctions

Le produit de ces fonctions est une fonction entière de V dans laquelle les coefficients sont des fonctions symétriques des racines z ; donc ce produit, que nous représenterons par n(V), est exprimable rationnellement par les quantités connues.

Les racines de l'équation

appartiennent toutes à l'équation (3), et, puisque celle-ci est actuellement irréductible, le polynôme n(V) est divisible par F (V). Soit^ l'exposant delà plus haute puis-

sance de F(V) qui divise exactement n(V) et posons

il est évident que ITi (V) doit se réduire à une constante, ou, si Ton veut, à l'unité, puisque, dans nos polynômes, le coeiïicient du terme le plus élevé est égal à i . En effeti si le contraire avait lieu, l'équation

ni(v) = o

n^ayant que des racines appartenant à Téquation (3), IIi (V) serait divisible par F(V), et l'exposant q ne satisferait pas à la condition qui lui a été imposée. Ainsi l'on a

(4) [F(V)]^-^ ^V, Zo)MV, z/ . . . \[\. c,„,%

D'après notre hypothèse, le polynôme X(V. z#) est irréduclible, c'est-à-dire qu'il n'admet aucun divisear de degré inférieur au sien, dans lequel les coefficients seraient des fonctions rationnelles des quantités connues et de la racine adjointe de z^. Je dis que le polynôme X(V, Zi) a lui-même la propriété de n'admettre aucun diviseur dans lequel les coefficients des puissances de V seraient des fonctions rationnelles des quantités connues et de la racine z/. En effet, supposons qu'un tel diviseur existe etdcsignons-lepar J[(V, zi) ; effectuons la division deX(V, z) par^(V, z), jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste d'un degré inférieur à celui de Î[(V, z) relativement à V; nommons Q(V, z) et R(V, z) le quotient et le reste de cette division. On aura

et, puisque R (V, z) est nul pour z = Zt, on en conchira, par un raisonnement dont nous avons fait usage plus

haut, que le même reste est nul, quelle que soit celle des racines de Tcquation (2) que Ton substitue à z; on aura en particulier

ce qui exprime que ^(V, Zo) admet le diviseur Î^(V, Zo). Cette conclusion est contraire à l'hypothèse, et, par conséquent, notre assertion se trouve justifiée.

Les racines de l'équation (3) sont toutes exprimables en fonction rationnelle de l'une quelconque d'entre elles. Cela étant rappelé, considérons les deux équations

et désignons par V. et 6(V«) deux racines de la première, 0 étant une fonction rationnelle. Je dis que, si Ve est une racine de la deuxième équation (5), 6(Ve) sera également racine de la même équation. En effet, on a

>(V., Z,)rrrO, >[0 ( V,), Z,] r^ O;

en d'autres termes, l'équation

est satisfaite quand on remplace Y par la racine Va de

l'équation

elle admettra donc toutes les racines de cette dernière, car celle-ci n'a aucun diviseur dont les coefficients sont fonctions rationnelles de Z|, ainsi que nous venons de le démontrer. Si l'on suppose, comme cela est permis, que 6(V) soit une fonction entière, on peut dire que le polynôme ^[^(V), Zi] est divisible par X(V, z/), ou que le reste de la division du polynôme

par ^(V, z) est identiquement nul pour z = zi. Alors, par le raisonnement déjà employé deux fois dans cetlc démonstration, on conclura que le même reste est nul aussi pour z = Zj, c'est-à-dire que ).[0(V), zy] est divisible par X(V, Zj)\ par suite l'égalité

entraînera

>[ô(Ve),.y] = o

ce qui exprime que 6(Ve) est racine de la deuxième équation (5). Nous concluons de là que, si les équations (5) ont une racine commune, elles ont toutes leurs racines communes.

Cette analyse établit que, dans le second membre de la formule (4), chacun des facteurs inégaux se trouve répété q fois. En employant deux indices pour représenter les m racines z, on aura

Mv, =^,) ^ À(v, .;i.) =/(v, z^;i,) ^: . . . = À(v, er).

cl, en extrayant la racine ^'*^'°*« des deux membres de la formule (4), on aura

(6) F(V).::3À(V, Zo)>(V, 30...a(V, 3^0,

car, dans les polynômes F et X, on peut supposer les coefficients des premiers termes réduits à l'unité.

