M = AB

A et B étant premiers entre eux, ou ayant 2 pour plus grand commun diviseur, puis de déterminer les valeurs de X qui satisfont à la fois aux deux congruences

(2) ar-hi==:0 (mod. A), x — iTzno (mod. B). On tire de la première

(3) x=-n-Af,

t étant une indéterminée, et, en substituant cette valeur dans la seconde congruence, il vient

(4) Ar— 2-zEO (mod. B).

Comme le plus grand commun diviseur de A et B est I ou 2, par hypothèse, la congruence (4) sera toujours possible. Si A et B sont premiers entre eux, cette congruence aura une racine unique et la formule (3) donnera également pour x une valeur unique. .Mais, si A et B ont le diviseur commun 2, la congruence (4), divisée par 2, deviendra

(5) -t — i==o (mod. -

Les valeurs de t qui satisfont à la congruence (5) sont données par la formule

to étant un nombre déterminé compris entre o et — >

et u désignant une nouvelle variable. Alors la congruence (4) 81 les deux racines

et la formule (3 ) donne les valeurs correspondantes de x,

— Î-4-A/0Ï — i-t-A^oH •

Il importe d'examiner maintenant si Tune des racines de la congruence proposée peut être donnée par deux décompositions distinctes du module M :