M=AB, M=:A'B

Désignons par - la fraction irréductible équivalente

aux deux fractions

lesquelles sont égales, en vertu de Thypothèse AB = A' B';

on aura

A = y^Of A' = fiay

B' = Xè, B =zfib, ety par suite,

A'=:Ça, B'=:-B,

1 et jx étant des entiers. Mais, si les décompositions con> sidérées fournissent une même racine x de la congruence (i), les nombres A et B' ou A' et B diviseront respectivement x -f- 1 et x — i : donc ils ont pour plus grand commun diviseur i ou 2 ; chacun des nombres % et [i est par suite égal à 1 ou à 2. Il résulte de là que les décompositions

M=-AX2B, M = aAX-B a 2

sont les seules qui puissent donner une racine x déjà fournie par la décomposition M = AB.

Cela posé, il est facile de déterminer le nombre N des racines distinctes de la congruence (1).

Supposons d*abord que le module M soit impair et désignons par 71 le nombre de ses facteurs premiers inégaux. Dans le cas dont il s^agit, les décompositions M = AB

donnent nécessairement des racines distinctes, et il suflit d'avoir le nombre de ces décompositions. Or, pour former A, on peut n'employer aucun des facteurs premiers de M : on aura alors A = i ; on peut introduire dans A un seul des n facteurs premiers de M, et Ton obtiendra ainsi n décompositions distinctes ; pareillement, on aura

— décompositions, en formant A avec deux des

facteurs premiers de M, et ainsi de suite. D'après cela^

on aura

ou

Supposons en deuxième lieu que le module M soit double d'un nombre impair, et désignons par gy comme précédemment, le nombre des facteurs premiers impairs

inégaux de M ou de — • Considérons la décomposition