I.2.3. •• (/? — i) H-i ^o (mod.p
36 COURS D*ÂLGÊBaE SCPÉftlECRE.
Théorème de Fermât généralisé.
295. Le théorème de Fermât est susceptible d'être étendu aux modules composés: il n'est eflectivement qu'un cas particulier de la proposition suivante :
Théorème. — Si a et M sont des nombres premiers entre eux, et que ^ ■' il ■ exprime combien il y a de nombres premiers à M et non supérieurs à ce nombre, la différence
sera divisible par M; en d'autres termes, on aura
û?'«),so (mod. M.
La première des démonstrations dont nous avons fait usage au n^ 293 s'applique au cas actuel, avec de légères modifications. Soient
ai
les '^(M) nombres premiers à M et non supérieurs à M. Si on les multiplie par le nombre a qui est également premier à M, on obtiendra la nouvelle suite
(2j a«, a€, ay^ a$^ ..., </w;
aucun terme de la suite (2), aoL par exemple, ne peut être divisible par M; car M est premier à a et il est supérieur à a; pour la même raison, la différence «^o — a) de deux termes de la suite (2) ne peut être divisible par M, d'où il résulte que, si l'on prend les résidus minima, relativement à M, des termes de la suite {:>.\ on obtiendra cj» ( M j résultats différents. En outre, les nombres (2} sont premiers à M, et en conséquence leurs résidus le sont aussi ; ces résidus sont donc précisément les
nombres (i). Les nombres (2) étant respectivement connus aux nombres (i), le produit des uns est congru au produit des autres, et Ton a
«67. . . w [rt'^"*— i]^o (mod.M);
en divisant par le produit a6y...a> qui est premier avec le module, il vient enfin
a?(M)— 1 = 0 (mod.M).
Théorème de Tf^ilson généralisé,
296. Le théorème de Wilson est lui-même susceptible d'être généralisé ; on peut eflcctivcment Ténoncer comme il suit :
TuÉoRÈME. — Si P désigne le produit des(f[^l) nombres premiers à M et non supérieurs ^ M, o/z a
P = q=i (mod.M),
sa\foir
P-z:^— I (mod.M),
il M est égal à une puissance d'un nombre premier impair, ou égal au double d'une telle puissance ou égal
à 4 ; et
P=4-i (mod.M),
dans tous les autres cas.
En effet, soient, comme précédemment,
les nombres premiers à M et non supérieurs à M. Si a désigne l'un de ces nombres, les produits
(2; aoL, aê, ay, ..., «w
donneront, comme on l'a vu, des résidus minîma difle-
rcnts, relativement au module M. Parmi ces résidus, il y en aura donc un égal à i, et un autre égal à M — i. Supposons que aoc donne le résidu i; si a et a sont inégaux, je dirai que ces nombres sont associés du premier genre. Si a=a, le produit aXa donnant le résidu i, le produit a(M — a) donnera le résidu — i ou M — i; je dirai alors que a et M — a sont associés du second genre. Il résulte de cette définition que deux associés du second genre constituent un couple de racines con» juguées de la congruence
(3) a:*— i^o (mod. M).
Il est évident que le produit de tous ceux des nombres (i) qui composent les couples d'associés du premier genre est congru à i , suivant le module M, tandis que le produit de tous ceux qui forment les couples du deuxième {^enre est congru à ( — i)**, fi désignant le nombre des couples de racines conjuguées de la congruence (3). Il résulte de là que Ton a
P=( — 1)1* (mod. M).
Or, si Ton a M = p% ou M = a//, ou M = 4, p étant un nombre premier impair, le nombre fi est égal à i, tandis que le même nombre est pair dans tous les autres cas (n^ 292); donc on a
Ps=— I (mod.M),
dans les trois cas de M = />% = 2/r, = 4, et
P^-4-i (mod.M),
quand le module M n'est pas de Tune de ces trois formes. Remarque. — Si Tonveutavoirrassociéd^un nombrea.
SECTION m. — cnAPiTRB I. 3o
il suffira de déterminer la racine de la congruence
ax — lEzso (mod. Mj,
ooy si Ton y&aXy de résoudre en nombres entiers Inéquation indéterminée
ax — M^ =: I.
Au surplus y comme le théorème de Fermât généralisé
donne
at<">=i (mod. M),
Tassocié demandé est évidemment le résidu de la puissance
Des congruences dont le module est un nombre
premier»
