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Théorème de Fermât.

293. Le théorème de Fermât est Tune des propositions fondamentales de la théorie qui nous occupe ; aussi croyons-nous utile de présenter ici les démonstrations diverses qu'on en a données. Ce théorème célèbre est le suivant :

Théorème. — Si le nombre entier a n^est pas rfiVisible par le nombre premier p, la différence aP"* — i est diifisible par p ; en d'autres termes j on a

aP^^=i=i (mod. p).

Première démonstratiou . — Comme aetp sont premiers entre eux, par hypothèse, les nombres

(i) a, 2a, 3fl, ..., {p — i)a

donneront, relativement à p (n^ 283), les résidus

abstraction faite de Tordre. Le produit des nombres (i) est donc congru, suivant le module p, au produit des nombres (2), et Ton a, en conséquence,