Considérons la congruence (i) -c' — I. -G (mod

SECTION m. CHAPITRE II. 89

V étant ]> 2. Chacune de ses racines a est telle que Ton a

a'zi=i/ «"""'ee:;! (mod. 2*) :

l'exposant auquel a appartient divise donc les nombres t et 2*~~*y ainsi que leur plus grand commun diviseur; nous désignerons par 2' ce plus grand commun diviseur, et alors a sera racine de la congruence

(2) j:* — 1^0 (mod. 2*);

réciproquement la proposée admettra toutes les racines de la congruence (2). Il est évident que celles-ci ne sont autre chose que les nombres qui appartiennent à Tun des exposants

Si t est un nombre impair, on a J = o et les congruences (i) et (2) n'admettent pas d'autre racine que 1. Supposons 0^0; nous avons vu que, si fx est ^ i, il y a 2** nombres qui appartiennent à l'exposant 2*% et qu'il j a 3 nombres appartenant à l'exposant 2 ; le nombre des racines de la congruence (2) est donc

ou 2^*. On a ainsi cette proposition :

Théouème. — Si t est un nombre pair, le nombre des racines de la congruence x^ — i ^i;o (mod. 2*) est égal au double du plus grand commun dii^iseur des nombres t et qT-^.

Ces racines formeront deux périodes; car désignons par c un nombre appartenant à l'exposant 2*~*, et posons

a £z^c''~' (mod. 2*), il est évident, d'après les développements qui précèdent,

90 COURS d'algebue supérieure.

que les racines des congruences (i) et (2) pourront être représentées par

— <2, — a*, - a^y .... — tf* .

De la congruence x'e^i, dans le cas d'un module

quelconque.