Ainsi les m racines z se partagent en p groupes contenant chacun q racines; en outre, quelle que soit celle des racines d'un même groupe que Ton adjoigne à fcquation proposée, celte adjonction aura le même effet, savoir de substituer à Téquation résolvante primitive

SECTION V. — chàpithb V. 649

le même diviseur de cette équation. Et, par conséquent, le système conjugué propre à Téquation proposée se trouvera lui-même réduit à un nouveau système dont Tordre sera un diviseur de l'ordre du système primitif.

Il nous reste à comparer entre eux les divers systèmes conjugués r, Fj, . . . , r^i qui deviennent ainsi propres à Téquation proposée, quand on adjoint respectivement à celle-ci une racine des groupes correspondants que nous avons distingués.

Les racines de Téquation

étant des fonctions rationnelles de Tune d'entre elles, représentons-les par

soit aussi V^,^^ une racine de l'équation les quantités

V';'. 9.(vy'). 9,(v'."). .... v.(v';>)

seront racines de la même équation, comme nous l'avons dit plus haut; j'ajoute qu'elles sont distinctes, en sorte qu'aucune racine ne se trouve omise. En effet, V© et V|/^ étant racines de l'équation ( 3 ) qui est actuellement ir« réductible, si l'on avait

«(.{v'iO-Mv'.")

il en résulterait

ô.(Vo)-rOe(Vo),

ce qui est contraire à notre hypothèse.

65o coons d'algèbhb supÉRnsuRs*

Maintenant, V désignant l'une quelconque des racines de la résolvante (3), représentons par le symbole

[V] la permutation

des racines de la proposée, et posons

(7) [«*(V.)] = S4V.], [9*(Vi')] = SÏ'[(VP)]; les substitutions du système F seront

1 f Oi, 02 9 ...» 5>|t— î»

et celles du système F/ seront

Représentons enfin par T/ la substitution par laquelle on passe de la permutation [Vo] à la permutation T V*^^'; on aura, non-seulement

(8) [V=;']-T,[V.], mais encore, quel que soit Ar,

[«*(V'i')]-T,[9*(Vo)], ou, à cause de la première des formules [y] y

enfin la formule (8) réduit la seconde formule (7) à

(10) [e*(vp)] = s:;'T,{Vo],

et la comparaison des formules (9) et (10) donne

(11) Si"T, = T,S,.;

SECTION V. CnAPlTRE V. 65 1

d'où

Les formules (8) et (9) expriment que le système conjugué G est représenté par

I, Oj, S], •••9 ^|i— 1»

Tu TiSi, TjSj, ..., T| Sjji i,

et la formule (la) exprime que les systèmes F, Fi, . . . , Tp^i sont

Ces systèmes sont, oomme on le voit, semblables, en sorte que chacun d'eux peut se déduire du premier F en exécutant dans les cycles de chacune des substitutions de celui-ci une même substitution T, ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.

581 . Théorème IV. — Si le système G propre à féquationf[x) = ose réduit à un système F d^ ordre inférieur y par [ adjonction d'une racine de l'équation auxiliaire irréductible ç(^) = o; 5«, en outre, les racines de cette équation auxiliaire sont exprimables rationnellement en fonction de l'une d'entre elles et des quantités coniques, le système F ne changera pas quand

65a coums o*alcêbee suféeiecbk.

o/i exécutera dans les cycles de toutes ses substitutions une substitution quelconque du système G.

En cfTety soient

Zg et Zf- z=z Oz^

deux racines de Féquation auxiliaire : 0 désigne ici une fonction rationnelle ; Inéquation ff{z) = o étant supposée irréductible, elle admettra toutes les racines

Tun des termes de cette suite se réduira à z«, et si Ton suppose

0*«o =^ ^ ou Ô^-^ $Z^z=Zef

il en résultera

par conséquent les racines Zo et Z| sont exprimables rationnellement Tune par Tautre.

Il s^cnsuit que les quantités connues sont les mêmes après Tadjonction de Zq ou après celle de Zg ; le système Ti propre à réquationy(x) = o, après Tadjonction de z/, est donc le même qyic le système T qui est propre à Téquation après Tadjonction de Zq- El, comme les systèmes F, F/ peuvent être représentés par

I , 0|, 029 • • • » ^Ji— l»

on voit que le système F ne changera pas si Ton multiplie ces substitutions à droite par T/ et à gauche par Tî"S opération qui revient à exécuter la substitution T, dans les cycles des substitutions de F.

Enfîn, toute substitution de G est la forme

ce qui donne d'où

us'u-»=:T;tS,,s,s;r'Tr. .

