Étant donnée la congruence

A^x'^ -+- Ai^r"»-* -f- . . . + An^^x + A;„ == o (mod./?),

dont le module p est supposé premier, et dans laquelle les cocffîcients Aq, Aj, ... sont des entiers compris entre

zéro et p ou entre — - et W- -? on peut toujours la remplacer par une autre dont le premier terme ait pour coefficient l'unité. Car soit A' le nombre associé de Aq, c'est-à-dire le nombre tel que l'on ait

AoA'=Hi [mod. p],

et désignons par

les résidus des produits

A' Al, A' A,, , , ., A'A,„;

si Ton multiplie par Aq A' les termes de la congruence proposée, à partir du deuxième, cette congruence pren-

4o COURS d'algèbre supérieure.

dra la forme

Ao(j:'"-4-Piar'"-*-^Prr^-*-4- . . . -4-P^iar-f-P«) =0 (mod.p1,

et, en divisant par Ao qui est premier avec le module, il viendra

ar~ + Pia:'«-* + P,jr'"-«-4-...-^P;„iJ?-f-P^=z=0 (mod.p).

298. Les congruences dont le module est premier jouissentd'une propriété très-importante et quiestexprimée par la proposition suivante :

Théorème. — Une congruence non identique suwant un module premier ne peut avoir plus de racines qu'il n'y a d'unités dans son degré.

Soit

(i) /(^) = o (mod./?)

une congruence de degré m suivant le module premier p, y (x) désignant, pour abréger, le polynôme

dans lequel les coefficients sont des nombres entiers

compris entre zéro et p ou entre — - et H — •

Si Ton désigne par «i, a^, ..., «m des nombres entiers quelconques et que Ton pose, comme au n° 45,

f[x) = [x-a,)f,{a:) + R», /j(x) = (.r-fl,)/,(x) 4-R,, (2J .'/,(^) =[^-a,^J,[x] -f-R3,

Ri, R3, ..., R;„ étant indépendants de x, puis que Ton ajoute toutes ces égalités, après les avoir multipliées respectivement par les m facteurs

SECTIOlf III. CnAPITUE 1. 4'

il viendra, en remplaçant y*'"(x) par sa valeur A©,

I/( jr) = Ao (^ — «1 ) ( J? —«,)... (a: — «m i

Supposons maintenant que la congruence proposée ait une racine, et prenons ai égal à cette racine; on aura alors

R, n^o (mod.p),

et, d'après les égalités (a), la congruence (i) pourra se mettre sous la forme

(ar — «,)/i(x)ei-o [mod.p).

Le module p étant premier, le produit (x — ai) ft (x) ne peut être congru à zéro suivant ce module, à moins que l'un des facteurs ne soit divisible par p ; donc, si la précédente congruence admet des racines distinctes de ai, ces racines appartiendront à la congruence

(4) /i(*)=o [mod.p].

Si la congruehce (4) n'a point de racines, la proposée n'aura que la seule racine a|. Sr, au contraire, cette congruence a des racines, et que l'on prenne pour a2 l'une de ces racines, on aura

R^îi^o (mod./?),

et, d'après les égalités ( a), la congruence (4) prendra la forme

(JC — a,) /,(.r)=:z=o (mod.p).

Le même raisonnement montre que, si cette congruence a des racines distinctes de a2, ces racines appartiennent à la congruence

/,(«)==o (mod.p).

On voit que, généralement, sî chacune des congruences

/(«)=o, /i(x)=o, ...,/„^,(x) = o {mod.p)

a une racine, et que la congruence

/m-t»(^)^o [mod.p)

n'en ait aucune, la proposée aura m — fi racines. Si Ton suppose que ai, a^, ..., am^^ soient ces racines, on aura

Ri^:^o, R|^o, ..., R^-|i=:^ o (mod./)],

et la formule (3} donnera

(5) /W = (x — ûj) (x — fl,)...(«— a;„^)F(x) {mod,p),

F (x) désignant une fonction entière du degré f<, telle que la congruence

F(j:)==o (mod.p)

n'ait aucune racine.

Si le nombre /ui est égal à zéro, la fonction F (x) se réduit à la constante Ao, et la formule (3) donne

(6) /(x)==Ao(a:— «j) (ar — il,). ..(x— û^) (mod.;?),

d'où il suit que la congruence proposée ne peut avoir pour racines que les m nombres ai, a^y ...« a^*

Corollaire. — Si la congruence y ( x ) == o ( mod. p ) du degré m est satisfaite par plus de m valeurs de x, elle est nécessairement identique,

299. Nous présenterons ici une conséquence fort importante du théorème que nous venons d'établir.

THÉORkME. — Si f{x) etY[x) sont des fonctions entières à coefficients entiers, dont les degrés soient inférieurs à p, et que f{x) soit un diviseur de la fonction

« — i-f-pF(j:),p étant un nombre premier, la con--

gruence

/{x)^o [mod.p)

aura précisément autant de racines quil y a JCunités dans le nombre qui exprime son degré.

