M = AB

A étant pair et B impair; parmi les autres décompositions, la seule qui puisse fournir la même racine x que la première est

M= i AX2B,

et je dis qu'elle la fournit effectivement. En effet, la racine qui répond à la première décomposition est déterminée par les formules

x = — i-{-Ar, Ar— 2^0 (mod. B);

or, A étant pair et B impair, on peut écrire

jt= — iH — -2^, — .2^ — 2^0 (mod. 2B), 2 2

^8 C0T7RS d'algèbre SUPÉRIEURE.

ce qui montre que cette valeur de x répond aussi à la seconde décomposition. Il résulte de là que N est le nombre des décompositions de — en deux facteurs premiers entre eux, et Ton aura alors

comme dans le premier cas.

Supposons, enfin, que M soit divisible par la puissance 2^ de 2, p étant ]> i , et désignons encore par n le nombre des facteurs premiers impairs inégaux de M oa

de — • Dans ce cas, on peut rejeter toute décomposition

dans laquelle Tun des nombres A ou B serait impair. En eflet, supposons A pair et B impair; le raisonnement que nous venons de faire, à l'occasion du cas précédent, montre que la racine qui répond à la décomposition AB

sera aussi donnée par la décomposition - x a B. Maintenant une décomposition de M en deux facteurs pairs donne deux racines x qui sont nécessairement distinctes de celles fournies par une autre décomposition de la même espèce; car, dans chaque décomposition, les facteurs doivent avoirs pour plus grand commun diviseur; donc, pour obtenir toutes les décompositions utiles de M, il faut

former celles de - et introduire ensuite a dans le premier

facteur, a^* dans le second, puis inversement a^* dans le premier facteur et a dans le second. Si p = a, ces deux dernières opérations rentreront évidemment Tune dans l'autre.

Il résulte de là que, si |0== a, c'est-à-dire si M est dîvi-

SECTION III. — chapithe I. ag

sîble par 4> mais non par 8, on aura

Si p est ^ Hy c'est-à-dire si M est divisible par 8, on aura

Cette conclusion n'est point en défaut, quand on a M r= 2^ ;

dans ce cas, -- n'admet que la seule décomposition i >c i .

Il faut remarquer que les racines de la congruence ( 2 ) sont conjuguées deux à deux, de manière que deux racines conjuguées soient égales et de signes contraires, ou, si Ton veut, complémentaires au module. Il est évident que deux racines conjuguées sont fournies par deux décompositions telles que AB, BA.

Corollaire. — Z« congruence

a:'— i==o (mod. M)

admet un couple unique de racines conjuguées dans l'un des trois cas suis^ants ; i^ si M est une puissance d'un nombre premier impair; 2° si M est le double d'une telle puissance; 3° si M est égal à 4- Dans tout autre cas le nombre des couples de racines conjuguées de la congruence est un nombre pair.

Ce corollaire résulte immédiatement des formules par lesquelles nous avons exprimé le nombre N dans les difTérents cas que nous avons examinés.

Exemple. — Si Ton a M = 24, on a ces quatre décompositions utiles

B — ii, 2, 6, 4;

la congruence

X* — iF^o (mod. 24)

3o couns d'algêbee sttpériettre.

a huit racines, savoir ;

I, i3 fournies par la décomposition 2 X la,