Par conséquent, si Ton veut exécuter la substitution U dans les cycles des substitutions de F, il suffira de faire, dans ces cycles, d'abord la substitution Sa, puis la substitution Ta; il est évident que la première opération ne changera pas F, puisque Sa fait partie de ce système : d'ailleurs nous venons de prouver que la deuxième opération ne produit elle-même aucun changement sur F; donc ce système reste invariable quand on exécute la substitution U dans les cycles de toutes ses substitutions.

Corollaihe. — Si fét/uation auxiliaire est de la forme zP = A, et que les racines ^>'<?'«" de l'unité se trouvent au nombre des quantités précédemment adjointes, on se trouvera dans les conditions du précédent t/iéo^ rème,

582. Théorème V. — Si le système conjugué Gi , propre à l'équation /{x) = o, se réduit à un système F d'ordre inférieur, quand on adjoint à f équation toutes les ror cincs d'une équation auxiliaire irréductible ç (r) rrz o, de deg?'é m, le système F ne changera pas quand on exécutera y dans les cycles de toutes ses substitutions, une quelconque des substitutions du système G (*).

En effet, soit Z une fonction rationnelle des m racines

(* ) Ce théorème ne diflerc pas au fond de la proposition III du Mcmoiro deGalois. Sous ce titre de proposition III, Galois avait d'abord inscrit l'énoncé du corollaire de notre théorème IV, avec une démonstration, mais il a e£facé le tout pour y substituer l'énoncé qu'il a adopté définitivement.

654 COURS d'aUÏÈBRE 8UPÉR1E0RE.

de Téquation auxiliaire, telle que les

M = I * 2 . 3. . . /If

fonctions qu'on en déduit par les substitutions aient des valeurs différentes ; soient en outre

Téquation du degré M qui a pour racines les M valeurs de Zy F(Z) un diviseur irréductible de ^(Z), et

(2) Zo9 Zj, Z29 ..•> Z|i^-i les [x racines de l'équation

Les quantités (2) sont des fonctions rationnelles des quantités ( i ) , et réciproquement celles-ci peuvent s'exprimer en fonction rationnelle des quantités (2) (n^ 502) : donc Tadjonction des unes entraîne Tadjonction des autres. Par conséquent, d'après notre hypothèse, le svstème G, propre à l'équation proposée, doit se réduire, par l'adjonction des racines de l'équation (3). Mais ces racines peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de Tune quelconque d'entre elles; donc l'adjonction d'une seule racine équivaut à l'adjonction de toutes, et l'on se trouve alors dans les conditions du théorème IV.

583. Théorème VI. — Soient G le sj sterne conjugué propre à l'équation

dont la valeur numérit/ue ne soit pas actuellement connue. Si l'on adjoint cette valeur numérique à Inéquation proposée, le système T propre à l'équation, après l'adjonction, sera formé par celles des substitutions de G qui n altèrent pas la valeur numérique de lajbnction ê.

Les conditions de ce théorème se ramènent immédiatement à celles du théorème III. Exécutons toutes les substitutions des racines x dans Texpression

et formons le produit 4> ( ^) de tous les résultats obtenus. Les coefficients du polynôme 4>(z) seront des fonctions symétriques des racines x, et par conséquent ils seront rationnellement connus; décomposons ce polynôme en ses facteurs irréductibles, et désignons par ^{z) Tun de ces facteurs qui s*annulent pour z = Zq. Nous nous trouvons placés alors dans le cas où Ton adjoint à l'équation proposée la racine Zq de Téquation irréductible

Soient, comme dans le théorème III,

les V racines de la résolvante

qui est actuellement irréductible. Les racines x étant exprimables rationnellement par Tune quelconque des racines V, posons aussi, comme précédemment,

la formule (2) deviendra

et Ton peut faire en sorte (n° 182) que V soit une fonction enlicre d*un degré inférieur à y. Alors Téquation

(5) T(V)-Zo = o

admet la racine Vo de Téquation (4). Soient

(6) Vo, V„ ..., V^,

les fx racines communes aux équations (4) et (5\ et posons

>(V,3e;r=:(V-Vo)(V-V,}...(V-V^/;

les coefficients de Téquation

sont rationnels après Tadjonction de Zo : je dis que cette équation est irréductible. En efiel, si le contraire a lieo, soit u{\\ z^) le diviseur irréductible de ^(V, z©) qui s^annule pour V = V©; on aura (théorème III)

F(V; rzzo(V,»o-o(V,5i ...C.V,Z^, ,

C|, Z2 Zp^i étant des racines de Téquation (a) di:-

tinctes de ^c ; Téquation

CT V , r , - : G

n'admettra qu'une partie des racines '6\ et Tune de ces racines, \ i par exemple, devTa satisfaire à une équation telle que