En effet, d'après le théorème dé Fermat^la congruence (i) x/»-* — lEzio (mod.p)

a les p — I racines

D'ailleurs, si l'on a

(2) xP-1- , -hpF(a:) =/(:c)/,(x),

f{x) elf^[x) étant des polynômes à coefBcients entiers, la congruence (i) peut se mettre sous la forme

et chacune de ses racines appartient à Tune ou à l'autre des deux

(3) /(ar) = o, /i(x) = o (mod. />).

Or, si l'une des congruences(3) avait moins de racines qu'il n'y a d'unités dans son degré, il faudrait que l'autre en eût plus qu'il n'y a d'unités dans le sien, ce qui est impossible ; le théorème énoncé est donc établi.

300. On peut déduire du théorème précédent un procédé très-simple pour déterminer le nombre des racines d'une congruence de module premier. Démontrons d'abord le lemme suivant :

Lemme. — Sif^i^x) désigne le reste de la division des deux polynômes f[x) et /\[x), dont les premiers termes

44 COURS d'algèbre SUPÉRIEL-RF.

ont pour coefficient l * unité, les racines communes aiix deux congruences

• /(.rJE^o (mod./?), /,(x)^o (mod./?)

sont les mêmes que les racines communes à

/,(j:)e:=o (mod./?), /,(jr)==o (mod./>\

SoîtQ le quotient de la division dey(a:) paryi(a:),

on aura

et cette égalité fait voir que, ûf^[x) est divisible par p en même temps que l'un des deux polynômes f[x) et /^(a:), Tautre le sera nécessairement aussi; d'où résulte la proposition énoncée.

Corollaire. — Les racines communes à deux con*

gruences

/(x)-=o, /,(jc)^o (mod.p)

appartiennent à la congrucnce

y(ar)^=o (mod.p),

9 (x) désignant le plus grand commun dixfiseur aux deux polynômes f [x) ctf [x).

Remarque. — Pour trouver ce plus grand commun diviseur ç(a:), on suivra la marche ordinaire; seulement on négligera tous les termes qui sont multipliés par p. Il faut, en outre, que toutes les divisions puissent se faire sans écrire de coeflicients fractionnaires. Pour cela, on peut faire en sorte, comme il a été indiqué plus haut, que chaque reste soit divisible par le coefficient de son premier terme, et alors on fera abstraction de ce diviseur commun. On arrive aussi au môme but en multipliant chaque dividende par un facteur convenable, ou môme simplement en cijoutant au coefficient du premier terme de chaque dividende un multiple de p tel, qu'après cette

addition le premier terme du dividende en question soit divisible par le premier terme du diviseur correspondant.

301. Supposons maintenant qu'on veuille connaître le nombre des racines de la congrucnce

(i) f[x)^o (mod.p).

Ces racines appartiennent toutes à la congruence

(2) xP^^ — I Eis I (mod./?);

il sufBt donc de chercher les racines communes aux congruences (i) et (a). Pour cela, on déterminera, comme il vient d'être dit, le plus grand commun diviseur à f{x) et à xP"^ — I. S'il n'existe pas de diviseur commun, la proposée n'aura aucune racine; si, au contraire, on trouve un plus grand commun diviseur ^{x) de degré fjt, la congruence proposée aura fx racines, qui seront celles de la

congruence

y(^)^o (tnod./?),

laquelle a effectivement fx racines, puisque f(j:) est un diviseur de degré ^l. du binôme xP~^ — i.

Exemple. — On demande le nombre des racines de la congruence

f[x]=^x^ — 3ar* — ax* — ix'^-^x — 2^30 (mod. 7).

Eln cherchant le plus grand commun diviseur des polynômes x^ — I aX. f[x)y comme on l'a indiqué au n** 300, on trouve les deux restes

— 3(jr*-»-2X^H- 3x*— 2.x -^ 3), 2(x'H- Zx^ — x — 3);

le second reste étant diviseur du premier, la congruence proposée a trois racines qui appartiennent aussi à la congruence du troisième degré

x'-t- 3a:* — X — Zïi^o (mod. 7).

4t> COUES d'algèbre SUPÉEIEniE*

Nouv^elle démonstration du théorème de TVilson.