EfTecluons la division de 4^ ^ V ) — z par a ( V, z ) jusqu'à ce que nous parvenions à un reste de degré inférieur au diviseur; dési^^nons par 0'V, z) ce reste, et par n^V, z) le quotient de la division; on aura

H\\ — 2~-o V, 3 II V, 3 -^e V, 3,;

par hypothèse, Î'(V) — z© est divisible par X(V, Zq); ce polynôme Test donc aussi par ct( V, z©), et en conséquence, le reste ©(V, z) de la précédente division, se réduit identiquement à zéro pour z=z Zq. Alors, par un raisonnement déjà employé, nous concluons que le même reste est nul pour z = Zt, et l'on a

Maintenant nous avons supposé que V| est une racine de Téquation (8) ; on a donc

Nous concluons de là que Téquation (7) est irréductible, en sorte qu'elle devient l'équation résolvante, après l'adjonction de z©. Le système conjugué propre à l'équation proposée se compose alors des [jl substitutions qu'on exécute en remplaçant V© par chacune des quantités (6) dans la permutation des racines

D'ailleurs les quantités (6) sont celles des racines de l'équation (5) qui appartiennent à la résolvante primitive; donc les substitutions dont nous venons de parler sont celles par lesquelles la valeur numérique z© de la fonction ^ (j:©, x^, ..., x^^i) reste invariable.

584. Théouème VII. — Le nombre p étant premier , soit V = fip tordre du système conjugué G propre à une équation/ [x) = o. Si l'on peut former a^ec [jl substitutions de G un système conjugué F qui reste im^ariable quand on exécute dans les cycles de toutes ses substitua fions les di^f erses substitutions de G, il suffira d'extraire la racine p^^^^ d'une certaine quantité rationnelle, et S. — Alg, sup,, \U 4^

658 COURS d'algèbre supérieuur.

d'adjoindre cette racine p^*"*^ à (équation, pour que T devienne le système propre à cette équation. On suppose que les racines p^^"^^^ de l'unité font partie des quantités précédemment adjointes.

Soient

(i) ij Si, Sj, . . ., Sp^j

les substitutions du système F, et T une substitution de G qui n'appartienne pas à F ; on aura, par hypothèse, quel que soit i,

j étant un indice convenablement choisi. Si le système des puissances de T,

d'ordre tj a quelques substitutions communes autres que Tunlté avec le système (i), soit T* la plus petite puissance de T contenue dans ce système. En multipliant les substitutions (i) par les substitutions

on obtiendra les fxa produits

qui seront distincts; car, si Ton avait

on en conclurait

ce qui ne peut pas avoir lieu, puisque la substitution S^S;;"* fait partie du système (i), tandis qu'il n'en est pas ainsi à l'égard de T-' à cause dey <^a. Ensuite le produit de deux quelconques des substitutions (4) peut ôtre ramené par la formule ( a ) à la forme

T^«+''S;t ou T^S*,

h étant <^ a, et ce produit est l'une des substitutions (4). Ces substitutions forment ainsi un système conjugué d'ordre fxa ; elles sont d'ailleurs contenues dans le système G dont l'ordre est [up: donc [np est divisible par pa et p par a ; il s'ensuit que a est égal à i ou à /7, puisque p est un nombre premier. Si a = i , la substitution T appartient à r, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ainsi a =z p; mais alors le système (4) contient [JLp substitutions, et, par conséquent, il n'est autre que le système G. Les puissances de T contenues dans F sont donc

et l'on a

on a d'ailleurs évidemment

(/ — i)7?n=ou</ — I, kp = qt,

q étant un entier, ce qui exige que q = i , en sorte que l'ordre de la substitution T est nécessairement égal à p ou à un multiple de p.

Cela posé, soit 0 une fonction rationnelle des n racines Xo,Xi, X2j ..., x„.i de l'équation y( or) = o, telle que les i.a.3.../i fonctions qu'on en déduit par les substitutions aient des valeurs numériques inégales. Exécutons sur cette fonction les fx substitutions (i) de F et désignons par

66o COUES D'ÂLGkBUB SOPÉRIEORE.

les résultats obtenus. Prenons enCn une fonction rationnelle et symétrique Q des ft quantités (3); on pourra faire , par exemple,

0 désignant ici une indéterminée.

La fonction d est invariable par les substitutions de P,

mais elle varie par toute autre substitution ; exécutons

sur cette fonction les puissances de la substitution T,

savoir :